[우함수 기함수] 함수 우함수와 기함수의 합으로 표현할 수 있다.

모든 실수 $x$에 대하여 $$f(-x)=f(x)$$를 만족하는 함수 $f(x)$를 우함수(even-function), $$f(-x)=-f(x)$$를 만족하는 함수 $f(x)$를 기함수(odd-function)이라 한다.

"임의의 함수 $f(x)$는 다음과 같이 우함수와 기함수의 합으로 나타낼 수 있고 그 표현 방식은 유일하다."

$$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

증명

$E(x)$를 우함수, $O(x)$를 기함수라 하자. 그러면

$$E(-x)=E(x),~~O(-x)=-O(x)$$

이제 $f(x)$가 우함수와 기함수의 합으로 나타낼 수 있다고 하자. 즉

$$f(x)=E(x)+O(x)~\cdots\cdots~(\mathrm{i})$$

 $E(x)$가 우함수, $O(x)$가 기함수이므로 (i)의 $x$에 $-x$를 대입하면,

$$\begin{align} f(-x)&=E(-x)+O(-x)\\&=E(x)-O(x)~\cdots\cdots~(\mathrm{ii})\end{align}$$

$\mathrm{(i)+(ii)}$, $\mathrm{(i)-(ii)}$를 하면

$$f(x)+f(-x)=2E(x),~E(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$

$$f(x)-f(-x)=2O(x),~O(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$

$$\therefore~E(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},~O(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$

 

참고) 함수 $e^x$을 우함수와 기함수의 합으로 나타내면

$$e^x = \frac{e^x +e^{-x}}{2}+\frac{e^x -e^{-x}}{2}$$

로 나타낼 때, 우함수 부분인 $\frac{e^x +e^{-x}}{2}$을 $$\cosh x$$ 기함수 부분인 $\frac{e^x -e^{-x}}{2}$을 $$\sinh x$$라한다. 또, 이 함수는 쌍곡선 $x^2 -y^2 =1$에서 $x$를 $x=\cosh x$로, $y$를 $x=\sinh x$로 놓을 수 있다. 이렇게 쌍곡선에 정의된 함수로 $h$는 hyperbola, 즉 쌍곡선을 나타낸다.

쌍곡사인함수와 쌍곡코사인 함수의 함수방정식을 이용한 경찰대 문제를 한 번 풀어보시기를....

 

2019/10/13 - [수능 모의고사] - [경찰대 기출] 2018학년도 경찰대 20번