[더플러스수학] 2020학년도 수능 나형 30번 [킬러문항]

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $ f \left ( x \right ) $가 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) 방정식 $ f \left ( x \right ) -x=0 $의 서로 다른 실근의 개수는 $ 2 $이다.

(나) 방정식 $ f \left ( x \right ) +x=0 $의 서로 다른 실근의 개수는 $ 2 $이다.

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$ f \left ( 0 \right ) =0,~f ' \left ( 1 \right ) =1 $일 때, $ f \left ( 3 \right ) $의 값을 구하시오. [$ 4 $점]

 

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정답 $51$

$ f ( x)=x $의 실근이 $ 2 $개, $ f ( x)=-x $의 실근이 $ 2 $개라는 조건을 이용하여 그래프의 개형을 유추해 보면 다음과 같다.

그림1                                                       그림2

문제의 조건에서 $ f ' ( 1)=1 $이라는 조건에 의해 그림1번이 된다는 것을 알 수 있다.

$ y=f ( x) $와 $ y=x $와 교점의 $ x $좌표는 $ 0,~ \alpha $ ($ 0< \alpha $)라 두면

$ f ( x)-x=ax ^ {2} ( x- \alpha ) $

$ \therefore $ $ f ( x)=ax ^ {2} ( x- \alpha )+x $ ($ a \neq 0 $)$ \cdots \cdots $①

로 둘 수 있다.

$ f ( x)+x=0 $에서

$ f ( x)+x= \left\{ ax ^ {2} ( x- \alpha )+x \right\} +x $

$ \therefore $ $ f ( x)+x=x \left\{ ax ( x- \alpha )+2 \right\} $

$ f ( x)+x=0 $의 근이 중근 하나와 실근하나를 가져야 하고 그림에서 보듯이 $ x=0 $에서 중근을 갖지 않으므로 $ ax ( x- \alpha )+2=0 $의 방정식이 중근을 가져야 한다. 따라서 판별식을 $ \rm D $라 하면

$$ ax ^ {2} -a \alpha x+2=0 $$

$$ \begin{align} \mathrm {D} &=   ( a \alpha ) ^ {2} -4 \times a \times 2 \\&=a \left ( a \alpha ^ {2} -8 \right ) =0 \end{align} $$

$ a \neq 0 $이므로

$$ a \alpha ^ {2} =8 $$

$ f ' ( 1)=1 $이므로 ①에서

$$ f ' ( x)=2ax ( x- \alpha )+ax ^ {2} +1 $$

$$ f ' ( 1)=2a ( 1- \alpha )+a+1=1 $$

$$ 2a-2a \alpha +a=0 $$

$$ \therefore ~ \alpha = \frac {3} {2} ,~ a= \frac {32} {9} $$

따라서 $$ f ( x)= \frac {32} {9} x ^ {2} \left ( x- \frac {3} {2} \right ) +x $$

$$\begin{align} f(3)=& \frac{32}{9} \times 3^2 \times \left( 3-\frac{3}{2}\right)+3 =51 \end{align}$$

두번째 풀이-더 신박한 풀이

https://youtu.be/FkvR7hSGBqw