[더플러스수학] 2007학년도 수능가 29번

 

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 $ f ( x) $에 대하여 점 $ \mathrm A (  a,~f ( a)) $를 곡선 $ y=f ( x) $의 변곡점이라 하고, 곡선 $ y=f ( x) $ 위의 점 $ \mathrm A $에서의 접선의 방정식을 $ y=g ( x) $라 하자. 직선 $ y=g ( x) $가 함수 $ f ( x) $의 그래프와 점 $ \mathrm B ( b,~f ( b)) $에서 접할 때, 함수 $ h ( x) $를 $ h ( x)=f ( x)-g ( x) $라 하자.  <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, $ a \neq b $이다.) [4점] [2007학년도 수능]

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ㄱ. $ h ' ( b)=0 $

ㄴ. 방정식 $ h ' ( x)=0 $은 $ 3 $개 이상의 실근을 갖는다.

ㄷ. 점 $ ( a,h ( a)) $는 곡선 $ y=h ( x) $의 변곡점이다.

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① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

https://youtu.be/vnW77LAU_yM

 

 

 

 

 

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정답 ⑤

$ y=g ( x) $가 $ f ( x) $의 점 $ ( a,f ( a)) $에서의 접선이므로

$$ g ( x)=f ' ( a) ( x-a)+f ( a) $$

또, $ g ( x) $가 점 $ B ( b,f ( b)) $에서 $ f ( x) $에 접하므로

$$ f ' ( a)=g ' ( b)=f ' ( b) $$

$ h ( x)=f ( x)-g ( x) $에서 $$ h ' ( x)=f ' ( x)-g ' ( x) $$

ㄱ. $ h ' ( b)=f ' ( b)-g ' ( b)=0 $

ㄴ. $ h ( a)=h ( b)=0 $이고 $ h ( x) $가 미분가능하므로 로올의 정리에 의하여, $ h ' ( c)=0 $인 $ c $가 개구간 $ ( a,~b) $에 적어도 하나 존재한다.

$ \therefore ~h ' ( a)=h ' ( b)=h ' ( c)=0 $이므로

$ h ' ( x)=0 $은 적어도 $ 3 $개의 실근을 갖는다.

ㄷ. $ h'' ( x)= f'' ( x) $이고, $ h'' ( a)=f '' ( a)=0 $이다.

또한, 점 $ ( a,~f ( a)) $는 $ y=f ( x) $의 변곡점이므로

$f''(x)$ 는 $ x=a $의 좌우에서 부호가 반대이다.

따라서, $h'' ( x) $도 같으므로 $ ( a,~h ( a)) $는 $ h ( x) $의 변곡점이다.