[연세대] 2020학년도 수시모집 특기자전형[과학인재] 면접구술시험문제 [더플러스수학]

2020학년도 연세대 논술, 구술문제.pdf

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[문제1]

$\displaystyle a<b<c $인 세 자연수 $\displaystyle a,~b,~c $에 대하여 자연수 전체의 집합 $\displaystyle U $의 네 부분집합 $\displaystyle A,~B,~C,~D $를

$\displaystyle A= \left\{ x\, | \, 1 \leq x \leq a \right\} $

$\displaystyle B= \left\{ x \, | \, 1 \leq x \leq b \right\} - \left\{ b-a \right\} $

$\displaystyle C= \left\{ x \, |\, 1 \leq x \leq c \right\} - \left\{ c-b,~c-a \right\} $

$\displaystyle D=A \cup B \cup C $

라 하자.

예를 들면, $\displaystyle a=1,~b=3,~c=6 $일 때,

$\displaystyle A= \left\{ 1 \right\} $, $\displaystyle B= \left\{ 1,~2,~3 \right\} - \left\{ 2 \right\} = \left\{ 1,~3 \right\} $, $\displaystyle C= \left\{ 1,~2,~3,~4,~5,~6 \right\} - \left\{ 3,~5 \right\} = \left\{ 1,~2,~4,~6 \right\} $

$\displaystyle D= \left\{ 1,~2,~3,~4,~6 \right\} $이다.

다음 물음에 답하시오.

 

[1-1] $\displaystyle 2 \notin D $를 만족시키는 $\displaystyle a,~b,~c $의 값을 구하시오.

$\displaystyle 2 \notin D $이고 $\displaystyle D=A \cup B \cup C $이므로 $\displaystyle 2 \notin A$이다. 왜냐하면 $\displaystyle 2 \in A$이면 $\displaystyle A \subset D$이므로 $\displaystyle 2 \in D$이므로 $\displaystyle 2 \notin D $에 모순이다.  $\displaystyle \therefore~a=1$.

또, $\displaystyle a<b<c$이므로 $\displaystyle b \geq 2$

(i) $\displaystyle b=2$이면 $\displaystyle A=\left\{ 1 \right\},~B= \left\{1,~2 \right\}-\left\{ 2-1\right\}=\left\{ 2\right\}$

$\displaystyle \therefore~2 \in B$이므로 $\displaystyle D=A \cup B \cup C $에서 $\displaystyle 2 \in D $이므로모순.

(ii) $\displaystyle b \geq 4$이면 $\displaystyle b-a \geq 3$이므로

$ \displasytyle \therefore~2 \in B$.

따라서 위와 똑같은 이유로 모순이다.

그러므로 $\displaystyle b=3$이다. 즉 $\displaystyle A= \left\{ 1 \right\} $, $\displaystyle B= \left\{ 1,~2,~3 \right\} - \left\{ 2 \right\} = \left\{ 1,~3 \right\} $

이제 $\displaystyle c$의 값을 결정하자. $\displaystyle b<c$이므로 $ \displasythle c \geq 4$

그런데 $ \displasythle c \geq 4$이므로 집합 $ \displastyle \left\{x\, | \, 1 \leq x \leq c \right\}$에는 $\displaystyle 2$가 원소로 있다. 이  $\displaystyle 2$를 없애기 위해서는 $\displaystyle c-b=c-3=2$ 또는 $ \displaystyle c-a=c-1=2$이어야 한다. 즉 $ \displaystyle c=5$ 또는 $\displaystyle c=3$이다. 그런데 $ \displastyle b<c$이므로 $ \displaystyle c=5$이다.

따라서 $\displaystyle a=1,~b=3,~c=5$이다.

 

[1-2] $\displaystyle 3 \notin D $를 만족시키는 순서쌍 $\displaystyle \left ( a,~b,~c \right ) $에 대하여 $\displaystyle a+b+c $를 모두 구하시오.

$\displaystyle 3 \notin D $이므로 [1-1]에서 보았듯이 $a=1$ 또는 $a=2$이다.

(i) $a=1<b=2$일 때, $c-a=3$ 또는 $c-b=3$이어야 $3 \notin D$이다.

$\therefore~c=4$ 또는 $c=5$

$(a,~b,~c)=(1,~2,~4)$ 또는 $(1,~2,~5)$

(ii) $a=1<b=3$일 때, $A=\left\{ 1\right\},~B=\left\{ 1,~2,~3\right\}-\left\{2\right\} =\left\{1,~3\right\} $이므로  $3 \in (A \cup B) $이므로 안된다.

(iii) $a=1$이고 $b=4$일 때, $A=\left\{ 1\right\},~B=\left\{ 1,~2,~3,~4\right\}-\left\{3\right\} =\left\{1,~2,~4\right\} $이므로 집합 $A,~B$는 $3$를 원소로 갖지 않는다. 따라서 집합 $C$에 $3$가 없어야 하므로 $c-a=c-1=3$ 또는 $c-b=c-4=3$ 즉, $c=4$ 또는 $c=7$ 그런데 $b<c$이므로 $c=7$

$\therefore~(a,~b,~c)=(1,~4,~7)$

(iv) $a=1$이고 $b > 4$일 때, 집합 $B$가 원소로 $3$갖지 않기 위해서는 $b-a=b-1=3$이어야 한다. 즉, $b=4$이어야 한다. 이것은 $b > 4$와 모순이다. 따라서  $a=1$이고 $b > 4$일 때는만족하는 $(a,~b,~c)$가 존재하지 않는다.

(v) $a=2,~b=3$일 때는 $3 \in B$이므로 안된다.

(vi) $a=2,~b>3$일 때는 $3 \notin B$이기 위해서는 $b-2=3$이어야 한다. 즉 $b=5$. 또, $3 \notin C$이려면 $c-a=c-2=3$ 또는 $c-b=c-5=3$ 즉 $c=5,~c=8$. $b<c$이므로 $c=8$ 즉 $(a,~b,~c)=(2,~5,~8)$

이상에서 가능한 $(a,~b,~c)$는 $ (1,~2,~4)$, $(1,~2,~5)$, $ (1,~4,~7)$, $(2,~5,~8)$

따라서 $a+b+c=7,~8,~12,~15$

 

[1-3] $\displaystyle 20 \notin D $이고 $\displaystyle b<20 $을 만족시키는 순서쌍 $\displaystyle \left ( a,~b,~c \right ) $의 개수를 구하시오.

$\displaystyle 20 \notin D $이고 $\displaystyle b<20 $일 때, 가능한 $c$의 경우는

(i) $c<20$   (ii) $c >20$

이다. $c=20$이면 $20 \in C \subset D$이므로 $\displaystyle 20 \notin D $에 어긋난다.

(i) $c<20$이면 $a<b<c$를 만족하는 어떠한 순서쌍 $(a,~b,~c)$도 다 만족하므로 그 갯수는 ${}_{19}\mathrm {C}_3 =969$이다.

(ii) $c >20$일 때, 즉 $a<b<20<c$

이 경우는 $20 \notin D$이려면 $c$는 $c-a=20$인 경우와 $c-b=20$인 경우 두 가지가 존재한다. 즉

$(a,~b,~a+20)$ 또는 $(a,~b,~b+20)$

$0<a<b<20$이므로 $1$부터 $19$까지의 자연수 중에서 두 수를 뽑는 경우의 수와 같으므로 

$2\times {}_{19}\mathrm{C}_{2}=2 \times 171=342$

(i), (ii)에서 $969+ 342=1311$

 

 

 

 

[문제2]

[2-1] 다항식 $\displaystyle f ( x)=x ^ {3} +ax ^ {2} +bx+c $를 $\displaystyle x-2018 $로 나눈 나머지가 $\displaystyle 2018 $, $\displaystyle x-2019 $로 나눈 나머지가 $\displaystyle 2019 $, $\displaystyle x-2020 $로 나눈 나머지가 $\displaystyle 2020 $일 때, $\displaystyle f ( x) $를 $\displaystyle x-2021 $로 나눈 나머지를 구하시오. (단, $\displaystyle a,~b,~c $는 상수이다.)

 

나머지 정리에 의해 $f(2018)=2018,~f(2019)=2019,~f(2020)=2020$이므로 $f(x)-x=0$의 세근이 $2018,~2019,~2020$이다. 또, $f(x)$의 최고차항의 계수가 $1$이므로 

$$f(x)-x=(x-2018)(x-2019)(x-2020) $$

따라서 $\displaystyle f ( x) $를 $\displaystyle x-2021 $로 나눈 나머지인 $f(2021)$은 위의 식에서

$\begin{align}f(2021)&=(2021-2018)(2021-2019)(2021-2020)+2021\\&= 3!+2021=2027\end{align}$

 

[2-2] 다항함수 $\displaystyle g ( x)=ax ^ {2} +bx+c $가

$\displaystyle g \left ( 111 \right ) = \frac {111} {334} $, $\displaystyle g \left ( 112 \right ) = \frac {112} {337} $, $\displaystyle g \left ( 113 \right ) = \frac {113} {340} $

를 만족시킬 때, $\displaystyle 334g ' \left ( 111 \right ) -340g ' \left ( 113 \right ) $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a,~b,~c $는 상수이다.)

 

$\displaystyle g \left ( 111 \right ) = \frac {111} {334} $, $\displaystyle g \left ( 112 \right ) = \frac {112} {337} $, $\displaystyle g \left ( 113 \right ) = \frac {113} {340} $

을 유심히 관찰하면 $\displaystyle g(x)-\frac{x}{3x+1}=0$의 근이 $111,~112,~113$을 알 수 있다. $g(x)$의 최고차항의 계수가 $a$임을 신경쓰면서 양변에 $3x+1$을 곱하여 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$(3x+1)g(x)-x = 3a(x-111)(x-112)(x-113)$$

양변을 미분하면

$$3g(x)+(3x+1)g'(x)-1 = 3a\left\{ (x-112)(x-113) +(x-111)(x-113)+(x-111)(x-112)\right\}$$

위의 식에 $111$과 $113$을 대입해 보자.

$$3g(111)+ 334g'(111)-1 = 3a (111-112)(111-113)  =6a$$

$$3g(113)+ 340g'(113)-1 = 3a (113-111)(113-112)  =6a$$

위의 두 식을 빼서 정리하면

$$\displaystyle \begin{align} 334g ' \left ( 111 \right ) -340g ' \left ( 113 \right ) &=3g(113)-3g(111)\\& = \frac{339}{340}-\frac{333}{334} \\&=\left(1- \frac{1}{340} \right)-\left(1- \frac{1}{334}\right)\\&= \frac{1}{334}-\frac{1}{340}=\frac{3}{56780}\end{align}$$