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[수학의 기초] 일차식 이차식 기저를 이용한 평균값의 정리 증명수학과 공부이야기 2019. 12. 20. 14:56
https://plusthemath.tistory.com/295
[수학의 기초] 일차식 기저, 차원, 표준기저-1
직선의 표현 중2에서 시작하자. 두 점 (1, 2), (3, −4)을 지나는 직선을 어떻게 구할까? 먼저 직선은 y=ax+b 꼴로 나타낼 수 있으므로 이 식에 (1, 2), (3, −4)를 대입하면 $$\begin{align}2&=a+b\\-4&=3a+b..
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앞에서 일차다항식이 기저가 1, x인 표준기저를 가짐을, 또 a≠b일 때, x−a, x−b를 기저로 가짐을 보였다. 이제 이것과 롤의 정리를 이용하여 평균값의 정리를 증명해 보자. 또, 평균값의 정리를 2계도함수까지 확장해보자.
롤의 정리
f가 [a, b]에서 연속이고, (a, b)에서 미분가능하고, f(a)=f(b)이면 f′(c)=0인 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.
평균값의 정리
f가 [a, b]에서 연속이고, (a, b)에서 미분가능하면 f(b)−f(a)b−a=f′(c)인 c가 가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.
(증명) 먼저 두 점 (a, f(a))와 (b, f(b))를 지나는 직선 l(x)은 일차식이므로 기저를 x−a, x−b로 두면
l(x)=p(x−a)+q(x−b)
로 두고 두 점 (a, f(a))와 (b, f(b))을 대입하면
f(a)=p(a−a)+q(a−b)f(b)=p(b−a)+q(b−b)
따라서 p=f(b)b−a, q=f(a)a−b이므로 l(x)는
l(x)=f(b)b−a(x−a)+f(a)a−b(x−b)
여기서
g(x)=f(x)−l(x)=f(x)−{f(b)b−a(x−a)+f(a)a−b(x−b)}
라 하면 f(x), l(x)는 [a, b]에서 연속이고, (a, b)에서 미분가능이므로 g(x)도 연속, 미분가능하다. 또, g(a)=f(a)−{f(b)b−a(a−a)+f(a)a−b(a−b)}=0
g(b)=f(b)−{f(b)b−a(b−a)+f(a)a−b(b−b)}=0
따라서 롤의 정리에 의해
∴
\therefore~ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} =f'(c)
이제 롤의 정리를 이계도함수로 확대해보자. 아래에 보듯이 2020학년도 경북대 모의 AAT(의학계열)에 있는문제에 대해 풀이하겠다.
https://plusthemath.tistory.com/2392020학년도 경북대 모의 AAT (의학계열)
https://tv.kakao.com/v/403948173 【1】 다음 글을 읽고 물음에 답하시오. (가) 두 함수 f ( x),~g ( x) 가 닫힌 구간에서 연속일 때, (1) \int _ {a} ^ {b} {kf ( x)dx} =k \int _ {a} ^ {b} {f ( x)dx} ..
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이계도함수에서의 평균값의 정리 (이름을 이렇게 부치는 것이 괜찮는지는 잘모르겠음. 댓글로 정확한 명칭을 제안해주세요)
보조명제 1. 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 h(x)에 대하여 h(a)=h(b)=h(c) (a<b<c)이면
h''(d)=0
인 d가 열린 구간 (a,~c)에 적어도 하나 존재한다.
(증명) h(x)가 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 가지므로 연속이고 미분가능하다. 또, h(a)=h(b)=h(c) (a<b<c)이므로
구간 (a,~b), (b,~c) 에서 롤의 정리를 적용하면
h'(\alpha_1 )=0,~h'(\alpha_2 )=0
인 \alpha_1이 구간 (a,~b)에 적어도 하나 존재하고, \alpha_2이 구간 (b,~c)에 적어도 하나 존재한다. 즉, a<\alpha_1 <b<\alpha_2<c에 존재한다.
여기서 h'(\alpha_1 )=0,~h'(\alpha_2 )=0이고 h(x)가 이계도함수를 가지므로 h'(x)는 미분가능하다. 따라서 구간 (\alpha_1 ,~\alpha_2)에서 롤의 정리를 한 번 더 적용하면
h''(d)=0
인 d가 a<\alpha_1 <d< \alpha_2<c에 적어도 하나 존재한다.
명제2. 다음 등식
\Large \frac { \frac {f ( c)-f \left ( b \right )} {c-b} - \frac {f ( b)-f ( a)} {b-a} } {\large c-a} = \large \frac {f '' ( d)} {2}
를 만족시키는 실수 d 가 열린구간 ( a,~c) 에 적어도 하나 존재한다.
롤의 정리에서 평균값의 정리를 증명하기 위해 두 점 (a,~f(a)),~(b,~f(b))를 지나는 직선 l(x)를 구하여 g(x)=f(x)-l(x)로 치환하여 롤의 정리를 증명하였듯이 이제 우리는 (a,~f(a)),~(b,~f(b)),~(c,~f(c))를 지나는 이차함수 m(x)를 구하자. 이 때 위에서 배운 이차다항식의 기저를 적용하자.
2차 이하의 다항식의 집합에서의 기저는 다음과 같은 것이 있다.
(1) 표준기저(standard-basis, 또는 power bais) : \Large 1,~x,~x^2
(2) Factorial basis : \Large \frac{1}{0!},~\frac{x}{1!},~\frac{x^2}{2!}
이것은 위의 표준기저와 비슷하므로 하나로 봐도 될 듯
(3) 테일러 기저(Taylor basis) : 어떤 상수 c \in \mathbb R 에 대해 \Large 1,~x-c,~ (x-c)^2
(4) 라그랑쥐 기저(Lagrange basis) : 2차이하의 다항식은 3차원이므로 세 실수 예를 들어 \textcolor{red}{1},~\textcolor{blue}{2},~\textcolor{green}{4}에 대하여
\Large (x-\textcolor{red}{1})(x-\textcolor{blue}{2}),~(x-\textcolor{blue}{2})(x-\textcolor{green}{4}),~(x-\textcolor{green}{4})(x-\textcolor{red}{1})
위의 전형적인 기저(basis)말고도 우리가 편하게 잡을 수 있다. 예를 들어
(1) (x-1)(x-2),~x-1,~1
이것이 기저가 되는지는 앞의 글에서 보았듯이 일차독립(linear independence)과 생성(spanning)을 확인하면 된다.
i) 일차독립
실수 a,~b,~c에 대하여
a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c\times1=0
이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 즉, 항등식이 되려면 x=1,~x=2,~x=0일 때 성립해야 하므로 각각 대입하며
a=b=c=0
이다. 따라서 일차독립이다.
ii) 생성
생성함을 보이기 위해 이차이하의 임의의 함수 px^2 +qx+r에 대하여
a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c\times1=px^2 +qx+r
\begin{cases}a&=p\\-3a+b&=q\\ 2a-b+c&=r \end{cases}
위의 방정식을 만족하는 해 a,~b,~c는 오직 한쌍을 갖는다. 따라서 임의의 이차이항의 다항식을 기저 (x-1)(x-2),~x-1,~1으로 표현이 가능하고 그 방법은 오직하나이다.
참고 위의 연립방정식의 해가 오직 하나 갖는것을 보여야 하는 데 행렬의 판별식을 이용할 수도 있다. 이것은 고등학교 과정을 벗어난다. 가볍게 적어 볼테니 참고하시길..
위의 연립방정식을 행렬로 나타내면
\left[ \matrix{1&0&0\\-3&1&0\\2&-1&1} \right] \left[ \matrix{a\\b\\c } \right] = \left[\matrix{p\\q\\r} \right]
이고 좌변의 3\times 3행렬을 A라 하면 행렬 A의 행렬식이 \det(A) = 1 \neq0이므로 해가 오직 하나이다.
따라서 i), ii)에 의해 (x-1)(x-2),~x-1,~1은 기저가 될 수 있다.
(2) (x-1)(x-2),~x-1,~x-2도 기저이다. 이것을 보이는 것도 위와 같다.
(3) (x-1)(x-2),~(x-1)(x-3),~1도 기저이다. 이것을 보이는 것도 위와 같다.
(3) (x-1)(x-2),~(x-1)(x-3),~x-2도 기저이다. 이것을 보이는 것도 위와 같다.
기저를 어떻게 잡느냐는 문제를 보고 판단하면 된다.
이제 다음을 증명하자.
명제2. 다음 등식
\Large \frac { \frac {f ( c)-f \left ( b \right )} {c-b} - \frac {f ( b)-f ( a)} {b-a} } {\large c-a} = \large \frac {f '' ( d)} {2}
를 만족시키는 실수 d 가 열린구간 ( a,~c) 에 적어도 하나 존재한다.
(증명) 세점 (a,~f(a)),~(b,~f(b)),~(c,~f(c))를 지나는 이차함수를 m(x)라 하면 라그랑쥐의 기저를 사용하여 다음과 같이 표현해 보자. 상수 p,~q,~r에 대하여
m(x)= p(x-a)(x-b)+q(x-b)(x-c)+r(x-c)(x-a)
여기에 세점 (a,~f(a)),~(b,~f(b)),~(c,~f(c))을 대입하여 정리하면
p=\frac{f(c)}{ (c-a)(c-b)},~q=\frac{f(a)}{ (a-b)(a-c)},~r=\frac{f(b)}{ (b-a)(b-b)}
따라서 m(x)는
m(x)= \frac{f(c)}{ (c-a)(c-b)}(x-a)(x-b)+\frac{f(a)}{ (a-b)(a-c)}(x-b)(x-c)+\frac{f(b)}{ (b-a)(b-b)}(x-c)(x-a)
g(x)=f(x)-m(x)라 두면 f(x),~m(x)가 이계도함수가 존재하므로 g(x)도 이계도함수가 존재한다. 또 g(a)=g(b)=g(c)=0이므로 보조명제1에 의해 g''(d)=0인 d가 a<d<c에 적어도 하나 존재한다.
따라서 g''(d)=0를 구하면
g''(d)=f''(d)-2 \left\{ \frac{f(c)}{ (c-a)(c-b)} +\frac{f(a)}{ (a-b)(a-c)} +\frac{f(b)}{ (b-a)(b-b)} \right\}=0
이것을 변형하면
\Large \frac { \frac {f ( c)-f \left ( b \right )} {c-b} - \frac {f ( b)-f ( a)} {b-a} } {\large c-a} = \large \frac {f '' ( d)} {2}
이다.
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