[이항분포] 이항분포 평균 분산 증명

 

정의 이항분포

어떤 시행에서 사건 $\mathrm E$가 일어날 확률을 $p$라고 하자. 이 시행을 독립적으로 $n$회 반복할 때, 사건 $\mathrm E$가 일어나는 횟수를 확률변수 $X$라고 하면 $X$의 확률질량함수는

$$\mathrm P (X=r)={}_n \mathrm C _r p^r q^{n-r} ~~(단, ~q=1-p,~r=0,~1,~2,~\cdots,~n)$$

이고, $X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$X$	$0$	$1$	$2$	$\cdots$	$r$	$\cdots$	$n$
$\mathrm P (X=r)$	${}_n \mathrm C _0 p^0 q^n$	${}_n \mathrm C _1 p^1 q^{n-1}$	${}_n \mathrm C _2 p^2 q^{n-2}$	$\cdots$	${}_n \mathrm C _r p^r q^{n-r}$	$\cdots$	${}_n \mathrm C _n p^n q^{0}$

 

이와 같은 확률분포를 이항분포(binomial distribution)이라 하고, 기호로 $\mathrm B (n,~p)$로 나타낸다.

이 때, "확률변수 $X$는 이항분포 $\mathrm B (n,~p)$를 따른다"고 하고, $$X \sim \mathrm B (n,~p)$$로 나타낸다.

 

정리 이항분포의 평균과 분산, 표준편차

 

확률변수 $X$는 이항분포 $\mathrm B (n,~p)$를 따를 때, $X$의 평균 $\mathrm E (X) $, 분산 $\mathrm V (X) $ 및 표준편차 $\mathrm \sigma (X) $는 다음과 같다.

$$\mathrm E (X)= np,~~\mathrm V (X)=npq ,~~\sigma (X)= \sqrt{npq}~~(단,~q=1-p) $$

 

증명에 쓰인 성질은 In-and-Out Formula이다.

$$\textcolor{red}{r {}_{n}\mathrm C _{r}= n {}_{n-1} \mathrm C_{r-1}}$$

$$\textcolor{red}{r(r-1) {}_{n}\mathrm C _{r}= n(n-1) {}_{n-2} \mathrm C_{r-2}}$$

아래의 참조를 먼저 본 후 증명을 보면 이해하기가 쉬울 것이다.

미분을 이용한 증명도 있는데 그 내용보다는 위의 과정이 조합수학에서는 훨씬 더 중요하고 필요하다.

https://plusthemath.tistory.com/227

조합론적 증명

 

https://youtu.be/zx_dZyrtRKA(구독과 좋아요를...)

 

 

증명을 보려면 아래를 클릭하세요.

(증명)

확률변수 $X$에 대한 이항분포를  $\mathrm B \left( n,~p \right)$라 하면 확률질량함수 $ \mathrm P (X=r)$은

$$\mathrm P (X=r)= \sum_{r=0}^{n} {}_n \mathrm C _r p^r q^{n-r} ~~(단,~p+q=1)$$

$r \geq 1$에 대하여 $r {}_n \mathrm C _r = n {}_{n-1} \mathrm C_{r-1}$이 성립하므로 이 식을 쓰면

평균 $\mathrm E(X)$는

$$\begin{align} \mathrm E (X)&=\sum_{r=0}^n r \mathrm P(X=r)=\sum_{r=0}^n r {}_n \mathrm C_r p^r q^{n-r} \\&=\sum_{\textcolor{red}{r=1}}^n r {}_n \mathrm C_r p^r q^{n-r}=np\sum_{r=1}^n  {}_{n-1} C_{r-1} p^{r-1}q^{(n-1)-(r-1)} \\& =np (p+q)^{n-1} =np\end{align}$$

분산을 구하기 위해 $\mathrm E( X^2 )$을 다음 과정으로 먼저 구하자.

$$ E ( X ^ {2} )=E ( X)+ \sum\limits _ {k=0} ^ {n} k ( k-1)P _ {k} ~\cdots\cdots~(\mathrm{i})$$

여기서 $r \geq 2$ 에 대하여 $$\textcolor{red}{r(r-1) {}_{n}\mathrm C _{r}= n(n-1) {}_{n-2} \mathrm C_{r-2}}$$이 성립하므로 이를 이용하여

$$ \begin{align} \sum\limits _ {k=0} ^ {n} k ( k-1)P _ {k} &=\sum_{k=0}^n k(k-1){}_n \mathrm C_r p^r q^{n-r} = \sum_{\textcolor {red}{r=2}}^n n(n-1){}_{n-2} \mathrm C _{r-2} p^r q^{n-r} \\&= n(n-1)p^2 \sum_{r=2}^n {}_{n-2} \mathrm C _{r-2} p^{r-2}q^{(n-2)-(r-2)} \\&= n(n-1)p^2 (p+q)^{n-2} =n(n-1)p^2 ~\cdots\cdots ~(\mathrm{ii})\end{align}$$

(i), (ii)에서

$$ \begin{align} \mathrm E ( X ^ {2} )&= \mathrm E ( X)+ \sum\limits _ {k=0} ^ {n} k ( k-1) \mathrm P _ {k} \\&=np+ n(n-1)p^2 \end{align}$$

이므로 분산 $\mathrm V(X)$는

$$\begin{align} \mathrm V(X)&= \mathrm E (X^2 )- \left\{ \mathrm E(X)\right\}^2 \\&=np+n(n-1)p^2 -(np)^2 = np-np^2 \\&=np(1-p)=npq \end{align}$$