2020학년도 수능 나형 20번 [킬러문항]

함수

$$f ( x)= { \begin {cases} -x & & & \left ( x \leq 0 \right )\\x-1 & & & \left ( 0<x \leq 2 \right )\\2x-3 & & & \left ( x>2 \right )\end {cases} }$$

와 상수가 아닌 다항식 $p ( x)$에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [$4$점]

| 보기 |

---

ㄱ. 함수 $p ( x)f ( x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이면 $p ( 0)=0$이다.

ㄴ. 함수 $p ( x)f ( x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 $p ( 2)=0$이다.

ㄷ. 함수 $p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2}$이 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 $p ( x)$는 $x ^ {2} ( x-2) ^ {2}$으로 나누어떨어진다.

---

① ㄱ                ② ㄱ, ㄴ                ③ ㄱ, ㄷ               

④ ㄴ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

 

 

정답 ②

ㄱ. $$\lim\limits _ {x \rightarrow 0-} {p ( x)f ( x)} =0~ \left ( \because ~ \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} {f ( x)=0} \right )$$ $$\lim\limits _ {x \rightarrow ~0+} {p ( x)f ( x)} = - \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {p ( x)}$$ 이때, 실수 전체의 집합에서 연속이면 $- \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {p ( x)} =0$이어야 하며 $p ( x)$가 다항함수이므로 $$\lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {p ( x)} =p ( 0)=0$$ (참)

ㄴ. 함수 $p ( x)f ( x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면$x=0,~2$에서 미분가능해야 한다.그 중 $x=2$에서 확인해보면

(ⅰ) $$\lim\limits _ {x \rightarrow ~2-} {p ( x)f ( x)} =p ( 2)$$ $$\lim\limits _ {x \rightarrow ~2+} {p ( x)f ( x)} =p ( 2)$$

$\lim\limits _ {x \rightarrow 2-} {p ( x)f ( x)} = \lim\limits _ {x \rightarrow ~2+} {p ( x)f ( x)}$이므로 $x=2$에서 연속

(ⅱ)

$$\begin{align} \lim\limits _ {x \rightarrow 2-} {\left\{ p ( x)f ( x) \right\} ' } & = \lim\limits _ {x \rightarrow ~2-} {\left\{ p ' ( x)f ( x)+p ( x)f ' ( x) \right\} } \\&=p ' ( 2)+p ( 2) \end{align}$$

$$ \begin{align} \lim\limits _ {x \rightarrow 2+}  \left\{ p ( x)f ( x) \right\} '   &= \lim\limits _ {x \rightarrow ~2+}  \left\{ p ' ( x)f ( x)+p ( x)f ' ( x) \right\}   \\&=p ' ( 2)+2p ( 2) \end{align}$$

$p ' ( 2)+p ( 2)=p ' ( 2)+2p ( 2)$이므로 $p ( 2)=0$ (참)

ㄷ. 함수 $p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2}$이 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면$x=0,~2$에서 미분가능해야 한다.

① $x=0$에서 확인해보면

(ⅰ) $\lim\limits _ {x \rightarrow 0-} {p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} } =0~ \left ( \because ~ \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} {f ( x)} =0 \right )$$\lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} } = \it -p ( 0)$$0= \it -p ( 0)$이므로 $p ( x)$는 $x$의 인수를 가진다. $\cdots \cdots$㉠

(ⅱ) $\lim\limits _ {x \rightarrow 0-} {\left\{ p ( x)" {"f ( x)"} "~ ^ {2} \right\} } '$$= \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} {\left\{ p ' ( x)" {"f ( x)"} " ^ {2} +2p ( x)f ( x)f ' ( x) \right\} } =0$$\lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {\left\{ p ( x)" {"f ( x)"} "~ ^ {2} \right\} } '$$= \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {\left\{ p ' ( x)" {"f ( x)"} " ^ {2} +2p ( x)f ( x)f ' ( x) \right\} } =p ' ( 0)-2p ( 0)$㉠에 의해 $p ( 0)=0$이므로 $p ' ( 0)=0$따라서 $p ( x)$는 $x ^ {2}$의 인수를 가진다.

② $x=2$에서 확인해보면

(ⅰ) $\lim\limits _ {x \rightarrow 2-} {p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} } =p ( 2)$$\lim\limits _ {x \rightarrow 2+} {p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} } =p ( 2)$$x=2$에서 연속

(ⅱ) $ \lim\limits _ {x \rightarrow 2-} {\left\{ p ( x)" {"f ( x) ^ {2} \right\} } ' $$= \lim\limits _ {x \rightarrow 2-} {\left\{ p ' ( x)" {"f ( x)"} " ^ {2} +2p ( x)f ( x)f ' ( x) \right\} } =p ' ( 2)+2p ( 2)$$\lim\limits _ {x \rightarrow 2+} {\left\{ p ( x)" {"f ( x)"} "~ ^ {2} \right\} } '$$= \lim\limits _ {x \rightarrow 2+} {\left\{ p ' ( x)" {"f ( x)"} " ^ {2} +2p ( x)f ( x)f ' ( x) \right\} } =p ' ( 2)+4p ( 2)$$p ' ( 2)+2p ( 2)=p ' ( x)+4p ( 2),~p ( 2)=0$따라서 $p ( x)$는 $x-2$의 인수를 가진다.

①, ②에 의해 $p ( x)$는 $x ^ {2} ( x-2)$로 나누어 떨어진다. (거짓)

옳은 것은 ㄱ, ㄴ