[2020학년도 9월 모의고사] 9월 평가원 29번(킬러문항)

 

https://tv.kakao.com/v/401826488

2020학년도 가형 9월 평가원 29번

좌표공간에서 원점 $\rm O$와 점 $\rm A ( 4,~0,~0)$에 대하여 평면 $x+y+ \sqrt {2} z=0$ 위의 점 $\rm P$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\left | \rm \overrightarrow {OP} \right |$는 $9$이하의 자연수이다.

(나) $\rm \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AP} =6$

$\rm \overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {OP}$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M+m$의 값을 구하시오. [$4$점]

 

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정답 $86$ (풀이) 

$x+y+ \sqrt {2} z=0$ 위의 한 점을 $\mathrm {P} (  a,~b,~c)$라고 하면 $\rm \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AP} =6$이므로

$( 4,~0,~0) \cdot ( a-4,~b,~c)=6$,  $4 ( a-4)=6$       $\therefore$ $a= \frac {11} {2}$

점 $\rm P$는 $l~:~x= \frac {11} {2} ,~y+ \sqrt {2} z=- \frac {11} {2}$인 직선 위의 점이다.

직선 $l$ 위에 원점 $\rm O$에서 수선의 발을 내린 점을 $\rm B$라 하면 $\mathrm {B} \left (  \frac {11} {2} ,~ \sqrt {2} t- \frac {11} {2} ,~-t \right )$이고 $\overline {\mathrm{OB}} \bot  l$ 이므로

$\left ( \frac {11} {2} ,~ \sqrt {2} t- \frac {11} {2} ,~-t \right ) \cdot \left ( 0,~ \sqrt {2} ,~-1)=0 \right .$

따라서 $t= \frac {11} {3 \sqrt {2} }$ , $\rm B \left ( \frac {11} {2} ,~- \frac {11} {6} ,~- \frac {11} {3 \sqrt {2} } \right )$

$\rm \overline {OB}$의 거리는 $\frac {11} {\sqrt {3} }$이다.

한편, $\left | \rm \overrightarrow {OP} \right |$가 $9$이하의 자연수이므로

$\left | \rm \overrightarrow {OP} \right | \geq 7$

따라서 $49 \leq a ^ {2} +b ^ {2} +c ^ {2} \leq 81$

$\frac {75} {4} \leq b ^ {2} +c ^ {2} \leq \frac {203} {4}$

$\rm ~ \overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {OP}$$= \it ( a-4,~b,~c) \cdot ( a,~b,~c)$$=a ( a-4)+b ^ {2} +c ^ {2}$$=b ^ {2} +c ^ {2} + \frac {33} {4}$

그러므로 $\frac {108} {4} \leq \rm \overrightarrow {AP} \cdot \overrightarrow {OP} \leq \frac {236} {4}$

$M+m= \frac {344} {4} =86$

다른 풀이 ➊

점 $\rm A$에서 평면 $x+y+ \sqrt {2} z=0$에 내린 수선의 발을 $\rm H$라 하자.

점 $\rm A \left ( 4,~0,~0 \right )$에서 $x+y+ \sqrt {2} z=0$까지의 거리

$\rm \left | \overrightarrow {AH} \right | = \frac {4} {\sqrt {1+1+2} } =2$

$\rm \left | \overrightarrow {OA} \right | =4$이므로 $\left | \rm \overrightarrow {OH} \right | =2 \sqrt {3}$

$\rm \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AP} =6$에서

$\rm \overrightarrow {OA} \cdot \left ( \overrightarrow {OP} - \overrightarrow {OA} \right ) =6$

$\rm \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OP} - \left | \overrightarrow {OA} \right | ^ {2} =6$

$\therefore$ $\rm \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OP} =22$

$\rm \left ( \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HA} \right ) \cdot \overrightarrow {OP} =22$

$\rm \overrightarrow {OH} \cdot \overrightarrow {OP} + \overrightarrow {HA} \cdot \overrightarrow {OP} =22$

$\rm \overrightarrow {HA} \cdot \overrightarrow {OP} =0$이므로 $\rm \overrightarrow {OH} \cdot \overrightarrow {OP} =22$

$\rm \left | \overrightarrow {OP} \right | = \it n$, 두 벡터 $\rm \overrightarrow {OH}$, $\rm \overrightarrow {OP}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면

$2 \sqrt {3} \times n \times \cos \theta =22$

$\cos \theta = \frac {11} {n \sqrt {3} }$

$0 \leq \cos \theta \leq 1$이므로 $n=7$, $8$, $9$

$\rm \overrightarrow { \mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow {OP}$$= \rm \left ( \overrightarrow {HP} - \overrightarrow {HA} \right ) \cdot \overrightarrow {OP}$$= \rm \overrightarrow {HP} \cdot \overrightarrow {OP} - \overrightarrow {HA} \cdot \overrightarrow {OP}$$= \rm \overrightarrow {HP} \cdot \overrightarrow {OP}$$\rm = \left ( \overrightarrow {OP} - \overrightarrow {OH} \right ) \cdot \overrightarrow {OP}$$= \rm \left | \overrightarrow {OP} \right | ^ {2} - \overrightarrow {OH} \cdot \overrightarrow {OP}$$=n ^ {2} -22$

$n=7$일 때 최솟값 $m=49-22=27$

$n=9$일 때 최댓값 $M=81-22=59$

$M+m=59+27=86$