[더플러스수학] 2015년 교육청 4월 30번

그림과 같이 원점 $ \rm O $를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $ 10 $인 원이 있다. 직선 $ y= \sqrt {3} x $와 원이 제$ 1 $사분면에서 만나는 점을 $ \rm A $라 하자. 점 $ \rm P $는 원점 $ \rm O $를 출발하여 $ x $축을 따라 양의 방향으로 매초 $ 2 $의 일정한 속력으로 움직인다. 점 $ \rm P $가 원점 $ \rm O $를 출발하여 $ t $초가 되는 순간, 점 $ \rm P $를 지나고 직선 $ y= \sqrt {3} x $에 평행한 직선이 제$ 1 $사분면에서 원과 만나는 점을 $ \rm Q $라 하자. 세 선분 $ \rm AO $, $ \rm OP $, $ \rm PQ $와 호 $ \rm QA $로 둘러싸인 부분의 넓이를 $ S $라 할 때, 점 $ \rm Q $의 $ y $좌표가 $ 5 $가 되는 순간, 넓이 $ S $의 시간(초)에 대한 변화율을 구하시오. (단, $ 0<t<5 $) [4점][2015년 4월 30번]

 

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정답 10

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

$ t $초가 되는 순간 점 $ \rm P $의 좌표는 $ \left ( 2t,0 \right ) $

$ \angle \rm QOP \it = \theta $라 하면, $ \angle \rm AOQ \it = \frac {\pi } {3} - \theta $

부채꼴 $ \rm OQA $의 넓이는

$ \frac {1} {2} \times 10 ^ {2} \times \left ( \frac {\pi } {3} - \theta \right ) =50 \left ( \frac {\pi } {3} - \theta \right ) $

삼각형 $ \rm OPQ $의 넓이는

$ \frac {1} {2} \times 10 \times 2t \times \sin \theta =10t\sin \theta $

$ S=50 \left ( \frac {\pi } {3} - \theta \right ) +10t\sin \theta $

양변을 $ t $에 대하여 미분하면

$ \frac {dS} {dt} =-50 \frac {d \theta } {dt} +10\sin \theta +10t\cos \theta \frac {d \theta } {dt} $$ \cdots \cdots ㉠ $

점 $ \rm P \left ( 2 \it t,0 \right ) $을 지나고 직선 $ y= \sqrt {3} x $에 평행한 직선을 $ l $이라 하면

직선 $ l $의 방정식은 $ y= \sqrt {3} \left ( x-2t \right ) $이고

직선 $ l $과 원이 만나는 점 $ \rm Q $의 좌표는

$ \rm Q \left ( 10\cos \theta ,10\sin \theta \right ) $이므로 직선 $ l $에 대입하면

$ 10\sin \theta = \sqrt {3} \left ( 10\cos \theta -2t \right ) $ $ \cdots \cdots ㉡ $

$ ㉡ $의 양변을 $ t $에 대하여 미분하면

$ 10\cos \theta \frac {d \theta } {dt} = \sqrt {3} \left ( -10\sin \theta \frac {d \theta } {dt} -2 \right ) $ $ \cdots \cdots ㉢ $

점 $ \rm Q $의 $ y $좌표가 $ 5 $이므로

$ \sin \theta = \frac {1} {2} $, $ \cos \theta = \frac {\sqrt {3} } {2} $이고

$ ㉡ $에서 $ t= \frac {5 \sqrt {3} } {3} $이고

$ ㉢ $에서 $ \frac {d \theta } {dt} =- \frac {1} {5} $이다.

$ ㉠ $에 의하여 $ \frac {dS} {dt} =10 $