[더플러스수학] 2007학년도 수능가 29번

 

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 $f ( x)$에 대하여 점 $\mathrm A (  a,~f ( a))$를 곡선 $y=f ( x)$의 변곡점이라 하고, 곡선 $y=f ( x)$ 위의 점 $\mathrm A$에서의 접선의 방정식을 $y=g ( x)$라 하자. 직선 $y=g ( x)$가 함수 $f ( x)$의 그래프와 점 $\mathrm B ( b,~f ( b))$에서 접할 때, 함수 $h ( x)$를 $h ( x)=f ( x)-g ( x)$라 하자.  <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $a \neq b$이다.) [4점] [2007학년도 수능]

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ㄱ. $h ' ( b)=0$

ㄴ. 방정식 $h ' ( x)=0$은 $3$개 이상의 실근을 갖는다.

ㄷ. 점 $( a,h ( a))$는 곡선 $y=h ( x)$의 변곡점이다.

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① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

https://youtu.be/vnW77LAU_yM

 

 

 

 

 

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정답 ⑤

$y=g ( x)$가 $f ( x)$의 점 $( a,f ( a))$에서의 접선이므로

$$g ( x)=f ' ( a) ( x-a)+f ( a)$$

또, $g ( x)$가 점 $B ( b,f ( b))$에서 $f ( x)$에 접하므로

$$f ' ( a)=g ' ( b)=f ' ( b)$$

$h ( x)=f ( x)-g ( x)$에서 $$h ' ( x)=f ' ( x)-g ' ( x)$$

ㄱ. $h ' ( b)=f ' ( b)-g ' ( b)=0$

ㄴ. $h ( a)=h ( b)=0$이고 $h ( x)$가 미분가능하므로 로올의 정리에 의하여, $h ' ( c)=0$인 $c$가 개구간 $( a,~b)$에 적어도 하나 존재한다.

$\therefore ~h ' ( a)=h ' ( b)=h ' ( c)=0$이므로

$h ' ( x)=0$은 적어도 $3$개의 실근을 갖는다.

ㄷ. $h'' ( x)= f'' ( x)$이고, $h'' ( a)=f '' ( a)=0$이다.

또한, 점 $( a,~f ( a))$는 $y=f ( x)$의 변곡점이므로

$f''(x)$ 는 $x=a$의 좌우에서 부호가 반대이다.

따라서, $h'' ( x) $도 같으므로 $( a,~h ( a))$는 $h ( x)$의 변곡점이다.