2021학년도 연세대 수리논술 자연1

 

[문제 1] \(\displaystyle 100\)명의 학생 중 \(\displaystyle k\)명을 선정하여, 두 명을 회장, 다른 다섯 명을 부회장, 나머지는 위원으로 임명하는 경우의 수가 최대가 되도록 하는 모든 \(\displaystyle k\)의 값을 구하시오. (단, \(\displaystyle 10 \leq k \leq 100\)) [10점]

 

 

 

[제시문]

실수 전체의 집합에서 정의된 연속함수 \(\displaystyle g(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(가) \(\displaystyle g(2020)=1\)

(나) 임의의 실수 \(\displaystyle a,~b\)에 대하여 \(\displaystyle g(a+b)+g(a-b)=2g(a) \cos b \pi\)이다.

[문제 2-1] \(\displaystyle \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} g(x)dx\)의 값을 구하시오. [8점]

[문제 2-2] \(\displaystyle g \left ( \frac{1}{3} \right) g \left( - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{10}\)일 때, \(\displaystyle \left\{g \left( \frac{1}{2} \right)\right\}^{2}\)의 값을 구하시오. [10점]

 

[문제 3] 함수 \(\displaystyle f(x)=ax^2 +bx+c\) (\(\displaystyle a,~b,~c\)는 정수)에 대하여, 닫힌구간 \(\displaystyle [2019,~2020]\)에서 \(\displaystyle \left|f(x) \right|\)의 최댓값이 \(\displaystyle 1\)이 되도록 하는 함수 \(\displaystyle f(x)\)의 개수를 구하시오. [12점]

 

 

[제시문]

\(\displaystyle 2\)이상의 자연수 \(\displaystyle n \)에 대하여, \(\displaystyle n\)을 소인수분해하여 거듭제곱을 사용하여 나타냈을 때, 모든 지수의 합을 \(\displaystyle f(n)\), 모든 지수의 곱을 \(\displaystyle g(n)\)이라 하자. 예를 들어, \(\displaystyle n=12= 2^2 \times 3^1 \)이면 \(\displaystyle f(12)= 2+1=3\)이고 \(\displaystyle g(12)= 2 \times 1 =2 \)이다. 다음 물음에 답하시오.

[문제 4-1] \(\displaystyle 2\)부터 \(\displaystyle 20 \)까지의 자연수 중에서 임의로 한 개의 수를 택하여 이를 \(\displaystyle n\)이라 할 때, \(\displaystyle n \)이 \(\displaystyle f(n)=g(n) \)을 만족시킬 확률을 구하시오. [5점]

[문제 4-2] \(\displaystyle 2\)부터 \(\displaystyle 2021 \)까지의 자연수 중에서 임의로 한 개의 수를 택하여 이를 \(\displaystyle n\)이라 하자. \(\displaystyle n\)이 \(\displaystyle f(n)=g(n) \)을 만족시킬 때, \(\displaystyle n \)이 소수일 확률을 구하시오. (단, \(\displaystyle 2021 \)이하의 자연수 중 소수의 개수는 \(\displaystyle 306 \)이다.) [15점]