[경찰대 기출] 2018학년도 경찰대 20번

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[경찰대 기출] 2018학년도 경찰대 20번

미분가능한 함수 $ f ( x) $, $ g ( x) $가

\begin{align}  f ( x+y)=f ( x)g ( y)+f ( y)g ( x),~~f ( 1)=1   \end{align}

\begin{align}  g ( x+y)=g ( x)g ( y)+f ( x)f ( y),~~\lim\limits _ {x \rightarrow 0} {} \frac {g ( x)-1} {x} =0  \end{align}

을 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른것은? [5점]

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ㄱ. $ f ' ( x)=f ' ( 0)g ( x) $

ㄴ. $ g ( x) $는 $ x=0 $에서 극솟값 1을 갖는다.

ㄷ. $ \left\{ g ( x) \right\} ^ {2} - \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} =1 $

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① ㄴ                  ② ㄷ                ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ              ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ    

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

정답 ⑤

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {} \frac {g ( x)-1} {x} =0 $$에서 $ g ( 0)=1 $, $ g ' ( 0)=0 $

$ f ( 1+0)=f ( 1)g ( 0)+f ( 0)g ( 1) $ 에서 $ f ( 0)g ( 1)=0 $

$ g ( 1+0)=g ( 1)g ( 0)+f ( 1)f ( 0) $ 에서 $ f ( 1)f ( 0)=0 $

$ f ( 1)=1 $이므로 $ f ( 0)=0 $

ㄱ. $$\begin{align} \frac {f ( x+y)-f ( x)} {y}& = \frac {f ( x)g ( y)+f ( y)g ( x)-f ( x)} {y}\\&=f ( x) \frac {g ( y)-1} {y} + \frac {f ( y)} {y} g ( x) \end{align}$$

이므로

$$\begin{align} f ' ( x)= \lim\limits _ {y \rightarrow 0} {} \frac {f ( x+y)-f ( x)} {y} =f ' ( 0)g ( x) \end{align}$$

ㄷ을 먼저 확인 하면

\begin{align} \frac {g ( x+y)-g ( x)} {y} &= \frac {g ( x)g ( y)+f ( x)f ( y)-g ( x)} {y} \\& =g ( x) \frac {g ( y)-1} {y} + \frac {f ( y)} {y} f ( x) \end{align}

이므로

\begin{align}  g ' ( x)= \lim\limits _ {y \rightarrow 0} {} \frac {g ( x+y)-g ( x)} {y} =  f ' ( 0)f ( x)  \end{align}

$ h ( x)=\left\{ g ( x)\right\} ^ {2} -\left\{f ( x)\right\}^ {2} $이라 하면

$$\begin{align} h ' ( x) &=2g ( x)g ' ( x)-2f ( x)f ' ( x) \\&=2g ( x)f ' ( 0)f ( x)-2f ( x)f ' ( 0)g ( x)\\&=0 \end{align}$$

따라서 $ h ( x) $는 상수함수이고, $ h ( x)=h ( 0)=1-0=1 $

$$ \therefore ~ \begin{align}   \left\{g ( x)\right\} ^ {2} -\left\{f ( x)\right\}^ {2} =1  \end{align}$$

이제 ㄴ 을 확인하면 ㄷ에서 $ \left\{g ( x) \right\}  ^ {2} =1+\left\{ f ( x) \right\} ^ {2} \geq 1 $이므로 $g(x) \geq 1$ 또는 $g(x) \leq -1$ 이다. $g(0)=0$ 이고 $g(x)$는 미분가능하므로 연속이기 때문에 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x)\geq 1$이다. 또, $g(0)=1$이므로 $g(x) \geq g(0)=1$이다. 따라서 $ g ( x) \geq 1=g ( 0) $을 만족하는 열린 구간을 잡을 수 있다. 따라서 $ x=0 $에서 극솟값 1 을 갖는다.

 

ㄴ. 다른 풀이

$  g ' ( x)=  f ' ( 0)f ( x)  $에서 $f(x)$가 미분가능하므로

$$g''(x)=f'(0)f'(x)=\left\{f'(0) \right\}^2 g(x)$$

$$g''(0)=\left\{f'(0)\right\}^2 g(0)=\left\{f'(0)\right\}^2 >0$$

($\because$  

만약 $f'(0)=0$라 하면 $f'(x)=f'(0)g(x)$에서 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x)=0$이므로 $f(x)$는 상수함수이다. 또, $f(1)=1$이므로 $f(x)=1$인 상수함수이다. 

또, $g ' ( x)= f ' ( 0)f ( x) $에서 만약 $f'(0)=0$라 하면 모든 실수 $x$에 대하여 $g'(x)=0$이고 $g(0)=1$이므로$g(x)=1$인상수함수이다. 이것은 ㄷ에 모순이다. 따라서 $f'(0) \ne 0$ )

 

쌍곡코사인, 사인함수가 위의 함수방정식을 만족함을 증명한 것이다.

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