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울산 옥동에 있는 더플러스수학학원블로그입니다. 수능, 교육청, 삼사, 경찰대 등의 문제 풀이 동영상, 서울대 등 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 영상 제공, 학생이 자기주도적 학습에 도움준다. 또, 울산과고를 위해 교과서인 심화수학, 고급수학, AP Calculus 등의 수업학교프린트 풀이를 제공한다. 여기의 풀이영상은 학원의 유투브인 더플러스수학(https://youtube.com/@THEPLUSMATH)에 있다.

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  • 2020년 과고2 확률과 통계 - 비둘기집 원리 프린트
    과학고 2020. 6. 16. 16:12

     

    1. 한 변의 길이가 22인 정사각형에 55개의 점이 있으면, 두 점 사이의 거리가 22이하인 두 점이 반드시 존재함을 보여라.
     
    https://youtu.be/iW0qIHKZMV8(구독과 좋아요)

     
     

    오른쪽의 그림처럼 한 변이 22인 정사각형을 1×11×1인 한 변의 길이가 정사각형 넷로 나누자. 이 44개의 정사각형에 55개의 점을 넣으면 정사각형 중에 두 개의 점이상을 가진 정사각형이 존재한다. 이 정사각형의 내부의 임의의 두점 사이의 거리는 22이하이므로 두 점 사이의 거리가 22이하인 두 점이 반드시 존재한다.

     

     
     
     
     
     
    2. 2828마리의 금붕어를 99개의 어항에 넣으려고 한다. 44마리 이상의 금붕어가 들어가는 어항이 있음을 보여라.
     
     
    https://youtu.be/Cmfgl1DLqPY (구독과 좋아요)

     
    44마리 이상의 금붕어가 들어가는 어항이 없게 하려면 99개의 어항에 3마리 이하로 넣어야 한다. 그러면 금붕어의 개수는 2727개다. 그런데 2828마리의 금붕어가 있으므로 어느 한 어항에는 44마리 이상 금붕어가 들어간다.
     
     
     
    3. 100100이하의 자연수 중에서 1010개를 뽑아 만든 집합을 AA라 하자. 그러면 AA에는 공집합이 아니고 서로소이며 원소의 합이 같은 두 부분집합이 있음을 보여라.
     
    https://youtu.be/xh6Pzgdoajw (구독과 좋아요)

     
     
    (증명) 집합 AA210=1024210=1024개의 부분집합을 A1, A2, , A1024A1, A2, , A1024라고 하고

    i=1,2,3,,1024i=1,2,3,,1024에 대하여 AiAi의 원소의 합을 sisi라 하면
    0si91+92++100=9950si91+92++100=995
    이므로
    {s1,s2,,s1024}{0,1,,995}{s1,s2,,s1024}{0,1,,995}
    비둘기집의 원리에 의해 si=sjsi=sji, j(ij)i, j(ij)가 존재한다. 이제 두 집합 X, YX, Y
    X=Ai(AiAj), Y=Aj(AiAj)X=Ai(AiAj), Y=Aj(AiAj)
    로 두면 집합 X, YX, Y는 원소의 합이 같고 서로소인 집합 AA의 부분집합이다.

     
     
     
    4. 100100명이 참가한 어느 모임에서 참가자들은 다른 참가자들과 악수를 하였다. 이 모임에 참가한 사람 중에는 악수한 횟수가 같은 두 사람이 있음을 보여라.
     
    https://youtu.be/yr0YMPpdBF8 (구독과 좋아요)

     
     
     
    증명) 100100명 각각의 개인이 악수한 횟수는 00에서 9999번이다. 그런데 악수한 횟수가 00명인 사람이 있다면 악수횟수가 9999명인 사람이 존재할 수 없다. 즉 악수한 횟수 NN

    0N980N98이거나 1N991N99이다. 그런데 100명이 있으므로 비둘기 집의 원리에 의해 악수한 횟수가 같은 두 사람이 반드시 존재한다. (참고 비둘기는 100100, 비둘기집은 9999)
     
    https://youtu.be/MBf2-7IPIKA (구독과 좋아요)

     
     
    5. 서로 다른 5252개의 정수를 포함하고 있는 집합을 AA라 하자.
    (1) 집합 AA에는 두 수의 합이나 차가 100100의 배수인 두 수가 있음을 보여라.
    (2) 두 수의 합이나 차가 100100의 배수가 되지 않도록 5151개의 정수를 뽑아라.
     
    https://youtu.be/MBf2-7IPIKA(구독과 좋아요)

     
     
     
    (1) 집합 A={a1,a2,,a52}A={a1,a2,,a52}라 하자. i=1,2,3,,52i=1,2,3,,52에 대하여
    ai=100qi+biai=100qi+bi (qi, biqi, bi는 정수, 0bi<1000bi<100)
    로 나타낼 수 있다.
    ① 어떤 bibibjbj가 서로 같으면 즉 bi=bjbi=bj (ijij)이면
    aiaj=(100qi+bi)(100qj+bj)=100(qiqj)aiaj=(100qi+bi)(100qj+bj)=100(qiqj)
    이므로 두 수 aiaiajaj의 차는 100100의 배수이다.
    ② 모든 bibi가 다르면 b1, b2, , b52b1, b2, , b52는 다음 5151개의 집합
    {0}, {1,99}, {2,98},{3,97}, , {49,51}, {50}{0}, {1,99}, {2,98},{3,97}, , {49,51}, {50} (i)(i)
    중 하나에 속해야 한다. 5252개의 수가 5151개의 집합에 속하므로 비둘기집의 원립에 의해 어떤 bi, bjbi, bj (ijij)는 같은 집합에 속한다. bibjbibj이므로 bi, bjbi, bj
    {1,99}, {2,98},{3,97}, , {49,51}{1,99}, {2,98},{3,97}, , {49,51}
    중 하나의 집합에 속한다. 곧 bi+bj=100bi+bj=100이다. 따라서
    ai+ajai+aj=(100qi+bi)+(100qj+bj)=(100qi+bi)+(100qj+bj)=100(qi+qj)+(bi+bj)=100(qi+qj)+(bi+bj)=100(qi+qj+1)=100(qi+qj+1)
    이므로 두 수 aiaiajaj의 합은 100100의 배수이다.
    (2) (1)의 (i)에 있는 5151개의 집합에서 한 원소씩 거내면 된다. 예를 들어
    {0,1,2,,49,50}{0,1,2,,49,50}, {0,99,98,,51,50}{0,99,98,,51,50}
    등은 두수의 합이나 차가 100100의 배수가 되지 않는 정수의 집합이다.
     
     
     
     
    6.어떤 운동선수는 1111주(7777일) 동안 매일 한 번 이상, 일주일에 1212번 이하로 연습한다고 한다. 이 선수가 연속으로 며칠동안 연습한 횟수의 합이 2121이 되는 경우가 있음을 보여라.
     
     
    https://youtu.be/3XYbJPxtMaw(구독과 좋아요)

     
     
    첫째날부터 ii째 날가지 연습한 횟수의 총합을 aiai라 하면, 매일 한번이상 연습하고 일주일에 1212번이하만 연습하므로
    1a1<a2<<a76<a7712×11=1321a1<a2<<a76<a7712×11=132
    이다. 다음과 같은 154154개의 자연수
    a1,a2,,a77,a1+21,a2+21,,a77+21a1,a2,,a77,a1+21,a2+21,,a77+21 (i)
    을 생각해보자. a1+21<a2+21<<a77+21153a1+21<a2+21<<a77+21153이므로 (i)에 있는 154154개의 수는 모두 153153이하인 자연수이다. 따라서 비둘기집의 원리에 의해 이들 중 적어도 두 수는 서로 같다. 한편, a1,a2,,a77a1,a2,,a77는 서로 다르고 a1+21,a2+21,,a77+21a1+21,a2+21,,a77+21도 서로 다르다. 결국 a1,a2,,a77a1,a2,,a77 중의 한 수 aiaia1+21,a2+21,,a77+21a1+21,a2+21,,a77+21이 한 수중 aj+21aj+21과 같아야 한다. 따라서 ajai=21ajai=21이고 (i+1)(i+1)째날부터 jj째날까지 연습한 회수는 꼭 2121회이다.
     
     
     
    7. 집합 A={1, 2, 3, , 2n}A={1, 2, 3, , 2n}이라 하자. AA에서 임의로 n+1n+1개의 원소를 뽑으면 그 중에는 서로소인 두 수가 있음을 보여라.
     
     
    https://youtu.be/zxZF21kXKTo (구독과 좋아요)
     
    (풀이1) 먼저 연속한 두 자연수(예를 들면 5, 65, 6)은 서로소임을 알자. 즉 공약수가 11밖에 없다.

    그러므로 11부터 2n2n까지의 정수 중에서 n+1n+1개를 뽑을 때 그 속에 연속한 두 자연수가 있음을 보이면 충분하다.
    비둘기집의 원리를 이용하기 위해 다음과 같은 집합을 생각하자.
    {1, 2}{1, 2}, {3, 4}{3, 4}, , {2n1, 2n}{2n1, 2n}
    이 집합을 비둘기집이라 생각하고, 집합 A={1, 2, 3, , 2n}A={1, 2, 3, , 2n}의 원소를 비둘기라 생각하여 n+1n+1개의 비둘기를 뽑으면 위의 원소가 두 개인 집합 nn개 중 어느 하나는 반드시 뽑힌다. 따라서 이 집합의 원소는 서로소이므로 이 두수가 문제의 조건을 만족하는 두 수이다.
     
     
     
    ** 200200이하의 자연수 중에서 101101개를 택하면 그 중 하나는 다른 하나의 약수가 됨을 증명하여라.
     
     
    집합 {1,2,,200}{1,2,,200}에 속하는 각각의 홀수 2m12m1에 대하여 다음과 같은 집합을 생각하자.
    Sm={(2m1)20, (2m1)21, (2m1)22, , (2m1)2k, }Sm={(2m1)20, (2m1)21, (2m1)22, , (2m1)2k, }
    즉 이 집합은 홀수 (2m1)(2m1)2k2k (k=0,1,2,k=0,1,2,)을 곱한 값을 원소로 갖는 집합이다. 이 집합의 어느 두 원소도 서로 약수와 배수의 관계이다.
    이제 비둘기 집은 S1,S2,S3,,S10S1,S2,S3,,S10이다. 1, 2, , 2001, 2, , 200이 비둘기이다. 이 200200개 중 101101개를 택하면 비둘기집의 원리에 의해 SiSi (i=1,2,,10i=1,2,,10)에 속하는 두 수가 존재한다. 따라서 이 두 수는 서로 약수배수의 관계이다.
    따라서 증명되었다.
    예를 들어 n=4n=4일 때, 비둘기집을 한번 구해보면
    S1={1×20,1×21,1×22,1×23}S1={1×20,1×21,1×22,1×23}
    S2={3×20,3×21}S2={3×20,3×21}
    S3={5×20}S3={5×20}
    S4={5×20}S4={5×20}
     
     
     

    8. 어떤 바둑전문기사는 하루 한 번 이상 바둑을 두는데 2020일 동안 둔 바둑횟수는 3030회를 넘지는 않는다. 그러면 연속으로 며칠 동안 둔 바둑 횟수의 합이 77인 기간은 적어도 33번 있음을 보여라.
     
     
    https://youtu.be/xqwAD241l-I (구독과 좋아요)

     
    이기사가 첫날 둔 바둑의 횟수를 a1a1, 둘째날까지 둔 바둑횟수를 a2a2, , 2020일동안 둔 바둑횟수를 a20a20이라 하자. 그러면 매일 바둑을 두었고 3030회를 넘기지 않았으므로
    1a1<a2<<a19<a20301a1<a2<<a19<a2030
    이다. 또, 위의 식에 모두 77을 더하면
    8=1+7a1+7<a2+7<<a19+7<a20+730+7=378=1+7a1+7<a2+7<<a19+7<a20+730+7=37
    이다. 그러므로 이 4040개의 수
    a1, a2, , a20, a1+7, a2+7, , a19+7, a20+7a1, a2, , a20, a1+7, a2+7, , a19+7, a20+7 (i)
    은 모두 11부터 3737까지이 자연수이므로 비둘기집의 원리에 의해
    aj=ai+7 (1ij20)
    인 서로 다른 ai, aj가 존재한다. 즉 ajai=7이므로 ai+1, , aj 동안 바둑둔 횟수는 7이다. 또, (i)에서 ajai+7을 제외한 나머지는 많아야 36개의 자연수이므로 다시 같아지는 두 쌍의 수가 더 있다. 그러므로 연속으로 며칠동안 둔 바둑 횟수의 합이 7인 기간이 적어도 3번 있다.
     
     
     
    9. 아래의 행렬 A는 서로 다른 mn개의 실수로 이루어져 있으며 각 행은 오른쪽으로 갈수록 점점 커진다.
    A=(a11a12a1na21a22a2nam1am2amn)
    이 행렬의 각 열을 밑으로 갈수록 커지게 재배열하면 행동 오른쪽으로 갈수록 점점 커짐을 보여라.
     
     
    https://youtu.be/cT2x58XXh-c (구독과 좋아요)

     
     
    10. 자연수로 이루어진 수열 a1, a2, 이 다음 두가지 성질을 갖는다.
    (1) an<an+1
    (2) an+12n
    이때, 임의의 자연수 k에 대하여 어떤 두 항의 차가 k가 될 수 있음을 보여라.

     
     
    https://youtu.be/blLAd6xaR1Y(구독좋아요)

     

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