[평가원기출] 2010학년도 가형 6월 29번

 

함수 $ f ( x) $에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점][2009년 6월]

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ㄱ. $ f ( x)=x ^ {2} ~ $이면 $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {} {\large\frac {e ^ {f ( x)} -1} {x}} =0~ $이다.

ㄴ. $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {\large \frac {e ^ {x} -1} {f ( x)}} =1~ $이면 $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {\large \frac {3 ^ {x} -1} {f ( x)} }=\ln 3~ $이다.

ㄷ. $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {} f ( x)=0~ $이면 $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {\large \frac {e ^ {f ( x)} -1} {x}} $이 존재한다.

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① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

https://youtu.be/-1KrpAqfGBI

 

 

 

 

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정답 ③

(ㄱ) $ f ( x ^ {2} )=x ^ {2} $이면 $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {\large \frac {e ^ {x ^ {2} } -1} {x ^ {2} } }\times x=0 $(참)

(ㄴ) $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {\large \frac {e ^ {x} -1} {f ( x)}} = \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {\large \frac {e ^ {x} -1} {x} } \times {\large \frac {x} {f ( x)}} =1 $이므로 $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {\large \frac {x} {f ( x)} }=1 $

$ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {\large \frac {3 ^ {x} -1} {f ( x)}} = \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {\large \frac {3 ^ {x} -1} {x} }\times {\large \frac {x} {f ( x)} }=\ln 3 $(참)

(ㄷ) 반례) $ f ( x)=|x| $라 하면

$ \lim\limits _ {x \rightarrow +0} {\large \frac {e ^ {|x|} -1} {x} }= \lim\limits _ {x \rightarrow +0} {\large \frac {e ^ {|x|} -1} {|x|} }\times {\large \frac {|x|} {x}} =1 $

$ \lim\limits _ {x \rightarrow -0} {\large \frac {e ^ {|x|} -1} {x}} = \lim\limits _ {x \rightarrow -0} {\large \frac {e ^ {|x|} -1} {|x|} }\times {\large \frac {|x|} {x} }=-1 $

$\therefore$ $ \lim\limits _ {x \rightarrow 0} {\large \frac {e ^ {|x|} -1} {x} }$은 존재하지 않는다. (거짓)