[수학의 기초] 함수에 대하여(1) - 함수의 정의와 합성

Definition 1(함수의 정의).  Let $X$ and $Y$ be sets. A function $f$ from $X$ to $Y$ is an object that, for each element $x \in  X$, assigns an element $y \in  Y$ . We use the notation $f ~:~ X \rightarrow Y$ to denote a function as described. We write $f(x) = y$ or $f ~: ~x \mapsto y $ to denote that the element in $Y$ assigned to $x$ is $y$. We call $X$ the domain(정의역) of $f$, and we call $Y$ the codomain(공역) of $f$. If $f(x) = y$, we say that $x$ maps to $y$ under $f$. And the Set $f(X)=\left\{ f(x) | x \in X \right\}$ is called the Range(치역) of $f$ and also $f(X) \subset Y$. 

 

Definition 2. An assignment of values y to elements x 2 X is said to be a well-defined function $f ~:~ X \rightarrow Y$ if it satisfies the following three properties:
(1) Totality: For every $x \in  X$, there exists $y$ such that $f(x) = y$.
(2) Existence: For every $x \in  X$, $f(x) \in Y$ .
(3) Uniqueness: For every $x \in  X$, there is only one $y \in Y$ such that $f(x) = y$.

예를 들어 함수 $f~:~\mathbb R \rightarrow \mathbb R,~x \longmapsto \frac{1}{x-2}$을 생각해 보자. 이 함수 $f$는 잘 정의되지(well-defined) 않다. 왜냐하면 $2 \in \mathbb R$이지만 $2$에 대응되는 $y \in \mathbb R$이 존재하지 않기 때문이다.

그런데 만약 함수 $g$를 $g~:~\mathbb R -\left\{2\right\} \rightarrow \mathbb R,~x \longmapsto \frac{1}{x-2}$로 정의하면 이 함수 $g$는 잘 정의되어 있다. 함수에서는 정의역(domain)이 무엇인지 유심히 봐야 한다.

다음은 함수가 아니다. 무엇때문인지 생각해봅시다.

(1) $$h~:~ \mathbb N \rightarrow \mathbb N ,~ f(n)=n-1$$

(2) $k~:~ \mathbb R \rightarrow \left \{1,~2,~3,~4,~5\right\}$

$$k(x)= \begin{cases} 짝수 &(x \geq 0)\\ 홀수&(x <0)\end{cases}$$

 

Definition 3(항등함수). The identity function on a set $X$, denoted by $I_{X}$ , is the function $I~:~X \rightarrow X$ such that for all $x \in X$, $f(x)=x$.

 

Definition 4.(함수의 상등)  Let $X,~Y,~A,~B$ be sets, and let $f ~:~ X \rightarrow Y$ and $g~:~ A \rightarrow B$ be functions. We say that f is identically equal to g, denoted by $f \equiv g$, if the following conditions are met:
(i) $X = A $
(ii) $Y = B $
(iii) $\forall x \in X ,~f(x)=g(x)$.

다음 두 함수 $f(x)=x,~g(x)=x^3$은 서로 같지 않다. 그러나 정의역을 잘 잡으면 두 함수가 같을 수 있다. 즉 정의역을 $\left\{ 0,~-1,~1\right\}$로 잡고 공역을 $\mathbb R$로 잡으면 두 함수는 서로 같다. 위의 (i), (ii), (iii)조건을 다 만족하기 때문이다.

위의 예처럼 정의역과 공역을 표현하지 않고 대응규칙만 표현한 경우는 정의역과 공역을 고등학교 과정에서 정의할 수 있는 최대한의 집합으로 약속하기 때문에 정의역을 실수전체의 집합, 공역을 실수전체의 집합으로 생각한다. 따라서 위의 두 함수는 서로 같지 않다.

 

Definition 5.(함수의 합성) Let $X,~Y,~Z$ be sets, and let $f ~:~ X \rightarrow Y$ and $g~:~ Y \rightarrow Z$ be functions. We define the composition $g \circ f ~:~ X \rightarrow Z$ to be the function defined by $(g \circ f)(x)=g(f(x))$.

 

참고.  함수 $f ~:~ X \rightarrow Y$에 대하여 다음이 성립한다.

$$f \circ I_{X} \equiv I_{Y} \circ f \equiv  f$$

(증명) Definition 4.(함수의 상등)를 이용하여 증명하자.
먼저 함수 $f ~:~ X \rightarrow Y$와 $I_X ~:~X \rightarrow X$, $I_Y ~:~Y \rightarrow Y$에 대하여
$f \circ I_{X}$, $ I_{Y} \circ f$ 그리고 $   f$의 정의역은 모두 $X$이고 공역도 모두 $Y$이다. 

$x \in X$인 임의의 $x$에 대하여$$ \begin{align} (f \circ I_{X})(x)&=f \left( I_X (x) \right)~~(함성함수의 정의) \\&=f(x)\end{align}$$ $$  \begin{align} (I_Y \circ f)(x) &=I_Y \left(f(x) \right) (함성함수의 정의)\\&=f(x) \end{align}$$ 이다. 따라서 함수의 상등의 정의에 의해

$$f \circ I_{X} \equiv I_{Y} \circ f \equiv  f$$

이다.                                                                                                                              $\Box$

 

이 말은 어떤 함수 $f$에 항등함수 $I$를 합성하더라도 $f$가 된다는 뜻이다.

 

Theorem 1. (결합법칙) Let $W,~X,~Y,~Z$ be sets, and let $f ~:~ W \rightarrow X$,~$g~:~ X \rightarrow Y$, and $h ~:~ Y \rightarrow Z$ be functions. Then
$$h \circ (g \circ f) =(h \circ g) \circ f $$

(증명) 위의 정리를 증명하기 위해 다음을 보이겠다.

(i) 두함수의 정의역과 공역이 같다.

(ii) 임의의 $w \in W$에 대해 $$(h \circ (g \circ f) )(w)=((h \circ g) \circ f )(w)$$

(i) 먼저 $h\circ g$의 정의역은 $X$이고 공역은 $Z$이다. 즉 $h\circ g ~:~X \rightarrow Z$. 또, 함수 $f$는 $f ~:~ W \rightarrow X$이므로 함수 $(h \circ g )\circ f $의 정의역은 $W$, 공역은 $Z$이다.

한편 $g \circ f$의 정의역은 $W$이고 공역은 $Y$이다. 즉 $g\circ f ~:~W \rightarrow Y$. 또, 함수 $h$는 $h ~:~ Y \rightarrow Z$이므로 함수 $h \circ (g \circ f) $의 정의역은 $W$, 공역은 $Z$이다.

따라서 두 함수 $h \circ (g \circ f),~(h \circ g) \circ f $의 정의역과 공역은 서로 같다.

(ii) $f ~:~ W \rightarrow X$, $g~:~ X \rightarrow Y$, 그리고 $h ~:~ Y \rightarrow Z$가 각각 모두 함수이므로 $w \in W$에 대해 $f(w)$는 $X$의 원소이므로 $x=f(w)$라 두면 $x \in X$이다. 또, 함수 $g$에서 $x \in X$에 대해 $g(x)$는 $Y$의 원소이므로 $y =g(x)$라 두면 $y \in Y$이다. 마찬가지로 함수 $h$에서 $y \in Y$에 대해 $h(y)$는 $Z$의 원소이므로 $z =h(y)$라 두면 $z \in Z$이다.

함성함수의 정의에 의해 $(g \circ f)(w)=g (f(w))=g(x)=y$이므로 $$\begin{align} (h \circ (g \circ f ))(w)&=h ((g\circ f )(w) )(합성함수 정의)\\&=h (y) =z \end{align}$$

또, 함성함수의 정의에 의해 $(h \circ g)(x)=h (g(x))=h(y)=z$이므로 $$\begin{align} ((h \circ g )\circ f )(w)&=(h \circ g)(f(w)) (합성함수 정의)\\&=(h \circ g)(x)  =z \end{align}$$

따라서 $(h \circ (g \circ f) )(w)=((h \circ g) \circ f )(w)$이다. 여기서 $w$는 집합 $W$의 임의의 원소이므로

임의의 원소 $w \in W$에 대하여 $(h \circ (g \circ f) )(w)=((h \circ g) \circ f )(w)$이 성립한다. 

(i), (ii)에서 함수의 상등의 정의에 의해 

$$h \circ (g \circ f) =(h \circ g) \circ f $$

                                                                                                                              $\Box$

 

한편 함수의 합성에서는 교환법칙이 성립하지 않는다. 이 말을 오해하지 않기를 바란다.

함수의 합성이라는 연산에서 결합법칙이 성립한다는 말은

집합 $W,~X,~Y,~Z$에 대해 $f ~:~ W \rightarrow X$, $g~:~ X \rightarrow Y$, and $h ~:~ Y \rightarrow Z$인 어떤 함수 $f,~g,~h$를 잡더라도 결합법칙이 성립한다는 것이다. 즉 $h \circ (g \circ f) =(h \circ g) \circ f $

함수의 합성에서 교환법칙이 성립하지 않는다는 뜻이 어떠한 함수 $f,~g$를 잡아도 $f \circ g \neq g \circ f$라는 말이 아니다. 예를 들어 $f(x)=x^2,~g(x)=x^3$이면 $(f \circ g)(x)=(x^3)^2=x^6$, $(g \circ f)(x)=(x^2)^3=x^6$이므로 $f \circ g = g \circ f$이다.

교환법칙이 성립하지 않는다는 말은 '모든'의 부정은 '어떤'이므로 적당한 두 함수 $f,~g$를 잡으면 $g \circ f \neq f \circ g$이다. 즉 $g \circ f \neq f \circ g$을 만족하는 두 함수 $f,~g$가 존재한다는 말이다.

또, $g \circ f \neq f \circ g$를 만족하는 것은 두가지로 나눌 수 있다.

(i) 먼저 $g \circ f $ 또는 $f \circ g$가 정의되지 않는 경우이다.

$f~:~\left\{ 0,~1,~2 \right\} \rightarrow \left\{ 3,~4,~5 \right\}$, $g~:~\left\{ 6,~7,~8 \right\} \rightarrow \left\{9,~10,~11 \right\}$

이 두 함수를 생각하면 아예 $g \circ f $도, $f \circ g$도 정의되지 않기 때문에 교환법칙이 성립하지 않는다. 즉 $g \circ f \neq f \circ g$

물론 $g \circ f $와 $f \circ g$ 중 어느 하나는 정의되나 다른 하나가 정의되지 않는 경우도 교환법칙이 성립하지 않는다.

함수 $f$를 $f~:~\mathbb N \rightarrow \mathbb R ,~f(x)=\sqrt{x}$, 함수 $g$를 $g~:~\mathbb R \rightarrow \mathbb Z ,~g(x)=[x]-10$을 잡으면 함수 $g \circ f$는 잘 정의(well-defined)되지만 $f \circ g$는 정의되지 못한다. 왜냐하면 함수 $g$의 치역이 함수 $f$의 정의역에 속하지 않기 때문이다. 즉 $(f \circ g)(0)$의 값을 정의할 수 없다.

(ii) $g \circ f $ 와 $f \circ g$가 각각 정의되지만 $g \circ f \neq f \circ g$인 경우

예를 들어보자.

함수 $f$를 $f~:~\mathbb Z \rightarrow \mathbb Z ,~f(x)=2x$, 함수 $g$를 $g~:~\mathbb Z \rightarrow \mathbb Z ,~g(x)=x^2$을 생각하면

$(g \circ f)(x)=g(f(x))=(2x)^2 =4x^2,~ (f \circ g)(x)=f(g(x))=2x^2$

이므로 임의의 정수 x에 대하여 $4x^2 =2x^2$이 성립하는 것은 아니다. 즉 어떤 정수 $x_0$가 존재하여 $(g \circ f)(x_0 ) \neq (f \circ g)(x_0)$이다.  예를 들어 $x=2$일 때는  $(g \circ f)(2 ) =16\neq (f \circ g)(2)=8$이다.

따라서 교환법칙이 성립하지 않는다.

 

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[수학의 기초] 함수에 대하여(2) - 함수의 종류