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2020년 과고2 확률과 통계 - 비둘기집 원리 프린트과학고 2020. 6. 16. 16:12
1. 한 변의 길이가 22인 정사각형에 55개의 점이 있으면, 두 점 사이의 거리가 √2√2이하인 두 점이 반드시 존재함을 보여라.
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오른쪽의 그림처럼 한 변이 22인 정사각형을 1×11×1인 한 변의 길이가 정사각형 넷로 나누자. 이 44개의 정사각형에 55개의 점을 넣으면 정사각형 중에 두 개의 점이상을 가진 정사각형이 존재한다. 이 정사각형의 내부의 임의의 두점 사이의 거리는 √2√2이하이므로 두 점 사이의 거리가 √2√2이하인 두 점이 반드시 존재한다.
2. 2828마리의 금붕어를 99개의 어항에 넣으려고 한다. 44마리 이상의 금붕어가 들어가는 어항이 있음을 보여라.
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44마리 이상의 금붕어가 들어가는 어항이 없게 하려면 99개의 어항에 3마리 이하로 넣어야 한다. 그러면 금붕어의 개수는 2727개다. 그런데 2828마리의 금붕어가 있으므로 어느 한 어항에는 44마리 이상 금붕어가 들어간다.
3. 100100이하의 자연수 중에서 1010개를 뽑아 만든 집합을 AA라 하자. 그러면 AA에는 공집합이 아니고 서로소이며 원소의 합이 같은 두 부분집합이 있음을 보여라.
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(증명) 집합 AA의 210=1024210=1024개의 부분집합을 A1, A2, ⋯, A1024A1, A2, ⋯, A1024라고 하고i=1,2,3,⋯,1024i=1,2,3,⋯,1024에 대하여 AiAi의 원소의 합을 sisi라 하면
0≤si≤91+92+⋯+100=9950≤si≤91+92+⋯+100=995
이므로
{s1,s2,⋯,s1024}⊂{0,1,⋯,995}{s1,s2,⋯,s1024}⊂{0,1,⋯,995}
비둘기집의 원리에 의해 si=sjsi=sj인 i, j(i≠j)i, j(i≠j)가 존재한다. 이제 두 집합 X, YX, Y를
X=Ai−(Ai∩Aj), Y=Aj−(Ai∩Aj)X=Ai−(Ai∩Aj), Y=Aj−(Ai∩Aj)
로 두면 집합 X, YX, Y는 원소의 합이 같고 서로소인 집합 AA의 부분집합이다.
4. 100100명이 참가한 어느 모임에서 참가자들은 다른 참가자들과 악수를 하였다. 이 모임에 참가한 사람 중에는 악수한 횟수가 같은 두 사람이 있음을 보여라.
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증명) 100100명 각각의 개인이 악수한 횟수는 00에서 9999번이다. 그런데 악수한 횟수가 00명인 사람이 있다면 악수횟수가 9999명인 사람이 존재할 수 없다. 즉 악수한 횟수 NN는0≤N≤980≤N≤98이거나 1≤N≤991≤N≤99이다. 그런데 100명이 있으므로 비둘기 집의 원리에 의해 악수한 횟수가 같은 두 사람이 반드시 존재한다. (참고 비둘기는 100100, 비둘기집은 9999)
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5. 서로 다른 5252개의 정수를 포함하고 있는 집합을 AA라 하자.
(1) 집합 AA에는 두 수의 합이나 차가 100100의 배수인 두 수가 있음을 보여라.
(2) 두 수의 합이나 차가 100100의 배수가 되지 않도록 5151개의 정수를 뽑아라.
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(1) 집합 A={a1,a2,⋯,a52}A={a1,a2,⋯,a52}라 하자. i=1,2,3,⋯,52i=1,2,3,⋯,52에 대하여
ai=100qi+biai=100qi+bi (qi, biqi, bi는 정수, 0≤bi<1000≤bi<100)
로 나타낼 수 있다.
① 어떤 bibi와 bjbj가 서로 같으면 즉 bi=bjbi=bj (i≠ji≠j)이면
ai−aj=(100qi+bi)−(100qj+bj)=100(qi−qj)ai−aj=(100qi+bi)−(100qj+bj)=100(qi−qj)
이므로 두 수 aiai와 ajaj의 차는 100100의 배수이다.
② 모든 bibi가 다르면 b1, b2, ⋯, b52b1, b2, ⋯, b52는 다음 5151개의 집합
{0}, {1,99}, {2,98},{3,97}, ⋯, {49,51}, {50}{0}, {1,99}, {2,98},{3,97}, ⋯, {49,51}, {50} ⋯⋯(i)⋯⋯(i)
중 하나에 속해야 한다. 5252개의 수가 5151개의 집합에 속하므로 비둘기집의 원립에 의해 어떤 bi, bjbi, bj (i≠ji≠j)는 같은 집합에 속한다. bi≠bjbi≠bj이므로 bi, bjbi, bj는
{1,99}, {2,98},{3,97}, ⋯, {49,51}{1,99}, {2,98},{3,97}, ⋯, {49,51}
중 하나의 집합에 속한다. 곧 bi+bj=100bi+bj=100이다. 따라서
ai+ajai+aj=(100qi+bi)+(100qj+bj)=(100qi+bi)+(100qj+bj)=100(qi+qj)+(bi+bj)=100(qi+qj)+(bi+bj)=100(qi+qj+1)=100(qi+qj+1)
이므로 두 수 aiai와 ajaj의 합은 100100의 배수이다.
(2) (1)의 (i)에 있는 5151개의 집합에서 한 원소씩 거내면 된다. 예를 들어
{0,1,2,⋯,49,50}{0,1,2,⋯,49,50}, {0,99,98,⋯,51,50}{0,99,98,⋯,51,50}
등은 두수의 합이나 차가 100100의 배수가 되지 않는 정수의 집합이다.
6.어떤 운동선수는 1111주(7777일) 동안 매일 한 번 이상, 일주일에 1212번 이하로 연습한다고 한다. 이 선수가 연속으로 며칠동안 연습한 횟수의 합이 2121이 되는 경우가 있음을 보여라.
https://youtu.be/3XYbJPxtMaw(구독과 좋아요)
첫째날부터 ii째 날가지 연습한 횟수의 총합을 aiai라 하면, 매일 한번이상 연습하고 일주일에 1212번이하만 연습하므로
1≤a1<a2<⋯<a76<a77≤12×11=1321≤a1<a2<⋯<a76<a77≤12×11=132
이다. 다음과 같은 154154개의 자연수
a1,a2,⋯,a77,a1+21,a2+21,⋯,a77+21a1,a2,⋯,a77,a1+21,a2+21,⋯,a77+21 ⋯⋯⋯⋯(i)
을 생각해보자. a1+21<a2+21<⋯<a77+21≤153a1+21<a2+21<⋯<a77+21≤153이므로 (i)에 있는 154154개의 수는 모두 153153이하인 자연수이다. 따라서 비둘기집의 원리에 의해 이들 중 적어도 두 수는 서로 같다. 한편, a1,a2,⋯,a77a1,a2,⋯,a77는 서로 다르고 a1+21,a2+21,⋯,a77+21a1+21,a2+21,⋯,a77+21도 서로 다르다. 결국 a1,a2,⋯,a77a1,a2,⋯,a77 중의 한 수 aiai가 a1+21,a2+21,⋯,a77+21a1+21,a2+21,⋯,a77+21이 한 수중 aj+21aj+21과 같아야 한다. 따라서 aj−ai=21aj−ai=21이고 (i+1)(i+1)째날부터 jj째날까지 연습한 회수는 꼭 2121회이다.
7. 집합 A={1, 2, 3, ⋯, 2n}A={1, 2, 3, ⋯, 2n}이라 하자. AA에서 임의로 n+1n+1개의 원소를 뽑으면 그 중에는 서로소인 두 수가 있음을 보여라.
https://youtu.be/zxZF21kXKTo (구독과 좋아요)
(풀이1) 먼저 연속한 두 자연수(예를 들면 5, 65, 6)은 서로소임을 알자. 즉 공약수가 11밖에 없다.그러므로 11부터 2n2n까지의 정수 중에서 n+1n+1개를 뽑을 때 그 속에 연속한 두 자연수가 있음을 보이면 충분하다.
비둘기집의 원리를 이용하기 위해 다음과 같은 집합을 생각하자.
{1, 2}{1, 2}, {3, 4}{3, 4}, ⋯⋯, {2n−1, 2n}{2n−1, 2n}
이 집합을 비둘기집이라 생각하고, 집합 A={1, 2, 3, ⋯, 2n}A={1, 2, 3, ⋯, 2n}의 원소를 비둘기라 생각하여 n+1n+1개의 비둘기를 뽑으면 위의 원소가 두 개인 집합 nn개 중 어느 하나는 반드시 뽑힌다. 따라서 이 집합의 원소는 서로소이므로 이 두수가 문제의 조건을 만족하는 두 수이다.
** 200200이하의 자연수 중에서 101101개를 택하면 그 중 하나는 다른 하나의 약수가 됨을 증명하여라.
집합 {1,2,⋯,200}{1,2,⋯,200}에 속하는 각각의 홀수 2m−12m−1에 대하여 다음과 같은 집합을 생각하자.
Sm={(2m−1)20, (2m−1)21, (2m−1)22, ⋯, (2m−1)2k, ⋯}Sm={(2m−1)20, (2m−1)21, (2m−1)22, ⋯, (2m−1)2k, ⋯}
즉 이 집합은 홀수 (2m−1)(2m−1)에 2k2k (k=0,1,2,⋯k=0,1,2,⋯)을 곱한 값을 원소로 갖는 집합이다. 이 집합의 어느 두 원소도 서로 약수와 배수의 관계이다.
이제 비둘기 집은 S1,S2,S3,⋯,S10S1,S2,S3,⋯,S10이다. 1, 2, ⋯, 2001, 2, ⋯, 200이 비둘기이다. 이 200200개 중 101101개를 택하면 비둘기집의 원리에 의해 SiSi (i=1,2,⋯,10i=1,2,⋯,10)에 속하는 두 수가 존재한다. 따라서 이 두 수는 서로 약수배수의 관계이다.
따라서 증명되었다.
예를 들어 n=4n=4일 때, 비둘기집을 한번 구해보면
S1={1×20,1×21,1×22,1×23}S1={1×20,1×21,1×22,1×23}
S2={3×20,3×21}S2={3×20,3×21}
S3={5×20}S3={5×20}
S4={5×20}S4={5×20}
8. 어떤 바둑전문기사는 하루 한 번 이상 바둑을 두는데 2020일 동안 둔 바둑횟수는 3030회를 넘지는 않는다. 그러면 연속으로 며칠 동안 둔 바둑 횟수의 합이 77인 기간은 적어도 33번 있음을 보여라.
https://youtu.be/xqwAD241l-I (구독과 좋아요)
이기사가 첫날 둔 바둑의 횟수를 a1a1, 둘째날까지 둔 바둑횟수를 a2a2, ⋯⋯, 2020일동안 둔 바둑횟수를 a20a20이라 하자. 그러면 매일 바둑을 두었고 3030회를 넘기지 않았으므로
1≤a1<a2<⋯<a19<a20≤301≤a1<a2<⋯<a19<a20≤30
이다. 또, 위의 식에 모두 77을 더하면
8=1+7≤a1+7<a2+7<⋯<a19+7<a20+7≤30+7=378=1+7≤a1+7<a2+7<⋯<a19+7<a20+7≤30+7=37
이다. 그러므로 이 4040개의 수
a1, a2, ⋯, a20, a1+7, a2+7, ⋯, a19+7, a20+7a1, a2, ⋯, a20, a1+7, a2+7, ⋯, a19+7, a20+7 ⋯⋯⋯⋯(i)
은 모두 11부터 3737까지이 자연수이므로 비둘기집의 원리에 의해
aj=ai+7 (1≤i≤j≤20)
인 서로 다른 ai, aj가 존재한다. 즉 aj−ai=7이므로 ai+1, ⋯, aj 동안 바둑둔 횟수는 7이다. 또, (i)에서 aj와 ai+7을 제외한 나머지는 많아야 36개의 자연수이므로 다시 같아지는 두 쌍의 수가 더 있다. 그러므로 연속으로 며칠동안 둔 바둑 횟수의 합이 7인 기간이 적어도 3번 있다.
9. 아래의 행렬 A는 서로 다른 mn개의 실수로 이루어져 있으며 각 행은 오른쪽으로 갈수록 점점 커진다.
A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮am1am2⋯amn)
이 행렬의 각 열을 밑으로 갈수록 커지게 재배열하면 행동 오른쪽으로 갈수록 점점 커짐을 보여라.
https://youtu.be/cT2x58XXh-c (구독과 좋아요)
10. 자연수로 이루어진 수열 a1, a2, ⋯이 다음 두가지 성질을 갖는다.
(1) an<an+1
(2) an+1≤2n
이때, 임의의 자연수 k에 대하여 어떤 두 항의 차가 k가 될 수 있음을 보여라.
https://youtu.be/blLAd6xaR1Y(구독과 좋아요)
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