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[수학의 팁] 3차함수의 극대극소의 차 [더플러스수학]수학과 공부이야기 2020. 4. 5. 11:35
수학2 극대극소편에서 3차함수 극대극소문제를 풀 때 알고 있으면 좋은 팁을 하나 소개하고 그것을 증명하도록 하겠다.
3차함수 f(x)=ax3+bx2+cx+d가 극대, 극소를 x=α, x=β에서 갖는다고 하면
(극댓값)과 (극솟값)의 차=|a|2|β−α|3
증명을 보려면 아래를 클릭하세요.더보기(증명) 3차함수 f(x)=ax3+bx2+cx+d가 극대, 극소를 x=α, x=β에서 가지므로 f′(x)=0의 근은 α, β (α≠β)이다. 따라서 f′(x)=3a(x−α)(x−β)로 쓸 수 있다. 따라서 극대, 극소의 차는
|극댓값−극솟값|=f(β)−f(α)=∫βαf′(x)dx (∵
참고 부분적분 팁은 다음을 참고하세요.
2019/11/09 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초]이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이[수학의 기초]이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이
이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이 1. 이차함수 f(x)=ax^2 +bx+c와 x축의 교점이 \alpha,~\beta~(\alpha<\beta)일 때, 이차함수와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이 S는 $$\begin{align}S&=\left|\..
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위의 팁을 이용한 문제를 한번 풀어보자.
예제1 함수 \displaystyle f ( x)=2ax ^ {3} +6bx ^ {2} +6cx+9 는 \displaystyle x=-1 일 때 극댓값을 가지고, \displaystyle x=3 일 때 극솟값을 가지며, 극댓값과 극솟값의 차는 \displaystyle 8 이다. 이때 상수 \displaystyle a,~b,~c 의 값을 구하여라.
정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.더보기(풀이) \displaystyle x=-1에서 극대, \displaystyle x=3에서 극소를 가지므로 \displaystyle a>0
\displaystyle f'(x)=6ax^2 +12bx+6c=0의 두 근은 \displaystyle -1,~3이므로 근과 계수의 관계에 의해
(-1)+3= - \frac{12b}{6a} ,~(-1)\times3 = \frac{6c}{6a}
또, 극댓값과 극솟값의 차는 8이므로 위의 공식을 적용하면
\begin{align} 8&= \frac{|2a|}{2} \left| 3-(-1)\right|^3 \\&= a \times 4^3 \end{align}
\displaystyle \therefore~a=\frac{1}{8},~b=-\frac{1}{8},~ c=-\frac{3}{8}
예제 2 함수 \displaystyle f ( x)=x ^ {3} +ax ^ {2} +bx+c 가 \displaystyle x=2,~4 에서 극값을 가질 때, 다음 물음에 답하여라.
(\displaystyle 1 ) 상수 \displaystyle a,~b 의 값을 구하여라.
(\displaystyle 2 ) 극댓값이 \displaystyle 3 일 때, 극솟값을 구하여라.
정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.더보기(풀이) (1) 함수 \displaystyle f ( x)=x ^ {3} +ax ^ {2} +bx+c 가 \displaystyle x=2,~4 에서 극값을 가지므로
f'(x)=3x^2 +2ax+b=0의 근은 \displaystyle x=2,~4 이므로 근과 계수의 관계에 의해
2+4= - \frac{2a}{3} ,~2\times4 = \frac{b}{3}
\therefore \displaystyle a=-9,~b=24
(2) 극댓값이 3이므로 위의 공식을 쓰면
\begin{align} 3-(극솟값)&= \frac{1}{2} \left| 4-2\right|^3 \\&= 4 \end{align}
극솟값은 \displaystyle -1 이다.
참고 (1)을 풀지 않고 곧바로 (2)을 풀 수 있어 위의 공식이 좀 편하다.과고1학년, 2학년 대신대비를 위해 더플러스수학학원의 구술시스템에서 실제로 하고 있는 문제를 보시려거나 과학고 3학년 AP미적분학을 준비하고자 하거나 대학교1학년 미적분학에 대해 공부하려고 하면 더플러스수학 프리미엄콘텐츠 를 이용해 보세요.
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