[더플러스수학]과학고2학년 고급수학 2학기기말대비 프린트

 

2. 삼각행렬의 고윳값은 그 행렬의 대각원소들임을 보여라.

https://youtu.be/1XNEOX-QZ9E

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3. $ A $를 $ n \times n $행렬이라 할 때, $ A $가 특이행렬이기 위한 필요충분조건은 $ \lambda =0 $이 $ A $의 고유값임을 증명하여라.

https://youtu.be/z6ySn83qVE4

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4. $ A $가 비특이행렬이고 $ \lambda $가 $ A $의 고윳값이라 하자. $ \large{\frac {1} {\lambda }} $가 $ A ^ {-1} $의 고윳값임을 증명하라.

https://youtu.be/HgGecSWsUtI

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5. $ A $와 $ B $가 $ n \times n $행렬이라고 하자. $ 1 $이 $ A $의 고윳값이 아닌 경우, 다음으로 주어진 행렬 방정식이 유일한 해를 가짐을 보여라.

$$ XA+B=X $$

https://youtu.be/_SMyytUJhY0

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6. $ \lambda $가 $ A $의 고윳값이고, $ \mathrm {{x}} $는 $ \lambda $에 속한 고유벡터라고 하자. 수학적 귀납법을 이용하여 $ \lambda ^ {m} $이 $ A ^ {m} $의 고윳값이고 $ \mathrm{{ x}} $가 $ \lambda ^ {m} $에 속한 고유벡터임을 $ m \geq 1 $에 대해 증명하여라.

https://youtu.be/cDHbaAzdkUE

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7. $ A $가 $ n \times n $행렬이고, $ B=I-2A+A ^ {2} $이라고 하자.

(a) 만약 $ \rm x $가 $ A $의 고윳값 $ \lambda $에 속한 고유벡터라면, $ \rm x $가 $ B $의 고윳값 $ \mu $에 속한 고유벡터이기도 함을 보여라. 이 때, $ \lambda $와 $ \mu $는 어떤 관계를 가지는가?

(b) 만약 $ \lambda =1 $이 $ A $의 고유값이라면 행렬 $ B $는 특이행렬임을 보여라.

https://youtu.be/AnQFepsRCh4

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8. $ A ^ {2} =A $를 만족하는 $ n \times n $행렬 $ A $를 제곱이 같은 행렬(idempotent matrix)이라 한다. $ \lambda $가 ‘제곱이 같은 행렬’(idempotent matrix)의 고유값이라고 할 때, $ \lambda $는 $ 0 $ 또는 $ 1 $임을 증명하여라.

https://youtu.be/BYC2KhnIWk0

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9. 어떤 양의 정수 $ k $에 대하여 $ A ^ {k} =O $를 만족하는 $ n \times n $행렬 $ A $를 거듭제곱이 영인 행렬(nilpotent matrix)이라 한다. ‘거듭제곱이 영인 행렬’(nilpotent matrix)의 고유값이 모두 $ 0 $임을 증명하여라.

https://youtu.be/CVN7jM1pY6M

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10. $ A $가 $ n \times n $행렬이고 어떤 스칼라 $ \alpha $에 대해 $ B=A- \alpha I $라고 하자. $ A $와 $ B $의 고윳값을 비교하고 설명하여라.

https://youtu.be/GtIAf06Rvrg

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11. $ A $가 $ n \times n $행렬이고 , $ B=A+I $라고 하자. 행렬 $ A $와 행렬 $ B $가 유사할 수 있는지 설명여라.

https://youtu.be/4mmIfYQJLwI

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12. $ A $와 $ A ^ {T} $는 동일한 고윳값을 가짐을 증명하여라. 고유벡터도 반드시 같아야 하는지 설명하여라.

https://youtu.be/BYXxBxGO9J8

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13. 다음 행렬 $ A= \left[ \matrix {\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta } \right] $은 $ \theta \neq n \pi $ ($ n $은 정수)인 경우에는 복소 고윳값을 가짐을 보여라. 이 결과에 대한 기하학적인 설명을 하여라.

https://youtu.be/g873GndcR18

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14. $ A $는 $ 2 \times 2 $행렬이다. $ tr ( A)=8,~det ( A)=12 $일 때, $ A $의 고윳값을 구하여라.

https://youtu.be/H7NQfz0qADA

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15. $ A= \left ( a _ {ij} \right ) $는 고윳값 $ \lambda _ {1} ,~ \cdots ,~ \lambda _ {n} $을 갖는 $ n \times n $행렬이다. 다음을 증명하여라.

$$ \lambda _ {j} =a _ {ij} + \sum\limits _ {i \neq j} ^ {} ( a _ {ii} - \lambda _ {i} ) ~ j=1,2,~ \cdots ,~n $$

 

 

 

16. $ A $는 $ 2 \times 2 $행렬이고 $ p ( \lambda )= \lambda ^ {2} +b \lambda +c $는 $ A $의 특성다항식이다. $ b=-tr ( A),~c=det ( A) $임을 보여라.

https://youtu.be/S9yxx9p2XHg

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17. $ \lambda $를 $ A $의 $ 0 $이 아닌 고윳값이라 하고, $ \rm x $는 $ \lambda $에 속한 고유벡터라고 하자. 임의의 양의 정수 $ m $에 대하여 $ A ^ {m} \rm x $ 역시 $ \lambda $에 속한 고윳값임을 증명하여라.

https://youtu.be/osfuxhE3I0g

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19. $ A $는 $ n \times n $행렬이다. $ R ^ {n} $에 속한 벡터 $ \rm x $가 $ A $의 고유벡터이기 위한 필요충분조건은 $ \rm x $와 $ A \rm x $로부터 생성되는 $ R ^ {n} $의 부분공산 $ S $의 차원이 $ 1 $임을 증명하여라.

https://youtu.be/OyxGRkUzL7Y

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20. $ \alpha =a+bi $와 $ \beta =c+di $는 복소스칼라이고 $ A,~B $는 복소수로 구성된 행렬들이다.

(a) 다음을 증명하여라.

$ \overline {\alpha + \beta } = \overline {\alpha } + \overline {\beta } $ 그리고 $ \overline {\alpha \beta } = \overline {\alpha } \overline {\beta } $

(b) $ \overline {AB} $와 $ \overline {A} \overline {B} $의 $ ( i,~j) $의 원소가 같음, 즉 $ \overline {AB} = \overline {A} \overline {B} $임을 증명하여라.

https://youtu.be/byrNvMojNZw

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직교행렬은 시험에 나오지 않는다 하여 제외함.

 

 

24. $ \rm x _ {1} ,~ \cdots ,~x _ {\it r \rm } $이 $ n \times n $행렬의 고유벡터이고 $ S $가 $ \rm x _ {1} ,~x _ {2} .~ \cdots ,~x _ {\it r \rm } $로부터 행성된 $ R ^ {n} $의 부분공간이라 하자. $ S $는 $ A $에 의해 불변(즉, 모든 $ \rm x \in \it S $에 대하여 $ A \rm x \in \it S $)임을 보여라.

https://youtu.be/qjvMmiY3CNY

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25. $ A $가 $ n \times n $행렬이고, $ \lambda $가 $ A $의 고유값이라고 하자. 만약 $ B $가 $ A $와 교환법칙이 성립하는 임의의 행렬이라면, 고유공간 $ N ( A- \lambda I) $는 $ B $에 의해 불변함을 보여라.

https://youtu.be/GZ8vbat7Jg0

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26. $ B=S ^ {-1} AS $이고 $ \rm x $는 $ B $의 고윳값 $ \lambda $에 속한 고유벡터이다. $ S \rm x $는 $ A $의 고윳값 $ \lambda $에 속한 고유벡터임을 증명하여라.

https://youtu.be/gzRq1sMRM-s

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27. $ A $가 $ n \times n $행렬이고, $ \lambda $가 $ A $의 고유값이며, $ \rm x $는 $ \lambda $에 속한 고유벡터라고 하자. 또한 $ S $는 $ n \times n $인 비특이행렬이고, $ \alpha $는 스칼라라고 하자. 만약

$$ B= \alpha I-SAS ^ {-1} ,~~ y=S \mathrm x $$

라면, $ y $가 $ B $의 고유벡터임을 보여라. 그리고 $ y $에 해당하는 $ B $의 고유값을 구하여라.

https://youtu.be/0jPelYfbDwQ

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28. 두 $ n \times n $행렬 $ A $와 $ B $가 공통의 고유벡터 $ \rm x $를 갖는다고 하자. (고윳값도 반드시 같다는 의미는 아니다.) $ \rm x $는 $ C= \alpha A \times \beta B $형태의 모든 행렬의 고유벡터가 됨을 보여라.

https://youtu.be/_DNMzWd53ps

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29. $ A $는 $ n \times n $행렬이고 $ \lambda $는 $ A $의 영이 아닌 고윳값이다. 만일 $ \rm x $가 $ \lambda $에 속한 고유벡터라면 $ \rm x $는 $ A $의 열공간에 속함을 보여라. 즉, $ \lambda $에 해당하는 고유공간은 $ A $의 열공간의 부분공간이다.

https://youtu.be/G5PqRuhRq7s

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30. $ \left\{ \mathrm { {u _ {1} ,~u _ {2} ,~ \cdots ,~u _ {\text {n} } }} \right\} $이 $ R ^ {n} $의 정규직교 기저이고 $ A $를 랭크가 $ 1 $인 행렬들 $ {\rm u _ {1} u _ {1} ^ {\it T \rm } ,~u _ {2} u _ {2} ^ { T  } ,~ \cdots ,~u _ { n  } u _ { n  } ^ { T  }  } $의 선형조합이라 하자. $ A $를 다음과 같이 표현했을 때,

$ A=c _ {1}  { u _ {1} u ^ { T }  } +  c _ {2}  { u _ {2} u _ {2} ^ { T  }  } + \cdots +  c _ {n} { u _ { n  } u _ {n } ^ { T  }  } $

$ A $는 고윳값이 $ c _ {1} ,~c _ {2} ,~ \cdots ,~c _ {n} $이고, 각각의 $ i $에 대해 $ \rm  {u _ {\it i  } } $가 $ c _ {i} $에 속한 고유벡터가 되는 대칭행렬임을 증명하여라.

https://youtu.be/BONVReYH9dE

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31. 행렬 $ A $의 모든 열벡터는 그 성분들의 합이 $ \delta $이다. $ \delta $가 $ A $의 고윳값임을 증명항라.

https://youtu.be/YikOqZcnaU8

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32. $ \lambda _ {1} $과 $ \lambda _ {2} $는 $ A $의 서로 다른 고윳값이다. $ \rm  {x} $는 $ \lambda _ {1} $에 속한 $ A $의 고유벡터이고 $ \rm  {y} $는 $ \lambda _ {2} $에 속한 $ A ^ {T} $의 고유벡터라 할 때, $ \rm  {x,~y} $는 서로 직교함을 보여라.

https://youtu.be/G5PqRuhRq7s

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33. $ A $와 $ B $는 $ n \times n $행렬들이다. 다음을 증명하여라.

(a) $ \lambda $가 $ AB $의 영이 아닌 고윳값이면 그 $ \lambda $는 $ BA $의 고윳값이기도 하다.

(b) $ \lambda =0 $이 $ AB $의 고윳값이면 그 $ \lambda =0 $은 $ BA $의 고윳값이기도 하다.

 

(증명)

(a) 만약 $ v $가 0이 아닌 $ \lambda $에 대하여 $ AB $의 고유벡터라고 하면 $ Bv \neq 0 $이고 고유벡터의 정의에 의해

$$ ( AB)v= \lambda v $$

양변에 앞쪽에 $ B $를 곱하면

$$ B ( AB)v= \lambda Bv $$

$$ ( BA)Bv= \lambda Bv $$

에서 $ Bv \neq 0 $이고 $ \lambda Bv=B ( ABv)= ( BA)Bv $이다.

따라서 $ Bv $는 $ \lambda $에 대한 $ BA $의 고유벡터이다.

(b) 만약 $ 0 $이 $ AB $의 고윳값이라 하면 고윳값의 정의에 의해 $ |AB- \lambda I|=0 $에서 $ \lambda =0 $을 대입하면

$$ 0=det ( AB)=det ( A)det ( B)=det ( B)det ( A)=det ( BA) $$

따라서 $ 0 $도 $ BA $의 고윳값이 된다. 즉 $ |BA- \lambda I|=0 $에 $ \lambda =0 $ 넣으면 성립한다.