[2020학년도 9월 모평] 2020학년도 9월 가형 21번 풀이 (킬러문항)

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2020학년도 9월 가형 21번

좌표평면에서 두 점 $ \rm A ( -2,~0) $, $ \rm B ( 2,~0) $에 대하여 다음 조건을 만족시키는 직사각형의 넓이의 최댓값은? [$ 4 $점]

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직사각형 위를 움직이는 점 $ \rm P $에 대하여 $ \overline {\rm PA \it } + \overline {\rm PB \it } $의 값은 점 $ \rm P $의 좌표가 $ ( 0,~6) $일 때 최대이고 $ \left ( \frac {5} {2} ,~ \frac {3} {2} \right ) $일 때 최소이다.

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① $ \frac {200} {19} $                         ② $ \frac {210} {19} $                         ③ $ \frac {220} {19} $

④ $ \frac {230} {19} $                         ⑤ $ \frac {240} {19} $

 

 

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정답 5번

$ \rm \overline {AP} + \overline {BP} $의 값이 최소일 때의 점 $ \rm P $를 $ \rm P ' \left ( \frac {5} {2} ,~ \frac {3} {2} \right ) $라 하고, 최대일 때의 점을 $ \rm Q $$ ( 0,~6) $라 하자. 또, 점 $ \rm P ' $를 지나고 직사각형의 변을 포함하는 직선을 $ l $, $ \rm Q $를 지나고 직사각형의 변을 포함하는 직선을 $ m $이라 하자.

먼저 직선 $ l $은 그림에서 보듯이 $ \rm \angle AP ' B $의 각을 이등분하는 벡터 $ \overrightarrow {n} $을 법선으로 가지는 직선이다.

$$ \rm \overrightarrow {AP ' } = \left ( \frac {5} {2} ,~ \frac {3} {2} \right ) - \left ( -2,~0 \right ) = \frac {3} {2} ( 3,~1) $$

$$ \rm \overrightarrow {BP} = \left ( \frac {5} {2} ,~ \frac {3} {2} \right ) - \left ( 2,~0 \right ) = \frac {1} {2} \left ( 1,~3 \right ) $$

$$ \overrightarrow {n} = ( 3,~1)+ ( 1,~3)= \left ( 4,~4 \right ) =4 ( 1,~1) $$

따라서 $ l $의 방정식은

$$ l~:~  x+y=4 $$

$ m $은 $ ( 0,~6) $을 지나고 $ l $에 평행한 직선이므로

$$ m~:~   x+y=6 $$

$ \rm \overline {AP} + \overline {BP} $가 최대인 점이 $ ( 0,~6) $이므로 최댓값은

$$ \rm \overline {AQ} + \overline {BQ} = \sqrt {\left\{ 0- ( -2) \right\} ^ {2} + ( 6-0) ^ {2} } + \sqrt { ( 0-2) ^ {2} + ( 6-0) ^ {2} } =4 \sqrt {10} $$

직사각형의 넓이가 최대가 되려면 그림에서 보듯이 $ y=-x+6 $ 위의 점 $ \rm R $은 $ \rm \overline {AR} + \overline {BR} =4 \sqrt {10} $이면서 점 $ \rm Q $가 아닌 점이다. $ \rm R $의 오른쪽직선 $ m $ 위에 있다면 최댓값이 $ 4 \sqrt {10} $보다 크므로 안 되고 만약 $ \rm R $의 왼쪽 직선 $ m $위에 있다면 $ 4 \sqrt {10} $보다 작으므로 직사각형의 넓이가 최대가 되지 않기 때문이다.

$ \rm R $의 좌표를 $ \left ( a,~6-a \right ) $라 두면

$ \rm \overline {RA} + \overline {RB} = \sqrt {\left ( \it a+2 \right ) ^ {2} + \left ( -a+6 \right ) ^ {2} \rm } + \sqrt {\left ( \it a-2 \right ) ^ {2} + \left ( -a+6 \right ) ^ {2} \rm } $ $ =4 \sqrt {10} $

이 방정식을 풀면

$ \therefore ~ $$ a=0,~ \frac {120} {19} $

$ \therefore $ $ \rm R \left ( \frac {120} {19} ,~ \frac {120} {19} \right ) $

$ \therefore $ $ \rm \overline {RQ} = \sqrt {\left ( \frac {120} {19} \right ) ^ {2} + \left ( \frac {120} {19} \right ) ^ {2} } = \frac {120} {19} \sqrt {2} $

또, 직선 $ y=x+4 $와 직선 $ y=-x+6 $사이의 거리가 $ \sqrt {2} $이므로 직사각형의 넓이의 최댓값 $ S $는

$ \therefore $ $ S= \frac {120} {19} \sqrt {2} \times \sqrt {2} = \frac {240} {19} $