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[연세대] 2020학년도 수시모집 특기자전형[과학인재] 면접구술시험문제 [더플러스수학]수리논술과 심층면접 2020. 9. 3. 19:242020학년도 연세대 논술, 구술문제.pdf2.06MB
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[문제1]
a<b<c인 세 자연수 a, b, c에 대하여 자연수 전체의 집합 U의 네 부분집합 A, B, C, D를
A={x|1≤x≤a}
B={x|1≤x≤b}−{b−a}
C={x|1≤x≤c}−{c−b, c−a}
D=A∪B∪C
라 하자.
예를 들면, a=1, b=3, c=6일 때,
A={1}, B={1, 2, 3}−{2}={1, 3}, C={1, 2, 3, 4, 5, 6}−{3, 5}={1, 2, 4, 6}
D={1, 2, 3, 4, 6}이다.
다음 물음에 답하시오.
[1-1] 2∉D를 만족시키는 a, b, c의 값을 구하시오.
더보기2∉D이고 D=A∪B∪C이므로 2∉A이다. 왜냐하면 2∈A이면 A⊂D이므로 2∈D이므로 2∉D에 모순이다. ∴.
또, \displaystyle a<b<c이므로 \displaystyle b \geq 2
(i) \displaystyle b=2이면 \displaystyle A=\left\{ 1 \right\},~B= \left\{1,~2 \right\}-\left\{ 2-1\right\}=\left\{ 2\right\}
\displaystyle \therefore~2 \in B이므로 \displaystyle D=A \cup B \cup C 에서 \displaystyle 2 \in D 이므로모순.
(ii) \displaystyle b \geq 4이면 \displaystyle b-a \geq 3이므로
\displasytyle \therefore~2 \in B.
따라서 위와 똑같은 이유로 모순이다.
그러므로 \displaystyle b=3이다. 즉 \displaystyle A= \left\{ 1 \right\} , \displaystyle B= \left\{ 1,~2,~3 \right\} - \left\{ 2 \right\} = \left\{ 1,~3 \right\}
이제 \displaystyle c의 값을 결정하자. \displaystyle b<c이므로 \displasythle c \geq 4
그런데 \displasythle c \geq 4이므로 집합 \displastyle \left\{x\, | \, 1 \leq x \leq c \right\}에는 \displaystyle 2가 원소로 있다. 이 \displaystyle 2를 없애기 위해서는 \displaystyle c-b=c-3=2 또는 \displaystyle c-a=c-1=2이어야 한다. 즉 \displaystyle c=5 또는 \displaystyle c=3이다. 그런데 \displastyle b<c이므로 \displaystyle c=5이다.
따라서 \displaystyle a=1,~b=3,~c=5이다.
[1-2] \displaystyle 3 \notin D 를 만족시키는 순서쌍 \displaystyle \left ( a,~b,~c \right ) 에 대하여 \displaystyle a+b+c 를 모두 구하시오.
더보기\displaystyle 3 \notin D 이므로 [1-1]에서 보았듯이 a=1 또는 a=2이다.
(i) a=1<b=2일 때, c-a=3 또는 c-b=3이어야 3 \notin D이다.
\therefore~c=4 또는 c=5
(a,~b,~c)=(1,~2,~4) 또는 (1,~2,~5)
(ii) a=1<b=3일 때, A=\left\{ 1\right\},~B=\left\{ 1,~2,~3\right\}-\left\{2\right\} =\left\{1,~3\right\} 이므로 3 \in (A \cup B) 이므로 안된다.
(iii) a=1이고 b=4일 때, A=\left\{ 1\right\},~B=\left\{ 1,~2,~3,~4\right\}-\left\{3\right\} =\left\{1,~2,~4\right\} 이므로 집합 A,~B는 3를 원소로 갖지 않는다. 따라서 집합 C에 3가 없어야 하므로 c-a=c-1=3 또는 c-b=c-4=3 즉, c=4 또는 c=7 그런데 b<c이므로 c=7
\therefore~(a,~b,~c)=(1,~4,~7)
(iv) a=1이고 b > 4일 때, 집합 B가 원소로 3갖지 않기 위해서는 b-a=b-1=3이어야 한다. 즉, b=4이어야 한다. 이것은 b > 4와 모순이다. 따라서 a=1이고 b > 4일 때는만족하는 (a,~b,~c)가 존재하지 않는다.
(v) a=2,~b=3일 때는 3 \in B이므로 안된다.
(vi) a=2,~b>3일 때는 3 \notin B이기 위해서는 b-2=3이어야 한다. 즉 b=5. 또, 3 \notin C이려면 c-a=c-2=3 또는 c-b=c-5=3 즉 c=5,~c=8. b<c이므로 c=8 즉 (a,~b,~c)=(2,~5,~8)
이상에서 가능한 (a,~b,~c)는 (1,~2,~4), (1,~2,~5), (1,~4,~7), (2,~5,~8)
따라서 a+b+c=7,~8,~12,~15
[1-3] \displaystyle 20 \notin D 이고 \displaystyle b<20 을 만족시키는 순서쌍 \displaystyle \left ( a,~b,~c \right ) 의 개수를 구하시오.
더보기\displaystyle 20 \notin D 이고 \displaystyle b<20 일 때, 가능한 c의 경우는
(i) c<20 (ii) c >20
이다. c=20이면 20 \in C \subset D이므로 \displaystyle 20 \notin D 에 어긋난다.
(i) c<20이면 a<b<c를 만족하는 어떠한 순서쌍 (a,~b,~c)도 다 만족하므로 그 갯수는 {}_{19}\mathrm {C}_3 =969이다.
(ii) c >20일 때, 즉 a<b<20<c
이 경우는 20 \notin D이려면 c는 c-a=20인 경우와 c-b=20인 경우 두 가지가 존재한다. 즉
(a,~b,~a+20) 또는 (a,~b,~b+20)
0<a<b<20이므로 1부터 19까지의 자연수 중에서 두 수를 뽑는 경우의 수와 같으므로
2\times {}_{19}\mathrm{C}_{2}=2 \times 171=342
(i), (ii)에서 969+ 342=1311
[문제2]
[2-1] 다항식 \displaystyle f ( x)=x ^ {3} +ax ^ {2} +bx+c 를 \displaystyle x-2018 로 나눈 나머지가 \displaystyle 2018 , \displaystyle x-2019 로 나눈 나머지가 \displaystyle 2019 , \displaystyle x-2020 로 나눈 나머지가 \displaystyle 2020 일 때, \displaystyle f ( x) 를 \displaystyle x-2021 로 나눈 나머지를 구하시오. (단, \displaystyle a,~b,~c 는 상수이다.)
더보기나머지 정리에 의해 f(2018)=2018,~f(2019)=2019,~f(2020)=2020이므로 f(x)-x=0의 세근이 2018,~2019,~2020이다. 또, f(x)의 최고차항의 계수가 1이므로
f(x)-x=(x-2018)(x-2019)(x-2020)
따라서 \displaystyle f ( x) 를 \displaystyle x-2021 로 나눈 나머지인 f(2021)은 위의 식에서
\begin{align}f(2021)&=(2021-2018)(2021-2019)(2021-2020)+2021\\&= 3!+2021=2027\end{align}
[2-2] 다항함수 \displaystyle g ( x)=ax ^ {2} +bx+c 가
\displaystyle g \left ( 111 \right ) = \frac {111} {334} , \displaystyle g \left ( 112 \right ) = \frac {112} {337} , \displaystyle g \left ( 113 \right ) = \frac {113} {340}
를 만족시킬 때, \displaystyle 334g ' \left ( 111 \right ) -340g ' \left ( 113 \right ) 의 값을 구하시오. (단, \displaystyle a,~b,~c 는 상수이다.)
더보기\displaystyle g \left ( 111 \right ) = \frac {111} {334} , \displaystyle g \left ( 112 \right ) = \frac {112} {337} , \displaystyle g \left ( 113 \right ) = \frac {113} {340}
을 유심히 관찰하면 \displaystyle g(x)-\frac{x}{3x+1}=0의 근이 111,~112,~113을 알 수 있다. g(x)의 최고차항의 계수가 a임을 신경쓰면서 양변에 3x+1을 곱하여 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
(3x+1)g(x)-x = 3a(x-111)(x-112)(x-113)
양변을 미분하면
3g(x)+(3x+1)g'(x)-1 = 3a\left\{ (x-112)(x-113) +(x-111)(x-113)+(x-111)(x-112)\right\}
위의 식에 111과 113을 대입해 보자.
3g(111)+ 334g'(111)-1 = 3a (111-112)(111-113) =6a
3g(113)+ 340g'(113)-1 = 3a (113-111)(113-112) =6a
위의 두 식을 빼서 정리하면
\displaystyle \begin{align} 334g ' \left ( 111 \right ) -340g ' \left ( 113 \right ) &=3g(113)-3g(111)\\& = \frac{339}{340}-\frac{333}{334} \\&=\left(1- \frac{1}{340} \right)-\left(1- \frac{1}{334}\right)\\&= \frac{1}{334}-\frac{1}{340}=\frac{3}{56780}\end{align}
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