[더플러스수학] 2016학년도 평가원 6월 30번

정의역이 $ \left \{ x ~|~0 \leq x \leq 8~ \right \} $이고 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 $ f ( x) $에 대하여  $ \int _ {0} ^ {8}  f ( x)dx $의 최댓값은 $ p+$$ \frac {q} {\ln 2} $이다. $ p+q $의 값을 구하시오. (단, $ p,~q $는 자연수이고, $ \ln 2 $는 무리수이다.) [4점] [2015년 6월 30번]

(가) $ f ( 0)=1 $이고 $ f ( 8) \leq 100 $이다. (나) $ 0 \leq k \leq 7 $인 각각의 정수 $ k $에 대하여       $ f ( k+t)=f ( k)~ ( 0<t \leq 1)$ 또는 $ f ( k+t)=2 ^ {t} \times f ( k)~ ( 0<t \leq 1) $이다. (다) 열린 구간 $ ( 0,~8) $에서 함수 $ f ( x) $가 미분가능하지 않은 점의 개수는 $ 2 $이다.

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정답 128

$ 0 \leq k \leq 7 $인 각각의 정수 $ k $에 대하여

① $ f ( k+t)=f ( k)~ ( 0<t \leq 1) $인 경우

$ k<x \leq k+1 $에서 $ f ( x)=f ( k) $ : 상수함수

② $ f ( k+t)=2 ^ {t} \times f ( k)~ ( 0<t \leq 1) $인 경우

$ k<x \leq k+1 $에서 $ f ( x)=f ( k) \times 2 ^ {x-k} $ : 지수함수

주어진 조건에서 함수 $ f ( x) $는 미분가능하지 않은 점이 $ 2 $개이므로 ① ⇨ ② ⇨ ① 또는 ② ⇨ ① ⇨ ②처럼 변화되는 지점이 2번 있어야 한다. 또한 ②가 7번이상 나오면 $ f ( 8)>100 $이 되므로 조건을 만족하지 않는다.

가능한 경우 중에 ②가 그려지는 구간이 많이 들어가 있을수록 $ \int _ {0} ^ {8} {} f ( x)dx $의 값이 커지므로 8개의 소구간이 ①②②②②②②①의 순서로 이어지는 연속함수일 때, $ \int _ {0} ^ {8} {} f ( x)dx $가 최대가 된다.

따라서, 주어진 조건을 만족하는 함수 중 $ \int _ {0} ^ {8} f ( x)dx $가 최대가 될 때, 함수 $ f ( x) $는

$ f ( x)= { \begin {cases} f ( 0)=1~~~~~~~~~~ ( 0 \leq x \leq 1) \\ f ( 1) \times 2 ^ {x-1} =2 ^ {x-1} ( 1 \leq x \leq 7) \\ f ( 7)=64~~~~~~~ ( 7 \leq x \leq 8)\end {cases} } $

이다.

따라서 $ \int _ {0} ^ {8}  f ( x)dx $의 최댓값은

$ \int _ {0} ^ {8}  f ( x)dx $$ = \int _ {0} ^ {1} {} 1dx+ \int _ {1} ^ {7} {} 2 ^ {x-1} dx+ \int _ {7} ^ {8}  64dx $

$ = \left [ x \right ] _ {0} ^ {1} + \left [ \frac {2 ^ {x-1} } {\ln 2} \right ] _ {1} ^ {7} + \left [ 64x \right ] _ {7} ^ {8} $

$ =65+ \frac {63} {\ln 2} $

$ \therefore p+q=65+63=128 $