[수학의 기초] 인수분해 응용 $a+b+c=0$이면 $a^3+b^3+c^3=3abc$

 

$\ast$  $a+b+c=0$이면  $a^3+b^3+c^3=3abc$

(증명) 
$a+b+c=0$이라 가정하자. 그러면
$$a^3 +b^3 +c^3 -3abc=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)=0$$
따라서
$$a^3 +b^3 +c^3 =3abc$$
 
 
예제
실력정석 수상 2-4의 (2)번
다음식을 인수분해하여라. 한번풀어보세요.
$$( a-x) ^ {3} + ( b-x) ^ {3} - ( a+b-2x) ^ {3}$$
 

 
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(풀이) 

$$\begin{align} ( a-x) ^ {3} + ( b-x) ^ {3} - ( a+b-2x) ^ {3}=( a-x) ^ {3} + ( b-x) ^ {3} + ( -a-b+2x) ^ {3}\end{align}$$

에서 $a-x=A,~b-x=B,~-a-b+2x=C$라 두면 $$A+B+C= (a-x)+(b-x)+(-a-b+2x)=0$$ 이므로

$$\begin{align} ( a-x) ^ {3} + ( b-x) ^ {3} - ( a+b-2x) ^ {3}&=A^3 +B^3 +C^3 \\&=3ABC\\&= 3(a-x)(b-x)(-a-b+2x)\\&=-3(a-x)(b-x)(a+b-2x)\end{align}$$

이다.

 
 
 
실력정석 수학상 2-8번
다음 식을 만족시키는 $x,~y,~z$ 중 적어도 하나는 $1$임을 증명하여라.
$$x+y+z=3,~~ ( x-1) ^ {3} + ( y-1) ^ {3} + ( z-1) ^ {3} =0$$
 

 
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정답 풀이참조

$x-1= \mathrm X$, $y-1= \mathrm Y$, $z-1= \mathrm Z$로 놓으면

$\mathrm {X+Y+Z}= x+y+z-3$

$x+y+z=3$이므로

$\mathrm {X+Y+Z=0} ~~ \cdots \cdots (\mathrm{i})$①

또, 두 번째 조건식은

$\mathrm {X ^ {3} +Y ^ {3} +Z ^ {3} }=0 ~ \cdots \cdots (\mathrm{ii})$②

$\mathrm {X ^ {3} +Y ^ {3} +Z ^ {3} -3XYZ}$

$\mathrm = ( X+Y+Z) ( X ^ {2} +Y ^ {2} +Z ^ {2} -XY-YZ-ZX)$

에 ①, ②를 대입하면 $-3 \mathrm {XYZ}=0$

$\therefore ~ ( x-1) ( y-1) ( z-1)=0$

$\therefore ~x-1=0$ 또는 $y-1=0$ 또는 $z-1=0$ 따라서 $x,~y,~z$중에서 적어도 하나는 $1$이다.

정답 풀이참조

$x-1= \mathrm X$, $y-1= \mathrm Y$, $z-1= \mathrm Z$로 놓으면

$\mathrm {X+Y+Z}= x+y+z-3$

$x+y+z=3$이므로

$\mathrm {X+Y+Z=0} ~~ \cdots \cdots (\mathrm{i})$①

또, 두 번째 조건식은

$\mathrm {X ^ {3} +Y ^ {3} +Z ^ {3} }=0 ~ \cdots \cdots (\mathrm{ii})$②

$\mathrm {X ^ {3} +Y ^ {3} +Z ^ {3} -3XYZ}$

$\mathrm = ( X+Y+Z) ( X ^ {2} +Y ^ {2} +Z ^ {2} -XY-YZ-ZX)$

에 ①, ②를 대입하면 $-3 \mathrm {XYZ}=0$

$\therefore ~ ( x-1) ( y-1) ( z-1)=0$

$\therefore ~x-1=0$ 또는 $y-1=0$ 또는 $z-1=0$ 따라서 $x,~y,~z$중에서 적어도 하나는 $1$이다.

 
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