[서울대 심층면접] 2005학년도 서울대 심층면접 정시

[서울대 2005학년도 정시]

[문제1]

다음 물음에 답하라.

(1) 주어진 삼각형 $\rm ABC$ 내부의 점 $\rm X$에 대하여 $\rm \left | AX \right | ^ {2} + \left | BX \right | ^ {2} + \left | CX \right | ^ {2}$이 최소가 되는 $\rm X$가 삼각형 $\rm ABC$의 무게중심임을 증명하시오.

 

(2) 세 점 $\rm A$$\left ( 0,~a \right )$, $\rm B$$\left ( -1,~0 \right )$, $\rm C$$\left ( 1,~0 \right )$을 꼭짓점으로 하는 $\rm \triangle ABC$의 내부의 점 $\rm X$$( m,~t)$에 대하여 다음 물음에 답하여라.

① $t$를 고정하고 $m$을 변화시킬 때, $\rm \left | AX \right | + \left | BX \right | + \left | CX \right |$가 최소가 되는 점 $X$가 $y$축 위에 있음을 보여라.

② 앞의 ①에서 구한 최솟값이 최소일 때의 $t$를 구하여라.

 

 

 

[문제2] 다음 물음에 답하여라.

(1) $P$가 $n$차 다항식일 때, 방정식 $P \left ( x \right ) =0$의 근의 개수는 $n$보다 클 수 없음을 증명하여라.

(2) 다항식 $f _ {1} ,f _ {2} ,f _ {3} , \cdots$가 다음 (가), (나), (다)를 만족한다.

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(가) $f _ {1} \left ( x \right ) =x$

(나) $\frac {d} {dx} f _ {n} \left ( x \right ) =nf _ {n-1} \left ( x \right ) \left ( n=2,~3, ~\cdots \right )$

(다) $\int _ {-1} ^ {1} {f _ {n} \left ( x \right ) dx=0 \left ( n=1,~2, ~\cdots \right )}$

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$f _ {2} ,~f _ {3} ,~f _ {4} ,~f _ {5}$를 구해보면 다음과 같다.

$f _ {2} \left ( x \right ) =x ^ {2} - \frac {1} {3} ,~~~~~~f _ {3} \left ( x \right ) =x ^ {3} -x,$

$f _ {4} \left ( x \right ) =x ^ {4} -2x ^ {2} + \frac {7} {15} ,~~f _ {5} \left ( x \right ) =x ^ {5} - \frac {10} {3} x ^ {3} + \frac {7} {3} x$

 

(a) $f _ {6} \left ( x \right )$ 를 구하시오.

(b) 방정식 $f _ {n} ( x)=0$이 서로 다른 $n$개의 실근을 가지면, $f _ {n-1} \left ( x \right ) =0$의 서로 다른 실근의 개수가 정확히 $n-1$임을 보이시오.

(c) 방정식 $f _ {6} \left ( x \right ) =0$의 서로 다른 실근의 개수가 정확하게 2임을 보이시오.

(참고 : $7 ^ {4} -5 \bullet 3 \bullet 7 ^ {3} +3 ^ {2} \bullet 7 ^ {3} -3 ^ {2} \bullet 31=64$)

(d) 6 이상인 모든 $n$에 대해서 방정식 $f _ {n} \left ( x \right ) =0$의 서로 다른 실근의 개수는 $n$보다 작게 됨을 설명하시오.

 

 

[문제3] 삼각형 $\rm OAB$에 대하여 $\rm G$를 $\rm \overrightarrow {OG}$$=k \rm ( \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} )$에 있는 점이라 하자. 또, 두 점 $\rm P,~Q$를

$\rm \overrightarrow {OP}$$=p \rm \overrightarrow {OA}$, $\rm \overrightarrow {OQ}$$=q \rm \overrightarrow {OB}$($0<p<1$, $0<q<1$)

인 점이라 하자.

 

(1) 점 $\rm G$가 삼각형 $\rm OAB$의 내부에 있기 위한 $k$의 조건을 구하여라.(단, 삼각형 $\rm OAB$의 내부는 삼각형 $\rm OAB$로 둘러싸인 부분에서 그 둘레를 제외한 부분을 말한다.)

 

(2) 삼각형 $\rm OAB$, 삼각형 $\rm OPQ$의 넓이를 각각 $S,~S '$이라 할 때, $$\frac {S ' } {S}$$ 를 $p,~q$를 이용하여 나타내어라.

 

(3) 세 점 $\rm G,~P,~Q$가 동일 직선상에 있을 때, $k$를 $p,~q$를 이용하여 나타내어라.

 

(4) $k= \frac {1} {4}$이고, 세 점 $\rm G,~P,~Q$가 동일 직선상에 있을 때, $$\frac {S ' } {S}$$ 의 최솟값을 구하여라.