[2020학년도 9월 모의고사] 9월 평가원 29번(킬러문항)

 

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2020학년도 가형 9월 평가원 29번

좌표공간에서 원점 $ \rm O $와 점 $ \rm A ( 4,~0,~0) $에 대하여 평면 $ x+y+ \sqrt {2} z=0 $ 위의 점 $ \rm P $가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $ \left | \rm \overrightarrow {OP} \right | $는 $ 9 $이하의 자연수이다.

(나) $ \rm \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AP} =6 $

$ \rm \overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {OP} $의 최댓값을 $ M $, 최솟값을 $ m $이라 할 때, $ M+m $의 값을 구하시오. [$ 4 $점]

 

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정답 $86$ (풀이) 

$ x+y+ \sqrt {2} z=0 $ 위의 한 점을 $ \mathrm {P} (  a,~b,~c) $라고 하면 $ \rm \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AP} =6 $이므로

$ ( 4,~0,~0) \cdot ( a-4,~b,~c)=6 $,  $ 4 ( a-4)=6 $       $\therefore$ $ a= \frac {11} {2} $

점 $ \rm P $는 $ l~:~x= \frac {11} {2} ,~y+ \sqrt {2} z=- \frac {11} {2} $인 직선 위의 점이다.

직선 $ l $ 위에 원점 $ \rm O $에서 수선의 발을 내린 점을 $ \rm B $라 하면 $ \mathrm {B} \left (  \frac {11} {2} ,~ \sqrt {2} t- \frac {11} {2} ,~-t \right ) $이고 $ \overline {\mathrm{OB}} \bot  l $ 이므로

$ \left ( \frac {11} {2} ,~ \sqrt {2} t- \frac {11} {2} ,~-t \right ) \cdot \left ( 0,~ \sqrt {2} ,~-1)=0 \right . $

따라서 $ t= \frac {11} {3 \sqrt {2} } $ , $ \rm B \left ( \frac {11} {2} ,~- \frac {11} {6} ,~- \frac {11} {3 \sqrt {2} } \right ) $

$ \rm \overline {OB} $의 거리는 $ \frac {11} {\sqrt {3} } $이다.

한편, $ \left | \rm \overrightarrow {OP} \right | $가 $ 9 $이하의 자연수이므로

$ \left | \rm \overrightarrow {OP} \right | \geq 7 $

따라서 $ 49 \leq a ^ {2} +b ^ {2} +c ^ {2} \leq 81 $

$ \frac {75} {4} \leq b ^ {2} +c ^ {2} \leq \frac {203} {4} $

$ \rm ~ \overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {OP} $$ = \it ( a-4,~b,~c) \cdot ( a,~b,~c) $$ =a ( a-4)+b ^ {2} +c ^ {2} $$ =b ^ {2} +c ^ {2} + \frac {33} {4} $

그러므로 $ \frac {108} {4} \leq \rm \overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {OP} \leq \frac {236} {4} $

$ M+m= \frac {344} {4} =86 $

다른 풀이 ➊

점 $ \rm A $에서 평면 $ x+y+ \sqrt {2} z=0 $에 내린 수선의 발을 $ \rm H $라 하자.

점 $ \rm A \left ( 4,~0,~0 \right ) $에서 $ x+y+ \sqrt {2} z=0 $까지의 거리

$ \rm \left | \overrightarrow {AH} \right | = \frac {4} {\sqrt {1+1+2} } =2 $

$ \rm \left | \overrightarrow {OA} \right | =4 $이므로 $ \left | \rm \overrightarrow {OH} \right | =2 \sqrt {3} $

$ \rm \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AP} =6 $에서

$ \rm \overrightarrow {OA} \cdot \left ( \overrightarrow {OP} - \overrightarrow {OA} \right ) =6 $

$ \rm \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OP} - \left | \overrightarrow {OA} \right | ^ {2} =6 $

$ \therefore $ $ \rm \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OP} =22 $

$ \rm \left ( \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HA} \right ) \cdot \overrightarrow {OP} =22 $

$ \rm \overrightarrow {OH} \cdot \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {HA} \cdot \overrightarrow {OP} =22 $

$ \rm \overrightarrow {HA} \cdot \overrightarrow {OP} =0 $이므로 $ \rm \overrightarrow {OH} \cdot \overrightarrow {OP} =22 $

$ \rm \left | \overrightarrow {OP} \right | = \it n $, 두 벡터 $ \rm \overrightarrow {OH} $, $ \rm \overrightarrow {OP} $가 이루는 각의 크기를 $ \theta $라 하면

$ 2 \sqrt {3} \times n \times \cos \theta =22 $

$ \cos \theta = \frac {11} {n \sqrt {3} } $

$ 0 \leq \cos \theta \leq 1 $이므로 $ n=7 $, $ 8 $, $ 9 $

$ \rm \overrightarrow { \mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow {OP} $$ = \rm \left ( \overrightarrow {HP} - \overrightarrow {HA} \right ) \cdot \overrightarrow {OP} $$ = \rm \overrightarrow {HP} \cdot \overrightarrow {OP} - \overrightarrow {HA} \cdot \overrightarrow {OP} $$ = \rm \overrightarrow {HP} \cdot \overrightarrow {OP} $$ \rm = \left ( \overrightarrow {OP} - \overrightarrow {OH} \right ) \cdot \overrightarrow {OP} $$ = \rm \left | \overrightarrow {OP} \right | ^ {2} - \overrightarrow {OH} \cdot \overrightarrow {OP} $$ =n ^ {2} -22 $

$ n=7 $일 때 최솟값 $ m=49-22=27 $

$ n=9 $일 때 최댓값 $ M=81-22=59 $

$ M+m=59+27=86 $