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울산 옥동에 있는 더플러스수학학원블로그입니다. 수능, 교육청, 삼사, 경찰대 등의 문제 풀이 동영상, 서울대 등 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 영상 제공, 학생이 자기주도적 학습에 도움준다. 또, 울산과고를 위해 교과서인 심화수학, 고급수학, AP Calculus 등의 수업학교프린트 풀이를 제공한다. 여기의 풀이영상은 학원의 유투브인 더플러스수학(https://youtube.com/@THEPLUSMATH)에 있다.

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  • [2020학년도 9월 모의고사] 9월 평가원 29번(킬러문항)
    수능 모의고사 2019. 9. 4. 19:14

     

    https://tv.kakao.com/v/401826488

    2020학년도 가형 9월 평가원 29번

    좌표공간에서 원점 OO와 점 A(4, 0, 0)A(4, 0, 0)에 대하여 평면 x+y+2z=0x+y+2z=0 위의 점 PP가 다음 조건을 만족시킨다.

    () |OP|OP99이하의 자연수이다.

    () OAAP=6OAAP=6

    APOPAPOP의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, M+mM+m의 값을 구하시오. [44]

     


     

    정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

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    정답 8686 (풀이) 

    x+y+2z=0x+y+2z=0 위의 한 점을 P(a, b, c)P(a, b, c)라고 하면 OAAP=6OAAP=6이므로

    (4, 0, 0)(a4, b, c)=6(4, 0, 0)(a4, b, c)=6,  4(a4)=64(a4)=6        a=112a=112

     PP l : x=112, y+2z=112l : x=112, y+2z=112인 직선 위의 점이다.

    직선 ll 위에 원점 OO에서 수선의 발을 내린 점을 BB라 하면 B(112, 2t112, t)B(112, 2t112, t)이고 ¯OBl¯¯¯¯¯¯¯¯OBl 이므로

    (112, 2t112, t)(0, 2, 1)=0(112, 2t112, t)(0, 2, 1)=0

    따라서 t=1132t=1132 , B(112, 116, 1132)B(112, 116, 1132)

    ¯OB¯¯¯¯¯¯¯¯OB의 거리는 113113이다.

    한편, |OP|OP 99이하의 자연수이므로

    |OP|7OP7

    따라서 49a2+b2+c28149a2+b2+c281

    754b2+c22034754b2+c22034

     APOP APOP=(a4, b, c)(a, b, c)=(a4, b, c)(a, b, c)=a(a4)+b2+c2=a(a4)+b2+c2=b2+c2+334

    그러므로 1084APOP2364

    M+m=3444=86

    다른 풀이 ➊

     A에서 평면 x+y+2z=0에 내린 수선의 발을 H라 하자.

     A(4, 0, 0)에서 x+y+2z=0까지의 거리

    |AH|=41+1+2=2

    |OA|=4이므로 |OH|=23

    OAAP=6에서

    OA(OPOA)=6

    OAOP|OA|2=6

    OAOP=22

    (OH+HA)OP=22

    OHOP+HAOP=22

    HAOP=0이므로 OHOP=22

    |OP|=n, 두 벡터 OH, OP가 이루는 각의 크기를 θ라 하면

    23×n×cosθ=22

    cosθ=11n3

    0cosθ1이므로 n=7, 8, 9

    APOP=(HPHA)OP=HPOPHAOP=HPOP=(OPOH)OP=|OP|2OHOP=n222

    n=7일 때 최솟값 m=4922=27

    n=9일 때 최댓값 M=8122=59

    M+m=59+27=86

     

     

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