[더플러스수학] 2017년 가 교육청 7월 30번

상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수인 이차함수 $f ( x)$가 있다. 함수 $g ( x)$가

$$g ( x)= \left | f ' ( x) \right | e ^ {f ( x)}$$

일 때, 함수 $g ( x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) 함수 $g ( x)$는 $x=2$에서 극솟값을 갖는다.

(나) 함수 $g ( x)$의 최댓값은 $4 \sqrt {e}$이다.

(다) 방정식 $g ( x)=4 \sqrt {e}$의 근은 모두 유리수이다.

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$\left | f ( -1) \right |$의 값을 구하시오. [4점]

 

https://youtu.be/TlgOb62KUmM

 

 

 

 

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정답 71

[출제의도] 미분을 활용하여 함수 추론하기

$f ( x)=a ( x-m) ^ {2} +n$이라 하자.

$f ' \left ( x \right ) =2a \left ( x-m \right )$이고 $f '' \left ( x \right ) =2a$이다.

두 곡선 $y=f ( x)$와 $y= \left | f ' ( x) \right |$는 각각 직선 $x=m$에 대하여 대칭이므로

함수 $g ( x)= \left | f ' \left ( x \right ) \right | e ^ {f ( x)}$의 그래프도 직선 $x=m$에 대하여 대칭이다.

(ⅰ) $x>m$인 경우$a>0$이면 함수 $y=f ' \left ( x \right ) e ^ {f ( x)}$는 실수 전체에서 증가하므로 함수 $g ( x)$의 최댓값이 존재하지 않는다.그러므로 조건 (나)에 의하여 $a<0$이다.

$g ' \left ( x \right )  =- \left ( f ' \left ( x \right ) e ^ {f ( x)} \right ) '$

$g ' \left ( x \right ) =- \left [ f '' \left ( x \right ) + \left\{ f ' \left ( x \right ) \right\} ^ {2} \right ] e ^ {f ( x)}$$g ' \left ( x \right )  = \left\{ -4a ^ {2} ( x-m) ^ {2} -2a \right\} e ^ {f ( x)}$

방정식 $g ' \left ( x \right ) =0$을 만족하는 $x$는 한 개이고 그 값을 $p$$\left ( p>m \right )$이라 하자. 함수 $g \left ( x \right )$는 $x=p$에서 극댓값을 갖고, 그 값이 최댓값이다.

(ⅱ) $x<m$인 경우함수 $y=g ( x)$의 그래프는 직선 $x=m$에 대하여 대칭이므로 함수 $g \left ( x \right )$는 $x=2m-p$에서 극댓값을 갖고, 그 값이 최댓값이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 $y=g ( x)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$g ( m)=0$이고, 함수 $g ( x)$는 $x=2$에서 극솟값을 가지므로 $m=2$이다.

함수 $g ( x)$는 $x=p$에서 최댓값이 $4 \sqrt {e}$이므로

$g ( p)= \left | f ' \left ( p \right ) \right | e ^ {f ( p)} =4 \sqrt {e}$

이다.

상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수이므로

$f ' \left ( p \right ) =2a ( p-2)=-4$ …… ㉠

$f ( p)=a \left ( p-2 \right ) ^ {2} +n= \frac {1} {2}$ …… ㉡

또한 함수 $g ( x)$는 $x=p$에서 극댓값을 가지므로 $g ' \left ( p \right ) =0$에서

$2a ( p-2) ^ {2} +1=0$ …… ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여 $n=1$, $p= \large \frac {9} {4}$이므로 $a=-8$

$f ( x)=a ( x-m) ^ {2} +n=-8 ( x-2) ^ {2} +1$

따라서 $\left | f ( -1) \right | =71$