[수리논술] 사이클로이드의 등시성과 최단강하곡선

[제시문]

[가] 사이클로이드(cycloid)란 한 원이 일직선 위를 굴러갈 때, 이 원의 원둘레 위의 한 점이 그리는 자취이다. 예를 들어 자전거 바퀴의 한 점에 전구를 설치하고 자전거를 일정한 속력으로 움직일 때 전구가 그리는 자취는 사이클로이드가 된다. 사이클로이드는 바퀴라는 뜻의 그리스어로 갈릴레이가 붙였다고 한다. 사이클로이드는 매우 특이한 물리적 성질을 지니고 있어 흥미로운 대상이다. [나]1583년 성당에서 예배를 드리던 갈릴레이는 ‘천장에 매달린 진자의 주기가 진폭에 상관없이 일정하다’는 ‘진자의 등시성(等時性)’을 발견했다. 하지만 정확하게 이야기한다면 등시성은 진자의 진폭이 매우 작을 경우에만 성립한다. 일반적으로 진폭이 커지면 주기도 증가하기 때문에 진자의 등시성은 성립하지 않는데 정밀한 시계가 없었던 당시에는 이러한 사실을 알아내기 어려웠다. 그런데 네덜란드의 물리학자 호이겐스는 1673년 진자시계 (Horologium Oscilatorium)라는 저서를 통해 진자가 부채꼴이 아니라 사이클로이드를 따라 움직일 경우 진자의 궤도가 등시곡선이 된다는 것을 증명하고, 이러한 성질을 이용해 진자시계를 만들었다. 사이클로이드의 위아래를 뒤집은 모양을 만든 후 이것의 위에 여러 개의 공을 거리를 두고 놓아 보자. 사이클로이드의 두점 $\displaystyle \mathrm{P1,~P2}$에서 공을 동시에 놓았을 때, 사이클로이드의 가장 낮은 지점인 바닥점에 도착하는 시간이 같다는 것이 알려져 있다. 즉, 사이클로이드 위에 놓인 물체는 거리에 관계없이 바닥에 동시에 떨어지게 된다. 이런 이유로 사이클로이드를 ‘등시(等時)곡선’이라고 한다. 그림처럼 뒤집힌 사이클로이드 위의 임의의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 물체의 속력을 $\displaystyle v$, 바닥에서의 높이를 $\displaystyle y$라 하고 출발점 $\displaystyle \mathrm {P} _ {0}$에서의 속력과 높이를 각각 $\displaystyle v _ {0} ,~y _ {0}$라 하면 에너지 보존의 법칙에 따라 운동에너지와 위치에너지의 합은 일정하다. 즉, $\displaystyle \frac {1} {2} mv ^ {2} +mgy=mgy _ {0}$이다. 또한 호 $\displaystyle \mathrm{P _ {0} P}$의 길이를 $\displaystyle s$라 하면 $\displaystyle \frac {ds} {dt} =v$가 성립한다. 이를 이용하여 사이클로이드의 등시성을 확인할 수 있다. [다] 직선, 포물선, 사이클로이드, 원을 따라 공을 굴리면 어느 곡선 위의 공이 가장 먼저 도착할까? 언뜻 생각하면 직선 경로가 길이가 짧아서 가장 시간이 짧게 걸릴 것 같아 보인다. 그러나 사이클로이드 위에서는 가속도에 의해 더 빨리 속도가 증가하므로 사이클로이드가 직선보다 거리는 더 길지만 더 빠른 시간에 도착하게 된다. 이런 이유로 사이클로이드를 ‘최단강하곡선’이라고 한다. 예를 들어 풀장의 미끄럼틀도 놀이터에 있는 것과 같은 직선 형태로 만드는 것보다 사이클로이드 형태로 만들게 되면 더 빨리 내려오기 때문에 더 큰 스릴을 맛볼 수 있다. 독수리는 먹이를 잡으러 낙하할 때 직선이 아닌 사이클로이드 곡선 형태에 가깝게 낙하한다고 한다. 또한 일반 새들도 몸체를 기준으로 날개 끝이 사이클로이드 형태의 타원궤적을 이루며 이로 인한 양력으로 전진하며 물고기 비늘에도 사이클로이드 곡선이 숨겨져 있다고 한다. 이외에 우리나라 전통 가옥의 기와 역시 사이클로이드 곡선 모양을 하고 있어 비로 인한 목조 건물의 부식을 막고 있다고 한다.

[논제 1]

반지름이 1인 바퀴의 맨 아랫부분에 전구를 설치한 후 매초 1의 일정한 속력으로 자전거를 굴릴 때 전구의 위치가 시간 $\displaystyle t$를 매개로 하여 $\displaystyle x=t-\sin t,~y=1-\cos t$로 표현되는 이유를 설명하시오.

 

[논제 2]

사이클로이드 $\displaystyle x=t-\sin t,~y=1-\cos t$로 주어진 곡선의 1주기에서 $\displaystyle y=2-k \left ( 0<k<2 \right )$ 윗부분의 호의 길이가 $\displaystyle 4 \sqrt {2k}$임을 설명하시오.

 

[논제 3]

뒤집힌 사이클로이드 위의 임의의 점에서 놓인 물체가 최저점까지 도달하는 데 걸리는 시간은 물체의 최초 위치에 관계없이 일정함을 논하시오.

 

[논제 4]

뒤집힌 사이클로이드 위의 최고점에서 최저점까지 이 곡선을 따라 이동하는 시간과 두 지점을 연결한 직선을 따라 이동하는 경과 시간을 비교하시오.

 

 

예시답안

[논제 1] 전구를 $\displaystyle \mathrm{P}$라 하면 $\displaystyle t$초 후의 바퀴 중심의 좌표는 $\displaystyle \left ( t,~1 \right )$이고 바퀴가 $\displaystyle t$만큼 지면과 맞닿은 채로 이동하므로 바퀴는 시계 방향으로 $\displaystyle t \left ( rad \right )$만큼 회전한다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{ P}$는 같은 바퀴에서 최초 위치보다 상대적으로 시계 방향으로 $\displaystyle t \left ( rad \right )$만큼 회전한 곳에 위치하게 된다.

따라서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표를 $\displaystyle \left ( x,~y \right )$라 하면 $\displaystyle x=t-\sin t,~y=1-\cos t$이다.

[논제 2] 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에 위치할 때 시각을 $\displaystyle t _ {0}$라 하면 $\displaystyle y=1-\cos t _ {0} =2-k$이다.

$\displaystyle \overrightarrow {v} = \left( \frac {dx} {dt} , ~\frac {dy} {dt} \right) = \left ( 1-\cos t,~\sin t \right )$ 이므로 $\displaystyle | \overrightarrow {v} |= \sqrt {\left ( \frac {dx} {dt} \right ) ^ {2} + \left ( \frac {dy} {dt} \right ) ^ {2} } = \sqrt {2 \left ( 1-\cos t \right )}$에 반각공식 $\displaystyle \sin ^ {2} \frac {t} {2} = \frac {1-\cos t} {2}$를 적용하면 $\displaystyle | \overrightarrow {v} |= \left | 2\sin \frac {t} {2} \right |$ 이다.

따라서, 호  $\displaystyle \stackrel {\huge\frown} {PP ' }$의 길이는 $\displaystyle 4 \sqrt {2k}$이다.

[논제 3] 우선, 에너지 보존 법칙 $\displaystyle \frac {1} {2} mv ^ {2} +mgh=mgy _ {0}$에서 $\displaystyle v= \sqrt {2g \left ( y _ {0} -y \right )}$이다.

또한, $\displaystyle \frac {ds} {dt} =v$이므로 $\displaystyle dt= \frac {1} {v} ds$로 변형된다. 바닥까지 소요시간을 $\displaystyle t _ {0}$, 호 $\displaystyle \stackrel {\huge\frown} {P_0 L }$의 길이를 $\displaystyle s _ {0}$라고 하면 $\displaystyle t _ {0} = \int _ {0} ^ {t _ {0} } {1 \bullet dt= \int _ {0} ^ {s _ {0} } { \frac {1} {v} ds} }$이다.

논제 2의 결과에 의해 호  $\displaystyle \stackrel {\huge\frown} {P_0 P }$의 길이 $\displaystyle s=2 \sqrt {2y _ {0} } -2 \sqrt {2y}$이므로 $\displaystyle ds=- \frac {2} {\sqrt {2y} } dy$이다. 따라서 $\displaystyle t _ {0} = \int _ {y _ {0} } ^ {0} { \frac {1} {\sqrt {2g \left ( y _ {0} -y \right )} } \times }$$\displaystyle \frac {-2} {\sqrt {2y} } dy= \frac {1} {\sqrt {g} } \int _ {0} ^ {y _ {0} } { \frac {1} {\sqrt {y _ {0} \left ( y _ {0} -y \right )} } } dy$이다.

여기서 $\displaystyle y- \frac {y _ {0} } {2} =x, \frac {y _ {0} } {2} =a$라 하면, $\displaystyle t _ {0} = \frac {1} {\sqrt {g} } \int _ {0} ^ {y _ {0} } { \frac {1} {\sqrt {y \left ( y _ {0} -y \right )} } =dy}$이다.

여기서 $\displaystyle y- \frac {y _ {0} } {2} =x, \frac {y _ {0} } {2} =a$라 하면, $\displaystyle t _ {0} = \frac {1} {\sqrt {g} } \int _ {-a} ^ {a} { \frac {1} {\sqrt {a ^ {2} -x ^ {2} } } dx}$로 변형된다.

$\displaystyle x=a\sin \theta$로 치환하면

$\displaystyle t _ {0} = \frac {1} {\sqrt {g} } \int _ {-a} ^ {a} { \frac {1} {\sqrt {a ^ {2} -x ^ {2} } } dx= \frac {2} {\sqrt {g} } \int _ {0} ^ {a} { \frac {1} {\sqrt {a ^ {2} -x ^ {2} } } dx=} \frac {2} {\sqrt {g} } \int _ {0} ^ { \frac {\pi } {2} } { \frac {a\cos \theta } {a\cos \theta } = \frac {\pi } {\sqrt {g} } } }$를 얻는다.

따라서 최초 공의 위치에 상관없이 바다까지의 도달시간은 $\displaystyle \frac {\pi } {\sqrt {g} }$로 일정하다.

 

[논제4] 최고점에서 현재 위치까지 빗변의 길이를 $\displaystyle s$라 하면

$\displaystyle s= \left ( 2-y \right ) \times \frac {\sqrt {\pi ^ {2} +4} } {2}$이므로 $\displaystyle ds=- \frac {\sqrt {\pi ^ {2} +4} } {2} dy$이다.

바닥까지 경과시간 $\displaystyle t _ {0}$는 [논제3]과 같은 방식으로 계산된다.

$\displaystyle \begin{align} t _ {0} = \int _ {0} ^ {t _ {0} }  1 \cdot dt& = \int _ {2} ^ {0}  \frac {1} {\sqrt {2g \left ( 2-y \right )} } \times \left ( - \frac {\sqrt {\pi ^ {2} +4} } {2} \right ) dy \\& = \frac {\sqrt {\pi ^ {4} +4} } {2 \sqrt {2g} } \times 2 \sqrt {2}  = \frac {\sqrt {\pi ^ {4} +4} } {\sqrt {g} } \end{align}$이다.

그런데 $\displaystyle \sqrt {\pi ^ {2} +4} > \pi$이므로 직선 경로로 진행하는 것이 사이클로이드 곡선을 따라 강하하는 것보다 더 오랜 시간이 소요됨을 알 수 있다.