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[경찰대 기출] 2018학년도 경찰대 20번수능 모의고사 2019. 10. 13. 20:18
https://tv.kakao.com/v/402897248
[경찰대 기출] 2018학년도 경찰대 20번
미분가능한 함수 f(x), g(x)가
f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x), f(1)=1
g(x+y)=g(x)g(y)+f(x)f(y), lim
을 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른것은? [5점]
ㄱ. f ' ( x)=f ' ( 0)g ( x)
ㄴ. g ( x) 는 x=0 에서 극솟값 1을 갖는다.
ㄷ. \left\{ g ( x) \right\} ^ {2} - \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} =1
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.
더보기정답 ⑤
\lim\limits _ {x \rightarrow 0} {} \frac {g ( x)-1} {x} =0 에서 g ( 0)=1 , g ' ( 0)=0
f ( 1+0)=f ( 1)g ( 0)+f ( 0)g ( 1) 에서 f ( 0)g ( 1)=0
g ( 1+0)=g ( 1)g ( 0)+f ( 1)f ( 0) 에서 f ( 1)f ( 0)=0
f ( 1)=1 이므로 f ( 0)=0
ㄱ. \begin{align} \frac {f ( x+y)-f ( x)} {y}& = \frac {f ( x)g ( y)+f ( y)g ( x)-f ( x)} {y}\\&=f ( x) \frac {g ( y)-1} {y} + \frac {f ( y)} {y} g ( x) \end{align}
이므로
\begin{align} f ' ( x)= \lim\limits _ {y \rightarrow 0} {} \frac {f ( x+y)-f ( x)} {y} =f ' ( 0)g ( x) \end{align}
ㄷ을 먼저 확인 하면
\begin{align} \frac {g ( x+y)-g ( x)} {y} &= \frac {g ( x)g ( y)+f ( x)f ( y)-g ( x)} {y} \\& =g ( x) \frac {g ( y)-1} {y} + \frac {f ( y)} {y} f ( x) \end{align}
이므로
\begin{align} g ' ( x)= \lim\limits _ {y \rightarrow 0} {} \frac {g ( x+y)-g ( x)} {y} = f ' ( 0)f ( x) \end{align}
h ( x)=\left\{ g ( x)\right\} ^ {2} -\left\{f ( x)\right\}^ {2} 이라 하면
\begin{align} h ' ( x) &=2g ( x)g ' ( x)-2f ( x)f ' ( x) \\&=2g ( x)f ' ( 0)f ( x)-2f ( x)f ' ( 0)g ( x)\\&=0 \end{align}
따라서 h ( x) 는 상수함수이고, h ( x)=h ( 0)=1-0=1
\therefore ~ \begin{align} \left\{g ( x)\right\} ^ {2} -\left\{f ( x)\right\}^ {2} =1 \end{align}
이제 ㄴ 을 확인하면 ㄷ에서 \left\{g ( x) \right\} ^ {2} =1+\left\{ f ( x) \right\} ^ {2} \geq 1 이므로 g(x) \geq 1 또는 g(x) \leq -1 이다. g(0)=0 이고 g(x)는 미분가능하므로 연속이기 때문에 모든 실수 x에 대하여 g(x)\geq 1이다. 또, g(0)=1이므로 g(x) \geq g(0)=1이다. 따라서 g ( x) \geq 1=g ( 0) 을 만족하는 열린 구간을 잡을 수 있다. 따라서 x=0 에서 극솟값 1 을 갖는다.
ㄴ. 다른 풀이
g ' ( x)= f ' ( 0)f ( x) 에서 f(x)가 미분가능하므로
g''(x)=f'(0)f'(x)=\left\{f'(0) \right\}^2 g(x)
g''(0)=\left\{f'(0)\right\}^2 g(0)=\left\{f'(0)\right\}^2 >0
(\because
만약 f'(0)=0라 하면 f'(x)=f'(0)g(x)에서 모든 실수 x에 대하여 f'(x)=0이므로 f(x)는 상수함수이다. 또, f(1)=1이므로 f(x)=1인 상수함수이다.
또, $g ' ( x)= f ' ( 0)f ( x) $에서 만약 f'(0)=0라 하면 모든 실수 x에 대하여 g'(x)=0이고 g(0)=1이므로g(x)=1인상수함수이다. 이것은 ㄷ에 모순이다. 따라서 f'(0) \ne 0 )
쌍곡코사인, 사인함수가 위의 함수방정식을 만족함을 증명한 것이다.
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