[더플러스수학] 2020학년도 수능 나형 30번 [킬러문항]

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f \left ( x \right )$가 다음 조건을 만족시킨다.

---

(가) 방정식 $f \left ( x \right ) -x=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다.

(나) 방정식 $f \left ( x \right ) +x=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다.

---

$f \left ( 0 \right ) =0,~f ' \left ( 1 \right ) =1$일 때, $f \left ( 3 \right )$의 값을 구하시오. [$4$점]

 

https://youtu.be/oGCffCCbfW8[구독과 좋아요]

 

 

 

정답 및 풀이을 보려면 아래를 클릭하세요.

 

정답 $51$

$f ( x)=x$의 실근이 $2$개, $f ( x)=-x$의 실근이 $2$개라는 조건을 이용하여 그래프의 개형을 유추해 보면 다음과 같다.

그림1                                                       그림2

문제의 조건에서 $f ' ( 1)=1$이라는 조건에 의해 그림1번이 된다는 것을 알 수 있다.

$y=f ( x)$와 $y=x$와 교점의 $x$좌표는 $0,~ \alpha$ ($0< \alpha$)라 두면

$f ( x)-x=ax ^ {2} ( x- \alpha )$

$\therefore$ $f ( x)=ax ^ {2} ( x- \alpha )+x$ ($a \neq 0$)$\cdots \cdots$①

로 둘 수 있다.

$f ( x)+x=0$에서

$f ( x)+x= \left\{ ax ^ {2} ( x- \alpha )+x \right\} +x$

$\therefore$ $f ( x)+x=x \left\{ ax ( x- \alpha )+2 \right\}$

$f ( x)+x=0$의 근이 중근 하나와 실근하나를 가져야 하고 그림에서 보듯이 $x=0$에서 중근을 갖지 않으므로 $ax ( x- \alpha )+2=0$의 방정식이 중근을 가져야 한다. 따라서 판별식을 $\rm D$라 하면

$$ax ^ {2} -a \alpha x+2=0$$

$$\begin{align} \mathrm {D} &=   ( a \alpha ) ^ {2} -4 \times a \times 2 \\&=a \left ( a \alpha ^ {2} -8 \right ) =0 \end{align}$$

$a \neq 0$이므로

$$a \alpha ^ {2} =8$$

$f ' ( 1)=1$이므로 ①에서

$$f ' ( x)=2ax ( x- \alpha )+ax ^ {2} +1$$

$$f ' ( 1)=2a ( 1- \alpha )+a+1=1$$

$$2a-2a \alpha +a=0$$

$$\therefore ~ \alpha = \frac {3} {2} ,~ a= \frac {32} {9}$$

따라서 $$f ( x)= \frac {32} {9} x ^ {2} \left ( x- \frac {3} {2} \right ) +x$$

$$\begin{align} f(3)=& \frac{32}{9} \times 3^2 \times \left( 3-\frac{3}{2}\right)+3 =51 \end{align}$$

두번째 풀이-더 신박한 풀이

https://youtu.be/FkvR7hSGBqw