Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js

ABOUT ME

울산 옥동에 있는 더플러스수학학원블로그입니다. 수능, 교육청, 삼사, 경찰대 등의 문제 풀이 동영상, 서울대 등 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 영상 제공, 학생이 자기주도적 학습에 도움준다. 또, 울산과고를 위해 교과서인 심화수학, 고급수학, AP Calculus 등의 수업학교프린트 풀이를 제공한다. 여기의 풀이영상은 학원의 유투브인 더플러스수학(https://youtube.com/@THEPLUSMATH)에 있다.

Today
Yesterday
Total
  • [연세대] 2020학년도 수시모집 특기자전형[과학인재] 면접구술시험문제 [더플러스수학]
    수리논술과 심층면접 2020. 9. 3. 19:24

    2020학년도 연세대 논술, 구술문제.pdf
    2.06MB

     

    https://youtu.be/ctyNtwAHoy8(구독좋아요!!)

    [문제1]

    a<b<c인 세 자연수 a, b, c에 대하여 자연수 전체의 집합 U의 네 부분집합 A, B, C, D

    A={x|1xa}

    B={x|1xb}{ba}

    C={x|1xc}{cb, ca}

    D=ABC

    라 하자.

    예를 들면, a=1, b=3, c=6일 때,

    A={1}, B={1, 2, 3}{2}={1, 3}, C={1, 2, 3, 4, 5, 6}{3, 5}={1, 2, 4, 6}

    D={1, 2, 3, 4, 6}이다.

    다음 물음에 답하시오.

     

    [1-1] 2D를 만족시키는 a, b, c의 값을 구하시오.

    더보기

    2D이고 D=ABC이므로 2A이다. 왜냐하면 2A이면 AD이므로 2D이므로 2D에 모순이다.  .

    또, \displaystyle a<b<c이므로 \displaystyle b \geq 2

    (i) \displaystyle b=2이면 \displaystyle A=\left\{ 1 \right\},~B= \left\{1,~2 \right\}-\left\{ 2-1\right\}=\left\{ 2\right\}

    \displaystyle \therefore~2 \in B이므로 \displaystyle D=A \cup B \cup C 에서 \displaystyle 2 \in D 이므로모순.

    (ii) \displaystyle b \geq 4이면 \displaystyle b-a \geq 3이므로

    \displasytyle \therefore~2 \in B.

    따라서 위와 똑같은 이유로 모순이다.

    그러므로 \displaystyle b=3이다. 즉 \displaystyle A= \left\{ 1 \right\} , \displaystyle B= \left\{ 1,~2,~3 \right\} - \left\{ 2 \right\} = \left\{ 1,~3 \right\}

    이제 \displaystyle c의 값을 결정하자. \displaystyle b<c이므로 \displasythle c \geq 4

    그런데 \displasythle c \geq 4이므로 집합 \displastyle \left\{x\, | \, 1 \leq x \leq c \right\}에는 \displaystyle 2가 원소로 있다. 이  \displaystyle 2를 없애기 위해서는 \displaystyle c-b=c-3=2 또는 \displaystyle c-a=c-1=2이어야 한다. 즉 \displaystyle c=5 또는 \displaystyle c=3이다. 그런데 \displastyle b<c이므로 \displaystyle c=5이다.

    따라서 \displaystyle a=1,~b=3,~c=5이다.

     

    [1-2] \displaystyle 3 \notin D 를 만족시키는 순서쌍 \displaystyle \left ( a,~b,~c \right ) 에 대하여 \displaystyle a+b+c 를 모두 구하시오.

    더보기

    \displaystyle 3 \notin D 이므로 [1-1]에서 보았듯이 a=1 또는 a=2이다.

    (i) a=1<b=2일 때, c-a=3 또는 c-b=3이어야 3 \notin D이다.

    \therefore~c=4 또는 c=5

    (a,~b,~c)=(1,~2,~4) 또는 (1,~2,~5)

    (ii) a=1<b=3일 때, A=\left\{ 1\right\},~B=\left\{ 1,~2,~3\right\}-\left\{2\right\} =\left\{1,~3\right\} 이므로  3 \in (A \cup B) 이므로 안된다.

    (iii) a=1이고 b=4일 때, A=\left\{ 1\right\},~B=\left\{ 1,~2,~3,~4\right\}-\left\{3\right\} =\left\{1,~2,~4\right\} 이므로 집합 A,~B3를 원소로 갖지 않는다. 따라서 집합 C3가 없어야 하므로 c-a=c-1=3 또는 c-b=c-4=3 즉, c=4 또는 c=7 그런데 b<c이므로 c=7

    \therefore~(a,~b,~c)=(1,~4,~7)

    (iv) a=1이고 b > 4일 때, 집합 B가 원소로 3갖지 않기 위해서는 b-a=b-1=3이어야 한다. 즉, b=4이어야 한다. 이것은 b > 4와 모순이다. 따라서  a=1이고 b > 4일 때는만족하는 (a,~b,~c)가 존재하지 않는다.

    (v) a=2,~b=3일 때는 3 \in B이므로 안된다.

    (vi) a=2,~b>3일 때는 3 \notin B이기 위해서는 b-2=3이어야 한다. 즉 b=5. 또, 3 \notin C이려면 c-a=c-2=3 또는 c-b=c-5=3c=5,~c=8. b<c이므로 c=8(a,~b,~c)=(2,~5,~8)

    이상에서 가능한 (a,~b,~c) (1,~2,~4), (1,~2,~5), (1,~4,~7), (2,~5,~8)

    따라서 a+b+c=7,~8,~12,~15

     

    [1-3] \displaystyle 20 \notin D 이고 \displaystyle b<20 을 만족시키는 순서쌍 \displaystyle \left ( a,~b,~c \right ) 의 개수를 구하시오.

    더보기

    \displaystyle 20 \notin D 이고 \displaystyle b<20 일 때, 가능한 c의 경우는

    (i) c<20   (ii) c >20

    이다. c=20이면 20 \in C \subset D이므로 \displaystyle 20 \notin D 에 어긋난다.

    (i) c<20이면 a<b<c를 만족하는 어떠한 순서쌍 (a,~b,~c)도 다 만족하므로 그 갯수는 {}_{19}\mathrm {C}_3 =969이다.

    (ii) c >20일 때, 즉 a<b<20<c

    이 경우는 20 \notin D이려면 cc-a=20인 경우와 c-b=20인 경우 두 가지가 존재한다. 즉

    (a,~b,~a+20) 또는 (a,~b,~b+20)

    0<a<b<20이므로 1부터 19까지의 자연수 중에서 두 수를 뽑는 경우의 수와 같으므로 

    2\times {}_{19}\mathrm{C}_{2}=2 \times 171=342

    (i), (ii)에서 969+ 342=1311

     

     

     

     

    [문제2]

    [2-1] 다항식 \displaystyle f ( x)=x ^ {3} +ax ^ {2} +bx+c \displaystyle x-2018 로 나눈 나머지가 \displaystyle 2018 , \displaystyle x-2019 로 나눈 나머지가 \displaystyle 2019 , \displaystyle x-2020 로 나눈 나머지가 \displaystyle 2020 일 때, \displaystyle f ( x) \displaystyle x-2021 로 나눈 나머지를 구하시오. (, \displaystyle a,~b,~c 는 상수이다.)

     

    더보기

    나머지 정리에 의해 f(2018)=2018,~f(2019)=2019,~f(2020)=2020이므로 f(x)-x=0의 세근이 2018,~2019,~2020이다. 또, f(x)의 최고차항의 계수가 1이므로 

    f(x)-x=(x-2018)(x-2019)(x-2020)

    따라서 \displaystyle f ( x)  \displaystyle x-2021 로 나눈 나머지인 f(2021)은 위의 식에서

    \begin{align}f(2021)&=(2021-2018)(2021-2019)(2021-2020)+2021\\&= 3!+2021=2027\end{align}

     

    [2-2] 다항함수 \displaystyle g ( x)=ax ^ {2} +bx+c

    \displaystyle g \left ( 111 \right ) = \frac {111} {334} , \displaystyle g \left ( 112 \right ) = \frac {112} {337} , \displaystyle g \left ( 113 \right ) = \frac {113} {340}

    를 만족시킬 때, \displaystyle 334g ' \left ( 111 \right ) -340g ' \left ( 113 \right ) 의 값을 구하시오. (, \displaystyle a,~b,~c 는 상수이다.)

     

    더보기

    \displaystyle g \left ( 111 \right ) = \frac {111} {334} , \displaystyle g \left ( 112 \right ) = \frac {112} {337} , \displaystyle g \left ( 113 \right ) = \frac {113} {340}

    을 유심히 관찰하면 \displaystyle g(x)-\frac{x}{3x+1}=0의 근이 111,~112,~113을 알 수 있다. g(x)의 최고차항의 계수가 a임을 신경쓰면서 양변에 3x+1을 곱하여 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

    (3x+1)g(x)-x = 3a(x-111)(x-112)(x-113)

    양변을 미분하면

    3g(x)+(3x+1)g'(x)-1 = 3a\left\{ (x-112)(x-113) +(x-111)(x-113)+(x-111)(x-112)\right\}

    위의 식에 111113을 대입해 보자.

    3g(111)+ 334g'(111)-1 = 3a (111-112)(111-113)  =6a

    3g(113)+ 340g'(113)-1 = 3a (113-111)(113-112)  =6a

    위의 두 식을 빼서 정리하면

    \displaystyle \begin{align} 334g ' \left ( 111 \right ) -340g ' \left ( 113 \right ) &=3g(113)-3g(111)\\& = \frac{339}{340}-\frac{333}{334} \\&=\left(1- \frac{1}{340} \right)-\left(1- \frac{1}{334}\right)\\&= \frac{1}{334}-\frac{1}{340}=\frac{3}{56780}\end{align}

     

     

     

Designed by Tistory.