[연세대논술]2020학년도 연세대학교 수시모집 논술시험-의학계열(오후)

 

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[문제 1]

합성함수가 정의될 수 있는 범위에서 함수 $\displaystyle f ( x) $에 대한 합성함수를 다음과 같이 나타내자.

$\displaystyle \left ( f \circ f \right ) \left ( x \right ) =f ^ {<2>} \left ( x \right ) $, $\displaystyle \left ( f \circ f \circ f \right ) \left ( x \right ) =f ^ {<3>} \left ( x \right ) $, $\displaystyle \cdots $, $\displaystyle ( \underbrace  {f \circ f \circ \cdots \circ f}_{n개}) ( x)=f ^ {<n>} \left ( x \right ) $

편의상 $\displaystyle f ^ {<i>} \left ( x \right ) $를 $\displaystyle f ^ {<i>} $하고, $\displaystyle f ^ {<0>} =x $라 하자.

함수 $\displaystyle f ( x)=\ln \left ( x \right ) $라 할 때, 부정적분$$\displaystyle \int _ {} ^ {} { \frac {f ^ {<n>} } {f ^ {<0>} f ^ {<1>} f ^ {<2>} \cdots f ^ {<n-2>} } dx} $$를 $\displaystyle f ^ {<i>} $ ($\displaystyle i=0,~1,~ \cdots ,~n $)로 나타내고, 그 이유를 설명하시오. (단, $\displaystyle n \geq 2 $인 자연수이다.) [10점]

 

(정답 및 풀이)

먼저 $\displaystyle n=2 $일 때 직접 적분을 해보자.

$$\displaystyle \int _ {} ^ {} { \frac {f ^ {<2>} } {f ^ {<0>}  } dx} = \int \frac{\ln(\ln x)}{ x}dx$$

에서 $\displaystyle \ln x =t$로 치환하여 적분하면

$$\displaystyle \begin{align} \int { \frac {f ^ {<2>} } {f ^ {<0>}  } dx} &= \ln x \ln (\ln x)- \ln x +C \\&=f^{<1>}f^{<2>} -f^{<1>} +C \end{align}$$

또, $\displaystyle n=3 $일 때 직접 적분을 해보자.

$$\displaystyle \int { \frac {f ^ {<3>} } {f ^ {<0>} f^{<1>} } dx} = \int \frac{f^{<2>}(\ln x)}{ x \ln x}dx$$

에서 $\displaystyle \ln x =t$로 치환하여 적분하면

$$\displaystyle \begin{align} \int { \frac {f ^ {<3>} (x)} {f ^ {<0>}(x) f^{<1>}(x)  } dx} &= \int \frac {f^{<2>}(t)}{f^{<0>}(t)}dt \\&=f^{<1>}(t)f^{<2>}(t) -f^{<1>}(t) +C\\&= f^{<1>}(\ln x) f^{<2>}(\ln x )-f^{<1>}(\ln x)+C \\&= f^{<2>}(x)f^{<3>}(x)-f^{<2>}(x)+C \end{align}$$

이제 이를 일반화하면

$$\displaystyle  \int { \frac {f ^ {<n>} } {f ^ {<0>} f^{<1>}f^{<2>}\cdots f^{<n-2>}  } dx} = f^{<n-1>}(x)f^{<n>}(x)-f^{<n-1>}(x)+C $$

이다. 이를 수학적 귀납법으로 증명하자.

($\displaystyle \mathrm{i}$) $\displaystyle n=2$일 때는 위에서 했으니 생략한다.

($\displaystyle \mathrm{ii}$) $\displaystyle n=k$일 때는 

$$\displaystyle  \int { \frac {f ^ {<k>} } {f ^ {<0>} f^{<1>}f^{<2>}\cdots f^{<k-2>}  } dx} = f^{<k-1>}(x)f^{<k>}(x)-f^{<k-1>}(x)+C $$

이라 가정하고 $\displaystyle \ln x =t$로 치환하여 적분하면

$$\displaystyle \begin{align} \int { \frac {f ^ {<k+1>} } {f ^ {<0>} f^{<1>}f^{<2>}\cdots f^{<k-1>}  } dx} & =\int { \frac {f ^ {<k>}(\ln x) } {x \ln x f^{<1>}(\ln x) \cdots f^{<k-2>}(\ln x)  } dx}\\&=\int { \frac {f ^ {<k>}(t) } { f^{<0>}(t) f^{<1>}(t) \cdots f^{<k-2>}(t) } dt}\\&=f^{<k-1>}(t)f^{<k>}( t)-f^{<k-1>}(t)+C\\&=f^{<k-1>}(\ln x)f^{<k>}( \ln x)-f^{<k-1>}(\ln x)+C\\& = f^{<k>}(x)f^{<k+1>}(x)-f^{<k>}(x)+C \end{align}$$

따라서 수학적 귀납법에 의해 $\displaystyle n \geq 2$인 모든 $\displaystyle n $에 대하여 성립한다.

 

 

[문제 2]

좌표평면 위에 원 $\displaystyle C~:~ \left ( x-a \right ) ^ {2} +y ^ {2} =1 $이 있다. 원점 $\displaystyle \mathrm { O }$ 에서 원 $\displaystyle C $에 그은 두 접선이 원과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\displaystyle \mathrm { P,~Q} $라 하자. 원점 $\displaystyle \mathrm { O }$를 지나는 임의의 직선이 원 $\displaystyle C $와 서로 다른 두 점에서 만날 때, 이 두 점의 중점을 $\displaystyle \mathrm { M }$이라 하자. 두 점 $\displaystyle \mathrm { P,~Q }$를 포함하여 점 $\displaystyle \mathrm { M }$이 나타내는 도형을 곡선 $\displaystyle L $이라 하자. $\displaystyle \mathrm { \angle POQ}= \theta $일 때, 곡선 $\displaystyle L $의 길이 $\displaystyle l $을 $\displaystyle \theta $를 이용하여 나타내고, $\displaystyle \lim\limits _ {\theta \rightarrow 0+} {l} $의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle a>1 $인 실수이다.) [10점]

 

 

[문제 3]

미분가능한 함수 $\displaystyle f ( x) $에 대하여 $$\displaystyle I= \int _ {-1} ^ {-b} { \frac {f \left ( a+x \right )} {x} } dx+ \int _ {b} ^ {1} { \frac {f \left ( a+x \right )} {x} } dx $$(단, $\displaystyle a $와 $\displaystyle b $는 실수이고, $\displaystyle 0<b<1 $이다.)라 하자. 모든 실수 $\displaystyle x $에 대하여 $\displaystyle f ( x) $의 도함수가 $\displaystyle \left | f ' ( x) \right | \leq 1 $을 만족시킬 때, $\displaystyle a $와 $\displaystyle b $의 값에 관계없이 $\displaystyle \left | I \right | \leq 2 $임을 보이시오. [20점]

 

 

[제시문]

좌표평면 위의 영역 $\displaystyle C= \left\{ \left ( a,~b \right ) \left | \frac {1} {\sqrt {2} } a+ \frac {1} {\sqrt {2} } b \geq 0,~ \frac {\sqrt {3} } {2} a+ \frac {1} {2} b \geq 0 \right\} \right . $가 있다. 영역 $\displaystyle C $에 있는 모든 점 $\displaystyle \left ( a,~b \right ) $에 대하여 $\displaystyle ax+by \geq 0 $을 만족시키는 점 $\displaystyle \left ( x,~y \right ) $로 이루어진 영역을 $\displaystyle D $라 하자. 다음 물음에 답하시오.

 

[문제 4-1] 영역 $\displaystyle D $의 경계선을 구하시오. [7점]

 

[문제 4-2] 영역 $\displaystyle B= \left\{ \left ( x,~y \right ) \left | x ^ {2} +y ^ {2} \leq 1 \right\} \right . $일 때, 두 영역 $\displaystyle B,~C $의 공통부분의 넓이와 두 영역 $\displaystyle B,~D $의 공통부분의 넓이의 합을 구하시오. [7점]

 

[문제 4-3] 영역 $\displaystyle C~ ' = \left\{ \left ( a,~b \right ) \left | \left ( \cos \theta \right ) a+ \left ( \sin \theta \right ) b \geq 0,~ \left ( \cos \omega \right ) a+ \left ( \sin \omega \right ) b \geq 0 \right\} \right . $에 있는 모든 점 $\displaystyle \left ( a,~b \right ) $에 대하여 $\displaystyle ax+by \geq 0 $을 만족시키는 점 $\displaystyle \left ( x,~y \right ) $로 이루어진 영역을 $\displaystyle D~ ' $라 할 때, 영역 $\displaystyle D~ ' $의 경계선을 구하시오. (단, $\displaystyle 0< \theta < \omega < \frac {\pi } {2} $)[6점]