[수학의 기초] 일차식 이차식 기저를 이용한 평균값의 정리 증명

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[수학의 기초] 일차식 기저, 차원, 표준기저-1

 

앞에서 일차다항식이 기저가 $1,~x$인 표준기저를 가짐을, 또 $a \neq b$일  때, $x-a,~x-b$를 기저로 가짐을 보였다. 이제 이것과  롤의 정리를 이용하여 평균값의 정리를 증명해 보자. 또, 평균값의 정리를 2계도함수까지 확장해보자.

 

롤의 정리

$f$가 $[a,~b]$에서 연속이고, $(a,~b)$에서 미분가능하고, $f(a)=f(b)$이면 $$f'(c)=0$$인 $c$가 열린구간 $(a,~b)$에 적어도 하나 존재한다.

 

평균값의 정리

$f$가 $[a,~b]$에서 연속이고, $(a,~b)$에서 미분가능하면  $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$인 $c$가 가 열린구간 $(a,~b)$에 적어도 하나 존재한다.

(증명) 먼저 두 점 $(a,~f(a))$와 $(b,~f(b))$를 지나는 직선 $l(x)$은 일차식이므로 기저를 $x-a$, $x-b$로 두면

$$l(x)=p(x-a)+q(x-b)$$

로 두고 두 점 $(a,~f(a))$와 $(b,~f(b))$을 대입하면

$$\begin{align} f(\textcolor{red}{a})&=p(\textcolor{red}{a}-a)+q(\textcolor{red}{a}-b)\\ f(\textcolor{red}{b})&=p(\textcolor{red}{b}-a)+q(\textcolor{red}{b}-b)\end{align}$$

따라서 $p=\large \frac{f(b)}{b-a} $, $ q= \large \frac{f(a)}{a-b}$이므로 $l(x)$는

$$l(x)= \frac{f(b)}{b-a}(x-a)+ \frac{f(a)}{a-b}(x-b)$$

여기서

$$g(x)=f(x)- l(x)=f(x)-\left\{ \frac{f(b)}{b-a}(x-a)+ \frac{f(a)}{a-b}(x-b) \right\}$$

라 하면 $f(x),~l(x)$는 $[a,~b]$에서 연속이고, $(a,~b)$에서 미분가능이므로 $g(x)$도 연속, 미분가능하다. 또, $$g(a)=f(a)-\left\{\frac{f(b)}{b-a}(\textcolor{red}{a}-a)+ \frac{f(a)}{a-b}(\textcolor{red}{a}-b) \right\}=0$$

$$g(b)=f(b)-\left\{\frac{f(b)}{b-a}(b-a)+ \frac{f(a)}{a-b}(\textcolor{red}{b}-b) \right\}=0$$

따라서 롤의 정리에 의해

$$\therefore~ g'(c)=f'(c)- l'(c)=f'(c)- \left\{\frac{f(b)}{b-a} + \frac{f(a)}{a-b} \right\}=0$$

$$\therefore~  \frac{f(b)-f(a)}{b-a} =f'(c) $$

 

 

이제 롤의 정리를 이계도함수로 확대해보자. 아래에 보듯이 2020학년도 경북대 모의 AAT(의학계열)에 있는문제에 대해 풀이하겠다.

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2020학년도 경북대 모의 AAT (의학계열)

 

이계도함수에서의 평균값의 정리 (이름을 이렇게 부치는 것이 괜찮는지는 잘모르겠음. 댓글로 정확한 명칭을 제안해주세요)

 

보조명제 1. 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 $h(x)$에 대하여 $h(a)=h(b)=h(c)$ ($a<b<c$)이면

$$h''(d)=0$$

인 $d$가 열린 구간 $(a,~c)$에 적어도 하나 존재한다.

(증명) $h(x)$가 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 가지므로 연속이고 미분가능하다. 또, $h(a)=h(b)=h(c)$ ($a<b<c$)이므로

구간 $(a,~b)$, $(b,~c)$ 에서 롤의 정리를 적용하면

$$h'(\alpha_1 )=0,~h'(\alpha_2 )=0$$

인 $\alpha_1$이 구간 $(a,~b)$에 적어도 하나 존재하고, $\alpha_2$이 구간 $(b,~c)$에 적어도 하나 존재한다. 즉, $a<\alpha_1 <b<\alpha_2<c$에 존재한다.

여기서 $h'(\alpha_1 )=0,~h'(\alpha_2 )=0$이고 $h(x)$가 이계도함수를 가지므로 $h'(x)$는 미분가능하다. 따라서 구간 $(\alpha_1 ,~\alpha_2)$에서 롤의 정리를 한 번 더 적용하면

$$h''(d)=0$$

인 $d$가 $a<\alpha_1 <d< \alpha_2<c$에 적어도 하나 존재한다. 

 

 

 

명제2. 다음 등식

$$\Large \frac { \frac {f ( c)-f \left ( b \right )} {c-b}  -   \frac {f ( b)-f ( a)} {b-a}  } {\large c-a} = \large \frac {f '' ( d)} {2} $$

를 만족시키는 실수 $ d $가 열린구간 $ ( a,~c) $에 적어도 하나 존재한다.

 

롤의 정리에서 평균값의 정리를 증명하기 위해 두 점 $(a,~f(a)),~(b,~f(b))$를 지나는 직선 $l(x)$를 구하여 $g(x)=f(x)-l(x)$로 치환하여 롤의 정리를 증명하였듯이 이제 우리는 $(a,~f(a)),~(b,~f(b)),~(c,~f(c))$를 지나는 이차함수 $m(x)$를 구하자. 이 때 위에서 배운 이차다항식의 기저를 적용하자.

 $2$차 이하의 다항식의 집합에서의 기저는 다음과 같은 것이 있다.

(1) 표준기저(standard-basis, 또는 power bais) : $$\Large 1,~x,~x^2$$

(2) Factorial basis : $$\Large \frac{1}{0!},~\frac{x}{1!},~\frac{x^2}{2!}$$

이것은 위의 표준기저와 비슷하므로 하나로 봐도 될 듯

(3) 테일러 기저(Taylor basis) : 어떤 상수 $c \in \mathbb R $에 대해 $$\Large 1,~x-c,~ (x-c)^2 $$

(4) 라그랑쥐 기저(Lagrange basis) : 2차이하의 다항식은 3차원이므로 세 실수 예를 들어 $\textcolor{red}{1},~\textcolor{blue}{2},~\textcolor{green}{4}$에 대하여

$$\Large (x-\textcolor{red}{1})(x-\textcolor{blue}{2}),~(x-\textcolor{blue}{2})(x-\textcolor{green}{4}),~(x-\textcolor{green}{4})(x-\textcolor{red}{1})$$

 

위의 전형적인 기저(basis)말고도 우리가 편하게 잡을 수 있다. 예를 들어

(1) $(x-1)(x-2),~x-1,~1$

이것이 기저가 되는지는 앞의 글에서 보았듯이 일차독립(linear independence)과 생성(spanning)을 확인하면 된다.

i) 일차독립

실수 $a,~b,~c$에 대하여

$a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c\times1=0$

이 모든 실수 $x$에 대하여 성립하려면 즉, 항등식이 되려면 $x=1,~x=2,~x=0$일 때 성립해야 하므로 각각 대입하며

$a=b=c=0$

이다. 따라서 일차독립이다. 

ii) 생성

생성함을 보이기 위해 이차이하의 임의의 함수 $px^2 +qx+r$에 대하여

$$a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c\times1=px^2 +qx+r$$

$$\begin{cases}a&=p\\-3a+b&=q\\ 2a-b+c&=r \end{cases}$$

위의 방정식을 만족하는 해 $a,~b,~c$는 오직 한쌍을 갖는다. 따라서 임의의 이차이항의 다항식을 기저  $(x-1)(x-2),~x-1,~1$으로 표현이 가능하고 그 방법은 오직하나이다.

참고 위의 연립방정식의 해가 오직 하나 갖는것을 보여야 하는 데 행렬의 판별식을 이용할 수도 있다. 이것은 고등학교 과정을 벗어난다. 가볍게 적어 볼테니 참고하시길..

위의 연립방정식을 행렬로 나타내면

$$\left[ \matrix{1&0&0\\-3&1&0\\2&-1&1} \right] \left[ \matrix{a\\b\\c } \right]  = \left[\matrix{p\\q\\r} \right] $$

이고 좌변의 $3\times 3$행렬을 $A$라 하면 행렬 $A$의 행렬식이 $\det(A) = 1 \neq0$이므로 해가 오직 하나이다. 

따라서 i), ii)에 의해  $(x-1)(x-2),~x-1,~1$은 기저가 될 수 있다.

(2) $(x-1)(x-2),~x-1,~x-2$도 기저이다. 이것을 보이는 것도 위와 같다.

(3) $(x-1)(x-2),~(x-1)(x-3),~1$도 기저이다. 이것을 보이는 것도 위와 같다.

(3) $(x-1)(x-2),~(x-1)(x-3),~x-2$도 기저이다. 이것을 보이는 것도 위와 같다.

기저를 어떻게 잡느냐는 문제를 보고 판단하면 된다.

 

이제 다음을 증명하자.

명제2. 다음 등식

$$\Large \frac { \frac {f ( c)-f \left ( b \right )} {c-b}  -   \frac {f ( b)-f ( a)} {b-a}  } {\large c-a} = \large \frac {f '' ( d)} {2} $$

를 만족시키는 실수 $ d $가 열린구간 $ ( a,~c) $에 적어도 하나 존재한다.

(증명) 세점 $(a,~f(a)),~(b,~f(b)),~(c,~f(c))$를 지나는 이차함수를  $m(x)$라 하면 라그랑쥐의 기저를 사용하여 다음과 같이 표현해 보자.  상수 $p,~q,~r$에 대하여

$$m(x)= p(x-a)(x-b)+q(x-b)(x-c)+r(x-c)(x-a)$$

여기에 세점 $(a,~f(a)),~(b,~f(b)),~(c,~f(c))$을 대입하여 정리하면

$$p=\frac{f(c)}{ (c-a)(c-b)},~q=\frac{f(a)}{ (a-b)(a-c)},~r=\frac{f(b)}{ (b-a)(b-b)}$$

따라서 $m(x)$는

$$m(x)= \frac{f(c)}{ (c-a)(c-b)}(x-a)(x-b)+\frac{f(a)}{ (a-b)(a-c)}(x-b)(x-c)+\frac{f(b)}{ (b-a)(b-b)}(x-c)(x-a)$$

$g(x)=f(x)-m(x)$라 두면 $f(x),~m(x)$가 이계도함수가 존재하므로 $g(x)$도 이계도함수가 존재한다. 또 $g(a)=g(b)=g(c)=0$이므로 보조명제1에 의해 $g''(d)=0$인 $d$가 $a<d<c$에 적어도 하나 존재한다.

따라서 $g''(d)=0$를 구하면

$$g''(d)=f''(d)-2 \left\{ \frac{f(c)}{ (c-a)(c-b)} +\frac{f(a)}{ (a-b)(a-c)} +\frac{f(b)}{ (b-a)(b-b)} \right\}=0$$

이것을 변형하면

$$\Large \frac { \frac {f ( c)-f \left ( b \right )} {c-b}  -   \frac {f ( b)-f ( a)} {b-a}  } {\large c-a} = \large \frac {f '' ( d)} {2} $$

이다.