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[더플러스수학] 2016학년도 평가원 6월 30번수능 모의고사 2019. 8. 19. 00:32
정의역이 {x | 0≤x≤8 }이고 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 f(x)에 대하여 ∫80f(x)dx의 최댓값은 p+qln2이다. p+q의 값을 구하시오. (단, p, q는 자연수이고, ln2는 무리수이다.) [4점] [2015년 6월 30번]
(가) f(0)=1이고 f(8)≤100이다.
(나) 0≤k≤7인 각각의 정수 k에 대하여
f(k+t)=f(k) (0<t≤1) 또는 f(k+t)=2t×f(k) (0<t≤1)이다.
(다) 열린 구간 (0, 8)에서 함수 f(x)가 미분가능하지 않은 점의 개수는 2이다.
정답 128
0≤k≤7인 각각의 정수 k에 대하여
① f(k+t)=f(k) (0<t≤1)인 경우
k<x≤k+1에서 f(x)=f(k) : 상수함수
② f(k+t)=2t×f(k) (0<t≤1)인 경우
k<x≤k+1에서 f(x)=f(k)×2x−k : 지수함수
주어진 조건에서 함수 f(x)는 미분가능하지 않은 점이 2개이므로 ① ⇨ ② ⇨ ① 또는 ② ⇨ ① ⇨ ②처럼 변화되는 지점이 2번 있어야 한다. 또한 ②가 7번이상 나오면 f(8)>100이 되므로 조건을 만족하지 않는다.
가능한 경우 중에 ②가 그려지는 구간이 많이 들어가 있을수록 ∫80f(x)dx의 값이 커지므로 8개의 소구간이 ①②②②②②②①의 순서로 이어지는 연속함수일 때, ∫80f(x)dx가 최대가 된다.
따라서, 주어진 조건을 만족하는 함수 중 ∫80f(x)dx가 최대가 될 때, 함수 f(x)는
f(x)={f(0)=1 (0≤x≤1)f(1)×2x−1=2x−1(1≤x≤7)f(7)=64 (7≤x≤8)
이다.
따라서 ∫80f(x)dx의 최댓값은
∫80f(x)dx=∫101dx+∫712x−1dx+∫8764dx
=[x]10+[2x−1ln2]71+[64x]87
=65+63ln2
∴
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