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[2020학년도 9월 모의고사] 9월 평가원 29번(킬러문항)수능 모의고사 2019. 9. 4. 19:14
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2020학년도 가형 9월 평가원 29번
좌표공간에서 원점 OO와 점 A(4, 0, 0)A(4, 0, 0)에 대하여 평면 x+y+√2z=0x+y+√2z=0 위의 점 PP가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) |→OP|∣∣∣−−→OP∣∣∣는 99이하의 자연수이다.
(나) →OA⋅→AP=6−−→OA⋅−−→AP=6
→AP⋅→OP−−→AP⋅−−→OP의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, M+mM+m의 값을 구하시오. [44점]
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더보기정답 8686 (풀이)
x+y+√2z=0x+y+√2z=0 위의 한 점을 P(a, b, c)P(a, b, c)라고 하면 →OA⋅→AP=6−−→OA⋅−−→AP=6이므로
(4, 0, 0)⋅(a−4, b, c)=6(4, 0, 0)⋅(a−4, b, c)=6, 4(a−4)=64(a−4)=6 ∴∴ a=112a=112
점 PP는 l : x=112, y+√2z=−112l : x=112, y+√2z=−112인 직선 위의 점이다.
직선 ll 위에 원점 OO에서 수선의 발을 내린 점을 BB라 하면 B(112, √2t−112, −t)B(112, √2t−112, −t)이고 ¯OB⊥l¯¯¯¯¯¯¯¯OB⊥l 이므로
(112, √2t−112, −t)⋅(0, √2, −1)=0(112, √2t−112, −t)⋅(0, √2, −1)=0
따라서 t=113√2t=113√2 , B(112, −116, −113√2)B(112, −116, −113√2)
¯OB¯¯¯¯¯¯¯¯OB의 거리는 11√311√3이다.
한편, |→OP|∣∣∣−−→OP∣∣∣가 99이하의 자연수이므로
|→OP|≥7∣∣∣−−→OP∣∣∣≥7
따라서 49≤a2+b2+c2≤8149≤a2+b2+c2≤81
754≤b2+c2≤2034754≤b2+c2≤2034
→AP⋅→OP −−→AP⋅−−→OP=(a−4, b, c)⋅(a, b, c)=(a−4, b, c)⋅(a, b, c)=a(a−4)+b2+c2=a(a−4)+b2+c2=b2+c2+334
그러므로 1084≤→AP⋅→OP≤2364
M+m=3444=86
다른 풀이 ➊
점 A에서 평면 x+y+√2z=0에 내린 수선의 발을 H라 하자.
점 A(4, 0, 0)에서 x+y+√2z=0까지의 거리
|→AH|=4√1+1+2=2
|→OA|=4이므로 |→OH|=2√3
→OA⋅→AP=6에서
→OA⋅(→OP−→OA)=6
→OA⋅→OP−|→OA|2=6
∴ →OA⋅→OP=22
(→OH+→HA)⋅→OP=22
→OH⋅→OP+→HA⋅→OP=22
→HA⋅→OP=0이므로 →OH⋅→OP=22
|→OP|=n, 두 벡터 →OH, →OP가 이루는 각의 크기를 θ라 하면
2√3×n×cosθ=22
cosθ=11n√3
0≤cosθ≤1이므로 n=7, 8, 9
→AP⋅→OP=(→HP−→HA)⋅→OP=→HP⋅→OP−→HA⋅→OP=→HP⋅→OP=(→OP−→OH)⋅→OP=|→OP|2−→OH⋅→OP=n2−22
n=7일 때 최솟값 m=49−22=27
n=9일 때 최댓값 M=81−22=59
M+m=59+27=86
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