[수학의 팁] 3차함수의 극대극소의 차 [더플러스수학]

수학2 극대극소편에서 3차함수 극대극소문제를 풀 때 알고 있으면 좋은 팁을 하나 소개하고 그것을 증명하도록 하겠다.
3차함수 $f(x)=ax^3 +bx^2 +cx +d$가 극대, 극소를 $x=\alpha,~x=\beta$에서 갖는다고 하면
$$\textcolor{red} {\mathrm{(극댓값)과~ (극솟값)의 ~차} =\frac { \left| a \right| }{2} \left| \beta-\alpha \right|^3 }$$

 
증명을 보려면 아래를 클릭하세요.

(증명) 3차함수 $\displaystyle f(x)=ax^3 +bx^2 +cx +d$가 극대, 극소를 $\displaystyle x=\alpha,~x=\beta$에서 가지므로 $\displaystyle f'(x)=0$의 근은 $\displaystyle \alpha,~\beta ~(\alpha \neq \beta)$이다. 따라서 $\displaystyle f'(x)=3a(x-\alpha)(x-\beta)$로 쓸 수 있다. 따라서 극대, 극소의 차는

$$\begin{align} \left| \mathrm{극댓값-극솟값} \right| &=f(\beta)-f(\alpha)\\&=\int_{\alpha}^{\beta} f'(x)dx~(\because~정적분의 기본정리)\\&=\int_{\alpha}^{\beta} 3a(x-\alpha)(x-\beta)dx \\&= \frac{\left|3a \right|}{6} \left| \beta-\alpha \right|^3 ~(\because~부분적분 팁)\\& =\frac { \left| a \right| }{2} \left| \beta-\alpha \right|^3 \end{align}$$

 
 
참고 부분적분 팁은 다음을 참고하세요.
2019/11/09 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초]이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이

[수학의 기초]이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이

 
위의 팁을 이용한 문제를 한번 풀어보자.
예제1 함수 $\displaystyle f ( x)=2ax ^ {3} +6bx ^ {2} +6cx+9$는 $\displaystyle x=-1$일 때 극댓값을 가지고, $\displaystyle x=3$일 때 극솟값을 가지며, 극댓값과 극솟값의 차는 $\displaystyle 8$이다. 이때 상수 $\displaystyle a,~b,~c$의 값을 구하여라.
 

 
정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

(풀이)  $\displaystyle x=-1$에서 극대, $\displaystyle x=3$에서 극소를 가지므로 $\displaystyle a>0$

$\displaystyle f'(x)=6ax^2 +12bx+6c=0$의 두 근은 $\displaystyle -1,~3$이므로 근과 계수의 관계에 의해

$$(-1)+3= - \frac{12b}{6a} ,~(-1)\times3 = \frac{6c}{6a}$$

또, 극댓값과 극솟값의 차는 $8$이므로 위의 공식을 적용하면

$\begin{align} 8&= \frac{|2a|}{2} \left| 3-(-1)\right|^3 \\&= a \times 4^3 \end{align}$

$\displaystyle \therefore~a=\frac{1}{8},~b=-\frac{1}{8},~ c=-\frac{3}{8}$

 
 
 
예제 2 함수 $\displaystyle f ( x)=x ^ {3} +ax ^ {2} +bx+c$가 $\displaystyle x=2,~4$에서 극값을 가질 때, 다음 물음에 답하여라.
($\displaystyle 1$) 상수 $\displaystyle a,~b$의 값을 구하여라.
($\displaystyle 2$) 극댓값이 $\displaystyle 3$일 때, 극솟값을 구하여라.
 

 
정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

(풀이) (1) 함수 $\displaystyle f ( x)=x ^ {3} +ax ^ {2} +bx+c$가 $\displaystyle x=2,~4$에서 극값을 가지므로

$f'(x)=3x^2 +2ax+b=0$의 근은 $\displaystyle x=2,~4$이므로 근과 계수의 관계에 의해

$$2+4= - \frac{2a}{3} ,~2\times4 = \frac{b}{3}$$

$\therefore$ $\displaystyle a=-9,~b=24$

(2) 극댓값이 $3$이므로 위의 공식을 쓰면

$\begin{align} 3-(극솟값)&= \frac{1}{2} \left| 4-2\right|^3 \\&= 4 \end{align}$

극솟값은 $\displaystyle -1$이다.

 
참고 (1)을 풀지 않고 곧바로 (2)을 풀 수 있어 위의 공식이 좀 편하다.

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