[더플러스수학] 2015년 교육청 모의고사 3월 21번

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수

$ f ( x)=\sin ^ {2} x+a\cos x $,    $ g ( x)= { \begin {cases} 0 & \left ( x<- \frac {\pi } {2} \right ) \\ x & \left ( - \frac {\pi } {2} \leq x< \pi \right ) \\ bx & ( x \geq \pi )\end {cases} } $

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?(단, $ a $, $ b $는 실수이다.) [4점][2015년 3월]

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ㄱ. $ \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} -0} {g ( x)} =0 $

ㄴ. $ a=2 $이면 합성함수 $ ( f \circ g) ( x) $는 $ x=- \frac {\pi } {2} $에서 연속이다.

ㄷ. $ a $의 값에 관계없이 합성함수 $ ( f \circ g) ( x) $가 $ x= \pi $에서 연속이면 $ b=2n-1 $($ n $은 정수)이다.

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①ㄱ                         ②ㄴ                         ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ                    ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

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정답 ③

[출제의도] 함수의 연속성을 이해하여 합성함수의 연속성을 추론한다.

ㄱ. 함수 $ g ( x) $는 $ x < - \frac {\pi } {2} $에서 $ 0 $이므로  $ \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} -0} {g ( x)} = \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} -0} {0} =0 $ (참)

ㄴ. $ a=2 $이므로 $ f ( x)=\sin ^ {2} x+2\cos x $이다.  $ f ( x) $는 실수 전체의 집합에서 연속이므로

임의의 실수 $ \alpha $에 대하여  $ \lim\limits _ {x \rightarrow \alpha -0} {f ( x)} = \lim\limits _ {x \rightarrow \alpha +0} {f ( x)} =f ( \alpha ) $를 만족한다.

$ \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} -0} { ( f \circ g) ( x)} =f ( 0)   =\sin ^ {2} 0+2\cos 0   =2 $

$\lim\limits_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}+} (f \circ g )(x)=\lim\limits_{x \rightarrow- \frac{\pi}{2} +} f(x) = \sin^2 \left( -\frac{\pi}{2}\right) +2 \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right)=1$

$ \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} +0} ( f \circ g) ( x) = \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} +0} f ( x) =\sin ^ {2} \left ( - \frac {\pi } {2} \right ) +2\cos \left ( - \frac {\pi } {2} \right ) =1 $

$ \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} -0} { ( f \circ g) ( x)} \neq \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} +0} { ( f \circ g) ( x)} $

이므로 합성함수 $ ( f \circ g) ( x) $는 $ x=- \frac {\pi } {2} $에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. $ \lim\limits _ {x \rightarrow \pi -0} { ( f \circ g) ( x)} = \lim\limits _ {x \rightarrow \pi -0} {f ( x)} $$ =\sin ^ {2} \pi +a\cos \pi =-a $

$ \lim\limits _ {x \rightarrow \pi +0} { ( f \circ g) ( x)} = \lim\limits _ {x \rightarrow \pi +0} {f ( bx)} $$ =\sin ^ {2} b \pi +a\cos b \pi $

$ ( f \circ g) \left ( \pi \right ) =f ( b \pi )=\sin ^ {2} b \pi +a\cos b \pi $

합성함수 $ ( f \circ g) ( x) $가 $ x= \pi $에서 연속이므로

$ \lim\limits _ {x \rightarrow \pi -0} { ( f \circ g) ( x)} = \lim\limits _ {x \rightarrow \pi +0} { ( f \circ g) ( x)} $ $ = ( f \circ g) ( \pi ) $

그러므로

$ \sin ^ {2} b \pi +a\cos b \pi =-a $

$ 1-\cos ^ {2} b \pi +a\cos b \pi +a=0 $

$ 1-\cos ^ {2} b \pi +a ( 1+\cos b \pi )=0 $ $\cdots\cdots$ ㉠

㉠이 $ a $에 대한 항등식이므로  $ 1-\cos ^ {2} b \pi =0 $이고 $ \cos b \pi +1=0 $이다.

$ \cos b \pi =-1 $이므로

$ b \pi = ( 2n-1) \pi $($ n $은 정수)

$ b=2n-1 $($ n $은 정수) (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.