[수학의 기초] 곡선의 볼록성 정의(위로볼록,아래로볼록), 이계도함수

정의 곡선의 오목 $\bullet$ 볼록과 변곡점

어떤 구간에서 곡선 $y=f(x)$ 위의 임의의 두 점 $\mathrm{A,~B}$에 대하여 $\mathrm{A,~B}$ 사이에 있는 곡선 부분이 항상 선분 $\mathrm{\overline{AB}}$ 보다 아래쪽에 있을 때, 곡선 $y=f(x)$는 이 구간에서 아래로 볼록(convex down)하다고 한다.
반대로 임의의 두 점 $\mathrm{A,~B}$ 사이에 있는 곡선 부분이 항상 선분 $\mathrm{\overline{AB}}$ 보다 위쪽에 있을 때, 곡선 $y=f(x)$는 이 구간에서 위로 볼록(convex up)하다고 한다.
또, 곡선  $y=f(x)$ 위의 한 점의 좌우에서 곡선의 오목$\bullet$볼록이 바뀔 때, 이 점을 곡선 $y=f(x)$의 변곡점(inflection point)이라고 한다.

참고 위의 정의를 수식으로 표현하면 다음과 같다.
구간 위의 임의의 점 $x_1 ,~x_2$에 대하여, $s+t=1$를 만족하는 임의의 양수 $s,~t$에 대하여
$$ f \left(  s x_1 +tx_2 \right) \leq s f(x_1 )+t f(x_2)$$
를 만족할 때, 함수 $y=f(x)$는 구간에서 아래로 볼록이라 한다.
 
명제 
(1) $f''(x)>0$이면 그 구간에서 곡선 $y=f(x)$는 아래로 볼록하다.
(2) $f''(x)<0$이면 그 구간에서 곡선 $y=f(x)$는 위로 볼록하다.
(3) $f''(a)=0$이고 $x=a$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌면 점 $\left (a,~f(a) \right)$는 곡선 $y=f(x)$의 변곡점이다.
증명
https://youtu.be/1F_zzJ52qy0(구독과 좋아요)

 
 
포스텍 면접문제 중 위를 증명하는 문제가 있다.
https://plusthemath.tistory.com/43

[더플러스수학] 2006학년도 포스텍 면접구술고사

 
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