[울산과고기출] 에르미트 항등식과 그 증명방법들(2)[더플러스수학]

전편에서 가우스기호의 성질을 이용하여 에르미트 항등식을 증명한데 이어

2020/12/31 - [수학과 공부이야기] - [울산과고기출] 에르미트 항등식과 그 증명방법들(1)[더플러스수학]

 

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이제는 주기함수임을 증명하고 이를 이용하여 에르미트 항등식을 증명하자.

$$\displaystyle \left [ x \right ] + \left [ x+ \frac {1} {n} \right ] + \left [ x+ \frac {2} {n} \right ] + \cdots + \left [ x+ \frac {n-1} {n} \right ] = \left [ nx \right ]$$ 임을 보이시오. (단, $\displaystyle [x]$ 는 $\displaystyle x$ 를 넘지 않는 가장 큰 정수이다.)[6점]  [2017 과고1 1학기 중간 주11]

증명) 함수 $\displaystyle f(x)$를 다음과 같이 정의하자.

$$\displaystyle f(x)=\left [ x \right ] + \left [ x+ \frac {1} {n} \right ] + \left [ x+ \frac {2} {n} \right ] + \cdots + \left [ x+ \frac {n-1} {n} \right ] - \left [ nx \right ]$$

이제 이 함수가 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle\textcolor{red}{ \mathbb{0}}$임을 보이면 된다.

먼저 (i) $\displaystyle f(x)$가 주기함수임을 보이고 (ii) $\displaystyle 0 \leq x<\frac{1}{n}$일 때, $\displaystyle f(x)=0$을 보이는 순서대로 증명하자.

(i) $\displaystyle f(x)$ 주기함수

먼저 주기함수란 무엇인가?

주기함수 정의

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모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $$\displaystyle f(x+p)=f(x)$$ 를 만족하는 $\displaystyle \textcolor {red}{\mathbb {0}}$이 아닌 실수 $\displaystyle p$가 존재할 때 함수 $\displaystyle f(x)$를 주기함수라 한다. 또, 이 때, $\displaystyle 0$이 아닌 최소의 양수 $\displaystyle p$를 주기라고 한다.

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위의 주기함수의 정의를 이용하여 주기함수임을 보이자. 

$\displaystyle x$에 $\displaystyle x+\frac{1}{n}$의 값을 $\displaystyle f(x)$에 대입해 보자.

$\displaystyle \begin{align} f \left( x + \frac{1}{n} \right)&=\left [ \left(x + \frac{1}{n}\right)  \right ] + \left [ \left(x + \frac{1}{n}\right)+ \frac {1} {n} \right ] + \left [ \left(x + \frac{1}{n}\right)+ \frac {2} {n} \right ] + \cdots  \\&+\left [ \left(x + \frac{1}{n}\right)+ \frac {n-1} {n} \right ] - \left [ n\left(x + \frac{1} {n}\right) \right ] \\&=\left [ x+ \frac {1} {n} \right ] + \left [ x+ \frac {2} {n} \right ] + \cdots  + \left [ x+ \frac {n-1} {n} \right ] +\left[x+ 1\right]-\left[nx+1\right]\\&=\left [ x+ \frac {1} {n} \right ] + \left [ x+ \frac {2} {n} \right ] + \cdots  + \left [ x+ \frac {n-1} {n} \right ] +\left[x\right]+1-\left[nx\right]-1\\&=f(x) \end{align}$

여기서 $\displaystyle \frac{1}{n} \neq 0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 주기함수이다. $\displaystyle 0\leq x<\frac{1}{n}$의 범위에서 $\displaystyle f(x)$의 값을 구하보자.

$\displaystyle i=0,~1,~2,~(n-1)$의 값에 대하여 $\displaystyle x+ \frac{i}{n}$의 범위는

$$\displaystyle 0 \leq \frac{i}{n} \leq x+ \frac{i}{n} < \frac{1}{n}+\frac{i}{n}=\frac{1+i}{n} \leq \frac{1+(n-1)}{n}=1$$

즉 

$$\displaystyle 0 \leq \frac{i}{n} \leq x+ \frac{i}{n} < 1$$

이므로 $\displaystyle i=0,~1,~2,~\cdots,~n-1$에 대하여 $$\displaystyle  \left[ x+ \frac{i}{n} \right]=0$$ 이므로 $\displaystyle f(x)=0$이다.

따라서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)=0$이다. 즉

$$\displaystyle \left [ x \right ] + \left [ x+ \frac {1} {n} \right ] + \left [ x+ \frac {2} {n} \right ] + \cdots + \left [ x+ \frac {n-1} {n} \right ] = \left [ nx \right ]$$