[킬러문항] 2018학년도 가형 6월 30번 [더플러스수학]

실수 $a$와 함수 $f \left ( x \right ) =\ln \left ( x ^ {4} +1 \right ) -c$ ($c>0$인 상수)에 대하여 함수 $g \left ( x \right )$를

$$g \left ( x \right ) = \int _ {a} ^ {x} {f \left ( t \right ) dt}$$

라 하자. 함수 $y=g \left ( x \right )$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 $a$의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha _ {1} ,~ \alpha _ {2} ,~ \cdots ,~ \alpha _ {m}$ ($m$은 자연수)이다. $a= \alpha _ {1}$일 때, 함수 $g \left ( x \right )$와 상수 $k$는 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) 함수 $g \left ( x \right )$는 $x=1$에서 극솟값을 갖는다.

(나) $\displaystyle  \int _ {\alpha _ {1} } ^ {\alpha _ {m} } {g \left ( x \right ) dx} =k \alpha _ {m} \int _ {0} ^ {1} {\left | f \left ( x \right ) \right | dx}$

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$mk \times e ^ {c}$의 값을 구하시오. [4점]

 

https://youtu.be/LlkLarDTwPM

 

 

 

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정답 $16$

$f \left ( x \right ) =\ln \left ( x ^ {4} +1 \right ) -C$, $g ' \left ( x \right ) =f \left ( x \right )$,

$\displaystyle f ' \left ( x \right ) = \frac {4x ^ {3} } {x ^ {4} +1}$

$g \left ( x \right )$는 $x=1$에서 극솟값을 가지므로

$g ' ( 1)=f ( 1)=0$

$\ln 2-c=0$

$\therefore c=\ln 2$

 

 

위의 그림에서 보듯이 $y=f ( x)$는 $y$축에 대칭인 함수이고 $x=1$에서 극솟값을 가지므로 $y=f ( x)$가 $x$축과 만나는 점은 $( \pm 1,~0)$이다. 이 때, $\alpha _ {2} =-1,~ \alpha _ {3} =1$이라 하자.

$\displaystyle g ( x)= \int _ {a} ^ {x} {} f ( x)dx=0$인 점이 두 개만 있을 $a$값을 구해보자. 먼저 $g ( a)=0$이므로 $x=a$에서 $g ( x)$가 $0$이다. 또, $x=0$에서 $x= \alpha _ {3} =1$까지 $f ( x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$라 하면, 즉 $\displaystyle \int _ {0} ^ {1} {} f ( x)dx=-S$

그림에서 보듯이 $x= \alpha _ {3}$에서 $x$축의 양의 방향으로 $f ( x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $2S$인 점을 $\alpha _ {4}$라 하고, $x < -1$인 점에서 $x= \alpha _ {2} =-1$까지 $f ( x)$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $2S$인 지점을 $\alpha _ {1}$이라 하자.

그러면 $\displaystyle g ( x)= \int _ {a} ^ {x} {} f ( x)dx=0$를 만족하는 점이 두 개인 $a$의 값은 $\alpha _ {1} ,~ \alpha _ {2} ,~ \alpha _ {3} ,~ \alpha _ {4}$이다.

따라서 $m=4$이다. 또, $f ( x)$가 $y$축에 대칭이므로 $\alpha _ {4} =- \alpha _ {1}$이다.

$a= \alpha _ {1}$이라 두면 $f ( x)$가 $y$축에 대칭인 함수이므로 $\displaystyle g ( x)= \int _ {\alpha _ {1} } ^ {x} {f ( t)dt}$는 $\displaystyle g ( 0)= \int _ {\alpha _ {1} } ^ {0} {f ( x)dx} =2S+ ( -S)=S \neq 0$이므로 원점에 대칭인 함수, 즉 기함수는 아니다. 그러나 $\displaystyle g ( x)=S+ \int _ {0} ^ {x} {f ( t)dt}$를 표현하면 여기서 $\displaystyle h ( x)= \int _ {0} ^ {x} {} f ( t)dt$는 원점에 대칭인 함수이다. ($\because$$x$대신 $-x$를 대입하고 $f ( x)$가 $f ( -x)=f ( x)$임을 이용하고 $-t=s$로 치환하면 원점에 대칭임을 보일 수 있다.) ㅠㅠ 글로 표현하려하니 힘드네!!!

이제 $\displaystyle \int _ {\alpha _ {1} } ^ {\alpha _ {4} } {g \left ( x \right ) dx}$을 구해보자.

$h ( x)$가 원점에 대칭인 함수이므로

$$\int _ {\alpha _ {1} } ^ {\alpha _ {4} } {h \left ( x \right ) dx} = \int _ {\alpha _ {1} } ^ {- \alpha } {h ( x)dx=0}$$

이다. 또, $\displaystyle S= \int _ {0} ^ {1} {} \left | f ( x) \right | dx$이다.

따라서

$\begin{align}  \int _ {\alpha _ {1} } ^ {\alpha _ {4} } g \left ( x \right ) dx &= \int _ {\alpha _ {1} } ^ {\alpha _ {4} }  S+h ( x) dx \\&= \int _ {\alpha _ {1} } ^ {- \alpha _ {1} }  S+h ( x)dx  =S ( - \alpha _ {1} - \alpha _ {1} )+0  \\&=-2S \alpha _ {1} =2 \alpha _ {4} \int _ {0} ^ {1}   |f ( x)|dx \end{align}$

$\therefore k=2$

$\therefore mk \times e ^ {c} =4 \times 2 \times e ^ {\ln 2} =16$