[더플러스수학] 2015년 4월 21번

 

함수 $ f \left ( x \right ) = { \begin {cases} \left ( x-2 \right ) ^ {2} e ^ {x} +k _ { {} _ { {} _ {} } } & ~ \left ( x \geq 0 \right ) _ { {} _ { {} _ {} } } \\-x ^ {2 ^ { {} ^ { {} ^ {} } } } & ~ \left ( x<0 \right ) ^ { {} ^ { {} ^ {} } } \end {cases} } $에 대하여 함수 $ g \left ( x \right ) = \left | f \left ( x \right ) \right | -f \left ( x \right ) $가 다음 조건을 만족하도록 하는 정수 $ k $의 개수는? [4점][2015년 4월]

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(가) 함수 $ g \left ( x \right ) $는 모든 실수에서 연속이다.

(나) 함수 $ g \left ( x \right ) $는 미분가능하지 않은 점이 $ 2 $개다.

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① $ 3 $

② $ 4 $

③ $ 5 $

④ $ 6 $

⑤ $ 7 $

https://youtu.be/5tqZL5ax9Ik

 

 

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정답 ①

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

$ x \geq 0 $일 때

$ f ' \left ( x \right ) =x \left ( x-2 \right ) e ^ {x} $$ \left ( x>0 \right ) $

$ f ' \left ( x \right ) =0 $에서 $ x=2 $

$ f \left ( 0 \right ) =4+k $

$ y=f \left ( x \right ) $의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$ g \left ( x \right ) = { \begin {cases} ~~~0 _ { {} _ {} } & \left ( f \left ( x \right ) \geq 0 \right ) _ { {} _ {} } \\-2f \left ( x \right ) ^ { {} ^ {} } & \left ( f \left ( x \right ) <0 \right ) ^ { {} ^ {} } \end {cases} } $이므로

$ k $의 값의 범위에 따라 $ y=g \left ( x \right ) $의 그래프를 그리면 다음과 같다.

ⅰ) $ k \geq 0 $일 때

$ x=0 $에서 연속이고,

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} { { \frac {g \left ( x \right ) -g \left ( 0 \right )} {x-0}} = \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} { { \frac {2x ^ {2} } {x}} =0} } $$

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {{ \frac {g \left ( x \right ) -g \left ( 0 \right )} {x-0}} = \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} {{ \frac {0} {x}} =0} } $$

이므로

$ x=0 $에서 미분가능하다.

$ \therefore $ 미분가능하지 않은 점의 개수는 $ 0 $

ⅱ) $ -4<k<0 $일 때

$ \therefore $ 미분가능하지 않은 점의 개수는 $ 2 $

ⅲ) $ k=-4 $일 때

$ x=0 $에서 연속이고

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow 0-} { \frac {g \left ( x \right ) -g \left ( 0 \right )} {x-0} = \lim\limits _ {x \rightarrow 0+} { \frac {g \left ( x \right ) -g \left ( 0 \right )} {x-0} } } =0 $$

이므로 $ x=0 $에서 미분가능하다.

$ \therefore $ 미분가능하지 않은 점의 개수는 $ 1 $

ⅳ) $ k<-4 $일 때

$ \therefore $ $ x=0 $에서는 불연속이고,

연속이면서 미분가능하지 않은 점의 개수는 $ 1 $

ⅰ)～ⅳ)에 의하여 $ -4<k<0 $이고

정수 $ k $의 개수는 $ 3 $