[2020학년도 9월 모평] 2020학년도 9월 가형 21번 풀이 (킬러문항)

https://tv.kakao.com/v/401826500

2020학년도 9월 가형 21번

좌표평면에서 두 점 $\rm A ( -2,~0)$, $\rm B ( 2,~0)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 직사각형의 넓이의 최댓값은? [$4$점]

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직사각형 위를 움직이는 점 $\rm P$에 대하여 $\overline {\rm PA \it } + \overline {\rm PB \it }$의 값은 점 $\rm P$의 좌표가 $( 0,~6)$일 때 최대이고 $\left ( \frac {5} {2} ,~ \frac {3} {2} \right )$일 때 최소이다.

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① $\frac {200} {19}$                         ② $\frac {210} {19}$                         ③ $\frac {220} {19}$

④ $\frac {230} {19}$                         ⑤ $\frac {240} {19}$

 

 

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정답 5번

$\rm \overline {AP} + \overline {BP}$의 값이 최소일 때의 점 $\rm P$를 $\rm P ' \left ( \frac {5} {2} ,~ \frac {3} {2} \right )$라 하고, 최대일 때의 점을 $\rm Q$$( 0,~6)$라 하자. 또, 점 $\rm P '$를 지나고 직사각형의 변을 포함하는 직선을 $l$, $\rm Q$를 지나고 직사각형의 변을 포함하는 직선을 $m$이라 하자.

먼저 직선 $l$은 그림에서 보듯이 $\rm \angle AP ' B$의 각을 이등분하는 벡터 $\overrightarrow {n}$을 법선으로 가지는 직선이다.

$$\rm \overrightarrow {AP ' } = \left ( \frac {5} {2} ,~ \frac {3} {2} \right ) - \left ( -2,~0 \right ) = \frac {3} {2} ( 3,~1)$$

$$\rm \overrightarrow {BP} = \left ( \frac {5} {2} ,~ \frac {3} {2} \right ) - \left ( 2,~0 \right ) = \frac {1} {2} \left ( 1,~3 \right )$$

$$\overrightarrow {n} = ( 3,~1)+ ( 1,~3)= \left ( 4,~4 \right ) =4 ( 1,~1)$$

따라서 $l$의 방정식은

$$l~:~  x+y=4$$

$m$은 $( 0,~6)$을 지나고 $l$에 평행한 직선이므로

$$m~:~   x+y=6$$

$\rm \overline {AP} + \overline {BP}$가 최대인 점이 $( 0,~6)$이므로 최댓값은

$$\rm \overline {AQ} + \overline {BQ} = \sqrt {\left\{ 0- ( -2) \right\} ^ {2} + ( 6-0) ^ {2} } + \sqrt { ( 0-2) ^ {2} + ( 6-0) ^ {2} } =4 \sqrt {10}$$

직사각형의 넓이가 최대가 되려면 그림에서 보듯이 $y=-x+6$ 위의 점 $\rm R$은 $\rm \overline {AR} + \overline {BR} =4 \sqrt {10}$이면서 점 $\rm Q$가 아닌 점이다. $\rm R$의 오른쪽직선 $m$ 위에 있다면 최댓값이 $4 \sqrt {10}$보다 크므로 안 되고 만약 $\rm R$의 왼쪽 직선 $m$위에 있다면 $4 \sqrt {10}$보다 작으므로 직사각형의 넓이가 최대가 되지 않기 때문이다.

$\rm R$의 좌표를 $\left ( a,~6-a \right )$라 두면

$\rm \overline {RA} + \overline {RB} = \sqrt {\left ( \it a+2 \right ) ^ {2} + \left ( -a+6 \right ) ^ {2} \rm } + \sqrt {\left ( \it a-2 \right ) ^ {2} + \left ( -a+6 \right ) ^ {2} \rm }$ $=4 \sqrt {10}$

이 방정식을 풀면

$\therefore ~$$a=0,~ \frac {120} {19}$

$\therefore$ $\rm R \left ( \frac {120} {19} ,~ \frac {120} {19} \right )$

$\therefore$ $\rm \overline {RQ} = \sqrt {\left ( \frac {120} {19} \right ) ^ {2} + \left ( \frac {120} {19} \right ) ^ {2} } = \frac {120} {19} \sqrt {2}$

또, 직선 $y=x+4$와 직선 $y=-x+6$사이의 거리가 $\sqrt {2}$이므로 직사각형의 넓이의 최댓값 $S$는

$\therefore$ $S= \frac {120} {19} \sqrt {2} \times \sqrt {2} = \frac {240} {19}$