[더플러스수학] 2015년 4월 21번

 

함수 $f \left ( x \right ) = { \begin {cases} \left ( x-2 \right ) ^ {2} e ^ {x} +k _ { {} _ { {} _ {} } } & ~ \left ( x \geq 0 \right ) _ { {} _ { {} _ {} } } \\-x ^ {2 ^ { {} ^ { {} ^ {} } } } & ~ \left ( x<0 \right ) ^ { {} ^ { {} ^ {} } } \end {cases} }$에 대하여 함수 $g \left ( x \right ) = \left | f \left ( x \right ) \right | -f \left ( x \right )$가 다음 조건을 만족하도록 하는 정수 $k$의 개수는? [4점][2015년 4월]

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(가) 함수 $g \left ( x \right )$는 모든 실수에서 연속이다.

(나) 함수 $g \left ( x \right )$는 미분가능하지 않은 점이 $2$개다.

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① $3$

② $4$

③ $5$

④ $6$

⑤ $7$

https://youtu.be/5tqZL5ax9Ik

 

 

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정답 ①

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

$x \geq 0$일 때

$f ' \left ( x \right ) =x \left ( x-2 \right ) e ^ {x}$$\left ( x>0 \right )$

$f ' \left ( x \right ) =0$에서 $x=2$

$f \left ( 0 \right ) =4+k$

$y=f \left ( x \right )$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$g \left ( x \right ) = { \begin {cases} ~~~0 _ { {} _ {} } & \left ( f \left ( x \right ) \geq 0 \right ) _ { {} _ {} } \\-2f \left ( x \right ) ^ { {} ^ {} } & \left ( f \left ( x \right ) <0 \right ) ^ { {} ^ {} } \end {cases} }$이므로

$k$의 값의 범위에 따라 $y=g \left ( x \right )$의 그래프를 그리면 다음과 같다.

ⅰ) $k \geq 0$일 때

$x=0$에서 연속이고,

$$\lim\limits _ {x \rightarrow 0-} { { \frac {g \left ( x \right ) -g \left ( 0 \right )} {x-0}} = \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} { { \frac {2x ^ {2} } {x}} =0} }$$

$$\lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {{ \frac {g \left ( x \right ) -g \left ( 0 \right )} {x-0}} = \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {{ \frac {0} {x}} =0} }$$

이므로

$x=0$에서 미분가능하다.

$\therefore$ 미분가능하지 않은 점의 개수는 $0$

ⅱ) $-4<k<0$일 때

$\therefore$ 미분가능하지 않은 점의 개수는 $2$

ⅲ) $k=-4$일 때

$x=0$에서 연속이고

$$\lim\limits _ {x \rightarrow 0-} { \frac {g \left ( x \right ) -g \left ( 0 \right )} {x-0} = \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} { \frac {g \left ( x \right ) -g \left ( 0 \right )} {x-0} } } =0$$

이므로 $x=0$에서 미분가능하다.

$\therefore$ 미분가능하지 않은 점의 개수는 $1$

ⅳ) $k<-4$일 때

$\therefore$ $x=0$에서는 불연속이고,

연속이면서 미분가능하지 않은 점의 개수는 $1$

ⅰ)～ⅳ)에 의하여 $-4<k<0$이고

정수 $k$의 개수는 $3$