2020학년도 수능 나형 20번 [킬러문항]

함수

$$ f ( x)= { \begin {cases} -x & & & \left ( x \leq 0 \right )\\x-1 & & & \left ( 0<x \leq 2 \right )\\2x-3 & & & \left ( x>2 \right )\end {cases} } $$

와 상수가 아닌 다항식 $ p ( x) $에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [$ 4 $점]

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ㄱ. 함수 $ p ( x)f ( x) $가 실수 전체의 집합에서 연속이면 $ p ( 0)=0 $이다.

ㄴ. 함수 $ p ( x)f ( x) $가 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 $ p ( 2)=0 $이다.

ㄷ. 함수 $ p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} $이 실수 전체의 집합에서 미분가능하면 $ p ( x) $는 $ x ^ {2} ( x-2) ^ {2} $으로 나누어떨어진다.

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① ㄱ                ② ㄱ, ㄴ                ③ ㄱ, ㄷ               

④ ㄴ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

 

 

정답 ②

ㄱ. $$ \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} {p ( x)f ( x)} =0~ \left ( \because ~ \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} {f ( x)=0} \right ) $$$$ \lim\limits _ {x \rightarrow ~0+} {p ( x)f ( x)} = - \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {p ( x)} $$이때, 실수 전체의 집합에서 연속이면 $ - \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {p ( x)} =0 $이어야 하며 $ p ( x) $가 다항함수이므로 $$ \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {p ( x)} =p ( 0)=0 $$ (참)

ㄴ. 함수 $ p ( x)f ( x) $가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면$ x=0,~2 $에서 미분가능해야 한다.그 중 $ x=2 $에서 확인해보면

(ⅰ) $$ \lim\limits _ {x \rightarrow ~2-} {p ( x)f ( x)} =p ( 2) $$ $$ \lim\limits _ {x \rightarrow ~2+} {p ( x)f ( x)} =p ( 2) $$

$ \lim\limits _ {x \rightarrow 2-} {p ( x)f ( x)} = \lim\limits _ {x \rightarrow ~2+} {p ( x)f ( x)} $이므로 $ x=2 $에서 연속

(ⅱ)

$$\begin{align} \lim\limits _ {x \rightarrow 2-} {\left\{ p ( x)f ( x) \right\} ' } & = \lim\limits _ {x \rightarrow ~2-} {\left\{ p ' ( x)f ( x)+p ( x)f ' ( x) \right\} } \\&=p ' ( 2)+p ( 2) \end{align}$$

$$ \begin{align} \lim\limits _ {x \rightarrow 2+}  \left\{ p ( x)f ( x) \right\} '   &= \lim\limits _ {x \rightarrow ~2+}  \left\{ p ' ( x)f ( x)+p ( x)f ' ( x) \right\}   \\&=p ' ( 2)+2p ( 2) \end{align}$$

$ p ' ( 2)+p ( 2)=p ' ( 2)+2p ( 2) $이므로 $ p ( 2)=0 $ (참)

ㄷ. 함수 $ p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} $이 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면$ x=0,~2 $에서 미분가능해야 한다.

① $ x=0 $에서 확인해보면

(ⅰ) $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} {p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} } =0~ \left ( \because ~ \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} {f ( x)} =0 \right ) $$ \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} } = \it -p ( 0) $$ 0= \it -p ( 0) $이므로 $ p ( x) $는 $ x $의 인수를 가진다. $ \cdots \cdots $㉠

(ⅱ) $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} {\left\{ p ( x)" {"f ( x)"} "~ ^ {2} \right\} } ' $$ = \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} {\left\{ p ' ( x)" {"f ( x)"} " ^ {2} +2p ( x)f ( x)f ' ( x) \right\} } =0 $$ \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {\left\{ p ( x)" {"f ( x)"} "~ ^ {2} \right\} } ' $$ = \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {\left\{ p ' ( x)" {"f ( x)"} " ^ {2} +2p ( x)f ( x)f ' ( x) \right\} } =p ' ( 0)-2p ( 0) $㉠에 의해 $ p ( 0)=0 $이므로 $ p ' ( 0)=0 $따라서 $ p ( x) $는 $ x ^ {2} $의 인수를 가진다.

② $ x=2 $에서 확인해보면

(ⅰ) $ \lim\limits _ {x \rightarrow 2-} {p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} } =p ( 2) $$ \lim\limits _ {x \rightarrow 2+} {p ( x) \left\{ f ( x) \right\} ^ {2} } =p ( 2) $$ x=2 $에서 연속

(ⅱ) $ \lim\limits _ {x \rightarrow 2-} {\left\{ p ( x)" {"f ( x) ^ {2} \right\} } ' $$ = \lim\limits _ {x \rightarrow 2-} {\left\{ p ' ( x)" {"f ( x)"} " ^ {2} +2p ( x)f ( x)f ' ( x) \right\} } =p ' ( 2)+2p ( 2) $$ \lim\limits _ {x \rightarrow 2+} {\left\{ p ( x)" {"f ( x)"} "~ ^ {2} \right\} } ' $$ = \lim\limits _ {x \rightarrow 2+} {\left\{ p ' ( x)" {"f ( x)"} " ^ {2} +2p ( x)f ( x)f ' ( x) \right\} } =p ' ( 2)+4p ( 2) $$ p ' ( 2)+2p ( 2)=p ' ( x)+4p ( 2),~p ( 2)=0 $따라서 $ p ( x) $는 $ x-2 $의 인수를 가진다.

①, ②에 의해 $ p ( x) $는 $ x ^ {2} ( x-2) $로 나누어 떨어진다. (거짓)

옳은 것은 ㄱ, ㄴ