[더플러스수학] 2015년 교육청 모의고사 3월 21번

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수

$f ( x)=\sin ^ {2} x+a\cos x$,    $g ( x)= { \begin {cases} 0 & \left ( x<- \frac {\pi } {2} \right ) \\ x & \left ( - \frac {\pi } {2} \leq x< \pi \right ) \\ bx & ( x \geq \pi )\end {cases} }$

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?(단, $a$, $b$는 실수이다.) [4점][2015년 3월]

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ㄱ. $\lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} -0} {g ( x)} =0$

ㄴ. $a=2$이면 합성함수 $( f \circ g) ( x)$는 $x=- \frac {\pi } {2}$에서 연속이다.

ㄷ. $a$의 값에 관계없이 합성함수 $( f \circ g) ( x)$가 $x= \pi$에서 연속이면 $b=2n-1$($n$은 정수)이다.

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①ㄱ                         ②ㄴ                         ③ㄱ, ㄷ

④ㄴ, ㄷ                    ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

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정답 ③

[출제의도] 함수의 연속성을 이해하여 합성함수의 연속성을 추론한다.

ㄱ. 함수 $g ( x)$는 $x < - \frac {\pi } {2}$에서 $0$이므로  $\lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} -0} {g ( x)} = \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} -0} {0} =0$ (참)

ㄴ. $a=2$이므로 $f ( x)=\sin ^ {2} x+2\cos x$이다.  $f ( x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로

임의의 실수 $\alpha$에 대하여  $\lim\limits _ {x \rightarrow \alpha -0} {f ( x)} = \lim\limits _ {x \rightarrow \alpha +0} {f ( x)} =f ( \alpha )$를 만족한다.

$\lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} -0} { ( f \circ g) ( x)} =f ( 0)   =\sin ^ {2} 0+2\cos 0   =2$

$\lim\limits_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}+} (f \circ g )(x)=\lim\limits_{x \rightarrow- \frac{\pi}{2} +} f(x) = \sin^2 \left( -\frac{\pi}{2}\right) +2 \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right)=1$

$\lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} +0} ( f \circ g) ( x) = \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} +0} f ( x) =\sin ^ {2} \left ( - \frac {\pi } {2} \right ) +2\cos \left ( - \frac {\pi } {2} \right ) =1$

$\lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} -0} { ( f \circ g) ( x)} \neq \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {\pi } {2} +0} { ( f \circ g) ( x)}$

이므로 합성함수 $( f \circ g) ( x)$는 $x=- \frac {\pi } {2}$에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. $\lim\limits _ {x \rightarrow \pi -0} { ( f \circ g) ( x)} = \lim\limits _ {x \rightarrow \pi -0} {f ( x)}$$=\sin ^ {2} \pi +a\cos \pi =-a$

$\lim\limits _ {x \rightarrow \pi +0} { ( f \circ g) ( x)} = \lim\limits _ {x \rightarrow \pi +0} {f ( bx)}$$=\sin ^ {2} b \pi +a\cos b \pi$

$( f \circ g) \left ( \pi \right ) =f ( b \pi )=\sin ^ {2} b \pi +a\cos b \pi$

합성함수 $( f \circ g) ( x)$가 $x= \pi$에서 연속이므로

$\lim\limits _ {x \rightarrow \pi -0} { ( f \circ g) ( x)} = \lim\limits _ {x \rightarrow \pi +0} { ( f \circ g) ( x)}$ $= ( f \circ g) ( \pi )$

그러므로

$\sin ^ {2} b \pi +a\cos b \pi =-a$

$1-\cos ^ {2} b \pi +a\cos b \pi +a=0$

$1-\cos ^ {2} b \pi +a ( 1+\cos b \pi )=0$ $\cdots\cdots$ ㉠

㉠이 $a$에 대한 항등식이므로  $1-\cos ^ {2} b \pi =0$이고 $\cos b \pi +1=0$이다.

$\cos b \pi =-1$이므로

$b \pi = ( 2n-1) \pi$($n$은 정수)

$b=2n-1$($n$은 정수) (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.