[수학의 기초] 함수에 대하여(2) - 함수의 종류

Injectivity(단사) and Surjectivity(전사)

injective와 surjective에 대한 용어가 교과과정이 바뀜에 따라 계속 바뀌어져 학생들이 많이 힘들어 한다. 예를들어 단사함수, 1-1함수, 전사함수, 위로의 함수, 치역과 공역이 같은 함수, 1-1대응, 전단사함수 등등 같은 용어가 서로 다르게 표현되어 많이 헷갈린다. 이 이용을 정리해보자. 

Definition 1.(일대일함수, 단사함수) Let $X,~Y$ be sets, and let $f ~:~ X \rightarrow Y$ be a function. We say that $f$ is injective(단사함수) (sometimes called one-to-one(일대일함수)) if

for all $x_1 ,~x_2 \in X$, $f(x_1) = f(x_2)$ $\Longrightarrow$ $x_1 = x_2$.

contrapositive form(대우)

A function $f ~:~ X \rightarrow Y$ is injective if

for all $x_1 ,~x_2 \in X$, $x_1 \neq x_2$ $\Longrightarrow$ $f(x_1) \neq f(x_2)$.

함수 $f$가 $1-1$ 함수임을 증명하는 방법은 (i) 직접증명하는 방법과 (ii) 귀류법 두가지 방법이 있다.

(i) 직접증명하는 방법

$f(x_1)=f(x_2)$를 가정하여 $x_1=x_2$임을 보이는 방법이다.

(ii) 귀류법

$x_1 \neq x_2$이면서 $f(x_1 )=f(x_2 )$를 만족하는 $x_1 ,~x_2 \in x$라 가정하면 모순(contradiction)됨을 설명하면 된다.

 

예) 함수 $f~:~\mathbb R \rightarrow \mathbb R,~f(x)=5x+1$이 1-1함수임을 보여라.

(증명) $x_1 ,~x_2 \in \mathbb R$에 대하여 $f(x_1 )=f(x_2)$라 가정하자. 그러면

$$f(x_1 )=f(x_2 )~\Leftrightarrow~5x_1+1 =5x_2 +1 ~\Leftrightarrow~5x_1=5x_2~\Leftrightarrow~x_1=x_2$$

따라서 함수 $f$는 일대일 함수이다.

 

함수 $f$가 일대일함수임을 보이는 증명방법

1. $f(x_1 )=f(x_ 2)$를 만족하는 정의역의 원소 $x_1 ,~x_2$가 존재한다고 가정하자. 2. 증명의 여러가지 테크릭을 이용하여 $x_1 =x_2$임을 보이자. 3. 그러면 함수 $f$가 $1-1$함수임을 결론지어라.

 

귀류법으로 증명하는 것은 다음 링크를 보자. 울산과고 2019학년도 1학년1학기 중간고사 19번 문제이다.(비번은 1111)

즉 일대일 함수가 아닌 반례를 가정하면 모순이 됨을 증명하는 것이다. 

$x_1 \neq x_2$인데 $f(x_1)=f(x_2)$인 $x_1 ,~x_2 \in X$가 존재한다면 함수 $f$는 $1-1$함수가 아니다. 

 

Theorem 2. Let $X,~Y,~Z$ be sets, and let $f~ :~ X \rightarrow Y$ and $g~ :~ Y \rightarrow Z$ be functions. If $f$ and $g$ are both injective, then $g \circ f$ is injective.

(증명) 두 함수 $f,~g$가 $f~ :~ X \rightarrow Y$, $g~ :~ Y \rightarrow Z$ 이므로 $g \circ f$는 $g \circ f ~:~X \rightarrow Z$에서 정의된다.

먼저 $x_1 ,~x_2 \in X$에 대하여 $(g \circ f)(x_1)=(g \circ f)(x_2 )$라고 가정하자. 우리는 함수 $f,~g$가 $1-1$함수임을 이용하여 $x_ 1 =x_2$임을 보이면 $g \circ f$가 $1-1$ 함수임을 증명할 수 있다.

$$\begin{align} (g \circ f)(x_1)=(g \circ f)(x_2 ) &~\Longleftrightarrow~g(f(x_1 ))=g(f(x_2 )) ~&(\because~합성함수정의)\\&~\Longleftrightarrow f(x_1 )=f(x_2 )~&(\because~g~:~1-1함수)\\& ~\Longleftrightarrow ~x_1 =x_2 ~&(\because f~:~1-1함수)~\end{align}$$

따라서 $g \circ f$ 는 $1-1$함수(injective)이다.

 

참고) 위의 명제의 역은 성립하지 않는다. 즉 $g \circ f$가 $1-1$함수라면 함수 $f$는 반드시 $1-1$함수이지만 함수 $g$는 반드시 $1-1$함수일 필요는 없다. 그 예를 그림으로 그리면

그림1

위의 그림에서 보듯이 $g$가 $1-1$함수가 아니지만 $g \circ f$는 $1-1$함수이다.

또, 두 함수 $f~:~\mathbb N \longrightarrow \mathbb N,~f(x)=2x$, $g~:~\mathbb N \longrightarrow \mathbb N,~g(x) =\lceil \frac {x}{2} \rceil$를 생각해보자. 

그려면 함수 $g \circ f$는 $1-1$함수이다. 왜냐하면 $g \circ f$의 정의역은 $\mathbb N$이고 공역도 $\mathbb N$이다.

$x_1 ,~x_2 \in \mathbb N$에 대하여 $(g \circ f)(x_1 )= (g \circ f )(x_2 )$라고 가정하면

$$\begin{align} (g \circ f)(x_1)=(g \circ f)(x_2 ) &~\Longleftrightarrow~g(f(x_1 ))=g(f(x_2 )) ~&(\because~합성함수정의)\\& ~\Longleftrightarrow g(2x_1 )=g(2x_2 )&(\because f(x)=2x)\\&~\Longleftrightarrow \left \lceil \frac {2x_1}{2} \right \rceil = \left \lceil \frac{2x_2}{2} \right \rceil &(\because g(x)=\lceil x \rceil )\\&~\Longleftrightarrow ~\lceil x_1 \rceil x_2 \rceil &\\& ~\Longleftrightarrow ~x_1 =x_2 ~&(\because x_1 ,~x_2 \in \mathbb N)~\end{align}$$

따라서 $g \circ f$는 $1-1$함수이다. 그러나 $g(2)=\lceil \frac{2}{2} \rceil =1$이고 $g(3)=\lceil \frac{3}{2} \rceil =1$ 이므로 $g(x) =\lceil \frac {x}{2} \rceil$는 $1-1$함수가 아니다.

이것을 증명하자.

Proposition 3. Let $X,~Y,~Z$ be sets, and let $f~ :~ X \rightarrow Y$ and $g~ :~ Y \rightarrow Z$ be functions. If $g \circ f$ is injective, then $f$ is injective.

(증명) 귀류법으로 증명하자. 함수 $f$가 $1-1$함수가 아니라고 가정하자. 그러면

먼저 $x_1 ,~x_2 \in X$에 대하여 $x_1 \neq x_2$이면서 $f(x_1)=f(x_2)$를 만족하는 $x_1 ,~x_2$가 존재한다.

또, $g$가 함수이므로 $f(x_1)=f(x_2)$이면 $g(f(x_1))=g(f(x_2))$이다. 따라서 $(g \circ f)(x_1)=(g \circ f)(x_2)$

이다. 즉 $x_1 \neq x_2$인데 $(g \circ f)(x_1)=(g \circ f)(x_2)$을 만족하는 $x_1 ,~x_2 \in X$가 존재한다. 이것은 함수 $g \circ f$가 $1-1$함수라는 가정에 모순이다.

따라서 함수 $f$는 $1-1$함수(injective)이다.                                                                     $\Box$

 

Definition 4.(전사함수, 위로의 함수) Let $X,~Y$ be sets, and let $f ~:~ X \rightarrow Y$ be a function. We say that f is surjective if

for all $y \in Y$, there exist $x \in X$ such that $f(x)=y$.

$\forall y \in Y$, $\exists x \in X$ such that $f(x)=y$.

위로의 함수는 공역과 치역이 같은 함수를 나타낸다. 즉 공역 $Y$에 속하는 임의의 원소 $y$에 대하여 정의역 $X$에 속하는 $x$가 존재하여 $y=f(x)$이다. 다르게 표현하면 공역의 원소 $y$ 중에서 함수 $f$에 대응되지 않는 $y$가 존재하지 않는다는 말이다.

예제) 함수 $f~:~\mathbb Z \longleftrightarrow \mathbb N,~f(x)=\left| x \right|+2$는 치역과 공역이 같지 않는 함수이다. 

증명) 우리는 함수 $f$의 공역 중 대응되지 않는 원소가 존재한다는 것을 보이면 된다.

정수 $x$에 대하여 $\left| x \right| \ge 0$이므로 $f(x)=\left| x \right|+2 \ge2$이다. 따라서 공역에 속하는 $1 \in N$에 대하여 $f(x)=1$를 만족하는 $x$는 존재하지 않는다.

$$f(x)=1 ~\Longleftrightarrow ~|x|+2=1~\Longleftrightarrow ~|x|=-1$$

 

위로의 함수 증명하는 절차

함수 $f~:~X \longrightarrow~Y$가 위로의 함수(치역과 공역이 같은 함수) 증명하는 절차 1. 공역 $Y$에 속하는 임의의 $y$를 잡자. 2. $f(x)=y$를 만족하는 $x \in x$를 표현하자. 여기서 $x$는 원소 $y \in Y$에 의존한다. 즉 $x$는 $y$에 관한 식이다. 3. 그러면 $f$는 위로의 함수(surjective)이다.

 

위로의 함수가 아님을 증명하는 방법

$y \in Y$에 대하여 $f(x)=y$를 만족하지 $x \in X$가 없음을 보이면 된다.

즉 $\exists y \in Y$ such that $\forall x \in X$, $f(x) \neq y$

 

Theorem 5. Let $X,~Y,~Z$ be sets, and let $f~ :~ X \longrightarrow Y$ and $g~ :~ Y \longrightarrow Z$ be functions. If $f$ and $g$ are surjective, then $g \circ f$ is also surjective.

(증명) 함수 $g$가 위로의 함수이므로 $g$의 공역의 임의의 원소 $z \in Z$에 대하여 $g(y)=z$인 $y$가 집합 $Y$에 존재한다.

또, 이 $y$가 함수 $f$의 공역 $Y$의 한 원소이고 함수 $f$가 위로의 함수이므로 $f(x)=y$를 만족하는 $x$가 집합 $X$에 존재한다.  따라서

$$\begin{align}z&=g(y)=g(f(x))\\&=(g \circ f)(x) \end{align}$$

여기서 $z$는 $Z$의 임의의 원소이므로 함수 $g \circ f$는 치역과 공역이 같은 함수, 즉 위로의 함수이다.  $\Box$

 

위의 정리의 역은 성립하지 않는다. 그 반예는 위의 그림1이다.

위의 그림에서 보듯이 함수 $g \circ f$와 $g$는 치역과 공역이 같은 함수이지만 함수 $f$는 치역과 공역이 같은 함수가 아니다.

 

Proposition 6. Let $X,~Y,~Z$ be sets, and let $f~ :~ X \rightarrow Y$ and $g~ :~ Y \rightarrow Z$ be functions. If $g \circ f$ is surjective, then $g$ is surjective.

(증명) 귀류법으로 증명하자. 함수 $g$가 치역과 공역이 같은 함수(surjective)가 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 $z_0 \in Z$가 존재하여 모든 $y \in Y$에 대하여 $z_0 \neq(g (y)$이다. 집합 $Y$의 모든 $y$와 대응대지 않는 $z_0 \in Z$가 존재한다. $\cdots\cdots ~(a)$

그런데 $g \circ f$는 $X$에서 $Z$로의 치역과 공역이 같은 함수이므로 위의 $z_0$에 대응되는 $x_0 \in X$가 존재하여  $z_0=(g \circ f)(x_0 )$이다. 합성함수의 정의에 의해

$$\begin{align} z_0 &=(g \circ f)(x_0 )\\&= g(f(x_0)) \end{align}$$

함수 $f$는 함수이므로 $f(x_0)$는 집합 $Y$원소이다. 따라서 함수 $g$에 의해 $z_0$에 대응되는 집합 $Y$의 원소 $f(x_0)$가 존재한다. 이것을 $y$라 하면 $z_0 = g(y)=g(f(x_0))$이다. 이것은 (a)와 모순이다.

따라서 함수 $f$는 치역과 공역이 같은 함수이다.                                                                    $\Box$

 

 

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[수학의 기초] 함수에 대하여(1) - 함수의 정의와 합성