[수학의 기초] 인수분해 응용 $a+b+c=0$이면 $a^3+b^3+c^3=3abc$

 

$\ast $  $a+b+c=0$이면  $a^3+b^3+c^3=3abc$

(증명) 

$a+b+c=0$이라 가정하자. 그러면

$$a^3 +b^3 +c^3 -3abc=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)=0$$

따라서

$$a^3 +b^3 +c^3 =3abc$$

 

 

예제

실력정석 수상 2-4의 (2)번

다음식을 인수분해하여라. 한번풀어보세요.

$$ ( a-x) ^ {3} + ( b-x) ^ {3} - ( a+b-2x) ^ {3} $$

 

 

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(풀이) 

$$\begin{align} ( a-x) ^ {3} + ( b-x) ^ {3} - ( a+b-2x) ^ {3}=( a-x) ^ {3} + ( b-x) ^ {3} + ( -a-b+2x) ^ {3}\end{align} $$

에서 $a-x=A,~b-x=B,~-a-b+2x=C$라 두면 $$A+B+C= (a-x)+(b-x)+(-a-b+2x)=0$$이므로

$$\begin{align} ( a-x) ^ {3} + ( b-x) ^ {3} - ( a+b-2x) ^ {3}&=A^3 +B^3 +C^3 \\&=3ABC\\&= 3(a-x)(b-x)(-a-b+2x)\\&=-3(a-x)(b-x)(a+b-2x)\end{align} $$

이다.

 

 

 

실력정석 수학상 2-8번

다음 식을 만족시키는 $ x,~y,~z $ 중 적어도 하나는 $ 1 $임을 증명하여라.

$$ x+y+z=3,~~ ( x-1) ^ {3} + ( y-1) ^ {3} + ( z-1) ^ {3} =0 $$

 

 

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정답 풀이참조

$ x-1= \mathrm X $, $ y-1= \mathrm Y $, $ z-1= \mathrm Z $로 놓으면

$ \mathrm {X+Y+Z}= x+y+z-3 $

$ x+y+z=3 $이므로

$ \mathrm {X+Y+Z=0} ~~ \cdots \cdots (\mathrm{i}) $①

또, 두 번째 조건식은

$ \mathrm {X ^ {3} +Y ^ {3} +Z ^ {3} }=0 ~ \cdots \cdots (\mathrm{ii})$②

$ \mathrm {X ^ {3} +Y ^ {3} +Z ^ {3} -3XYZ} $

$ \mathrm = ( X+Y+Z) ( X ^ {2} +Y ^ {2} +Z ^ {2} -XY-YZ-ZX) $

에 ①, ②를 대입하면 $ -3 \mathrm {XYZ}=0 $

$ \therefore ~ ( x-1) ( y-1) ( z-1)=0 $

$ \therefore ~x-1=0 $ 또는 $ y-1=0 $ 또는 $ z-1=0 $ 따라서 $ x,~y,~z $중에서 적어도 하나는 $ 1 $이다.

정답 풀이참조

$ x-1= \mathrm X $, $ y-1= \mathrm Y $, $ z-1= \mathrm Z $로 놓으면

$ \mathrm {X+Y+Z}= x+y+z-3 $

$ x+y+z=3 $이므로

$ \mathrm {X+Y+Z=0} ~~ \cdots \cdots (\mathrm{i}) $①

또, 두 번째 조건식은

$ \mathrm {X ^ {3} +Y ^ {3} +Z ^ {3} }=0 ~ \cdots \cdots (\mathrm{ii})$②

$ \mathrm {X ^ {3} +Y ^ {3} +Z ^ {3} -3XYZ} $

$ \mathrm = ( X+Y+Z) ( X ^ {2} +Y ^ {2} +Z ^ {2} -XY-YZ-ZX) $

에 ①, ②를 대입하면 $ -3 \mathrm {XYZ}=0 $

$ \therefore ~ ( x-1) ( y-1) ( z-1)=0 $

$ \therefore ~x-1=0 $ 또는 $ y-1=0 $ 또는 $ z-1=0 $ 따라서 $ x,~y,~z $중에서 적어도 하나는 $ 1 $이다.