[더플러스수학] 2019년 교육청 7월 20번

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $ f \left ( x \right ) $가 모든 실수 $ x $에 대하여

$$ f \left ( 1+x \right ) =f \left ( 1-x \right ) $$ $$ f \left ( 2+x \right ) =f \left ( 2-x \right ) $$

 

를 만족시킨다. 실수 전체의 집합에서 $ f ' \left ( x \right ) $가 연속이고, $ \int _ {2} ^ {5} {f ' \left ( x \right ) dx=4} $일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. 모든 실수 $ x $에 대하여 $ f \left ( x+2 \right ) =f \left ( x \right ) $이다. ㄴ. $ f \left ( 1 \right ) -f \left ( 0 \right ) =4 $ ㄷ. $ \int _ {0} ^ {1} {f \left ( f \left ( x \right ) \right ) f ' \left ( x \right ) dx=6} $일 때, $ \int _ {1} ^ {10} {f \left ( x \right ) dx} = \frac {27} {2} $이다.

① ㄱ                ② ㄷ               ③ ㄱ, ㄴ       

④ ㄴ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

[정답] ⑤

[출제의도] 정적분을 활용하여 함수 추론하기

ㄱ. $ f \left ( 2+x \right ) $$ =f \left ( 2-x \right ) =f \left ( 1+ \left ( 1-x \right ) \right ) $$ =f \left ( 1- \left ( 1-x \right ) \right ) =f \left ( x \right ) $

$ f \left ( x+2 \right ) =f \left ( x \right ) $ (참)

ㄴ. $ \int _ {2} ^ {5} {f ' \left ( x \right ) dx} $$ = \left [ f \left ( x \right ) \right ] _ {2} ^ {5} $$ =f \left ( 5 \right ) -f \left ( 2 \right ) =4 $이고

ㄱ에 의하여 $ f \left ( 5 \right ) =f \left ( 1 \right ) $이고$ f \left ( 2 \right ) =f \left ( 0 \right ) $이므로 $ f \left ( 1 \right ) -f \left ( 0 \right ) =4 $ (참)

ㄷ. $ f \left ( 0 \right ) =a $라 하면 $ f \left ( 1 \right ) =a+4 $

$ f \left ( x \right ) =t $라 치환하면 $ \frac {dt} {dx} =f ' \left ( x \right ) $이므로$$ \int _ {0} ^ {1} {f \left ( f \left ( x \right ) \right ) f ' \left ( x \right ) dx= \int _ {f \left ( 0 \right )} ^ {f \left ( 1 \right )} {f \left ( t \right ) dt=6} } $$

ㄱ, ㄴ에 의하여 $$\int_a ^{a+4} f(t)dt =6=2 \int_a^{a+2} f(t)dt $$

에서 $$ \int_0^2 f(t)dt =3 \int_0^{10} f(x)dx =5 \int_0^2 f(x)dx =15 f(1+x)=f (1-x)$$ 이므로 $$\int_0^1 f(x)dx =\int_1^2 f(x)dx = \frac{3} {2} $$      

$$ \int_1^{10} f(x)dx = \int_0^{10} f(x)dx - \int_0^1 f(x)dx =15- \frac{3}{2} = \frac{27}{2} $$ (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ