[성균관대 수리논술] 2020학년도 성균관대 수시 논술 자연계 2교시

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[ 수학 1 ]

다음 <제시문1> ~ <제시문2>를 읽고 [수학 1 -ⅰ] ~ [수학 1 -ⅳ]를 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>

쌍곡선 $\displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} =-1$의 윗부분을 $\displaystyle C _ {1}$으로 하고, 아랫부분을 $\displaystyle C _ {2}$라고 하자. 쌍곡선 밖의 한 점 $\displaystyle \rm P$에서 곡선 $\displaystyle C _ {1}$에 그은 접선의 접점을 $\displaystyle \rm Q$, 점 $\displaystyle \rm P$에서 곡선 $\displaystyle C _ {2}$에 그은 접선의 접점을 $\displaystyle \rm R$로 표기하자.

 

<제시문2>

$\displaystyle n$은 양의 정수라고 하자. <제시문1>에서 정의된 두 곡선 $\displaystyle C _ {1} ,~C _ {2}$에 대하여, 점 $\displaystyle \rm P _ {\it n \rm } \it \left ( 3n,~n \right )$에서 곡선 $\displaystyle C _ {1}$에 그은 접선 위의 접점을 $\displaystyle \rm Q _ {\it n \rm } \left ( \it a,~ \sqrt { \frac {a ^ {2} +1} {2} } \right )$, 곡선 $\displaystyle C _ {2}$에 그은 접선 위의 접점을 $\displaystyle \rm R _ {\it n \rm } \left ( \it b,~- \sqrt { \frac {b ^ {2} +1} {2} } \right )$이라 하자. (단, $\displaystyle a,~b$는 실수)

 

[수학 1 -ⅰ] <제시문1>에서 점 $\displaystyle \rm Q$에서의 접선의 기울기를 $\displaystyle m _ {1}$이라고 하고, 점 $\displaystyle \rm R$에서의 접선의 기울기를 $\displaystyle m _ {2}$라고 할 때, $\displaystyle m _ {1}$과 $\displaystyle m _ {2}$의 범위를 찾은 후, 접선의 기울기가 $\displaystyle \frac {1} {3}$이 되는 점들의 좌표를 구하고 그 이유를 논하시오.

 

 

[수학 1 -ⅱ] <제시문2>에 있는 실수 $\displaystyle a,~b$와 양의 정수 $\displaystyle n$에 대하여, $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$를 $\displaystyle n$에 대한 식으로 표현하고 그 이유를 논하시오.

 

 

[수학 1 -ⅲ] <제시문2>의 실수 $\displaystyle a$가 모든 양의 정수 $\displaystyle n$에 대해서 부등식 $\displaystyle k \leq a<l$을 만족할 때, $\displaystyle k$의 최댓값과 $\displaystyle l$의 최솟값을 구하고 그 이유를 논하시오. (단, $\displaystyle k,~l$은 실수)

 

[수학 1 -ⅳ] <제시문2>에 있는 세 점 $\displaystyle \rm P _ {\it n \rm } ,~Q _ {\it n \rm } ,~R _ {\it n \rm }$과 원점 $\displaystyle \rm O \left ( 0,~0 \right )$에 대하여, 삼각형 $\displaystyle \triangle \rm P _ {\it n \rm } OQ _ {\it n \rm }$의 넓이와 삼각형 $\displaystyle \triangle \rm R _ {\it n \rm } OP _ {\it n \rm }$의 넓이의 합을 $\displaystyle A _ {n}$이라고 놓을 때, $\displaystyle \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {A _ {n} } {n} }$을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[ 수학 2 ]

 

다음 <제시문1> ~ <제시문3>을 읽고 [수학 2 -ⅰ] ~ [수학 2 -ⅲ]을 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문1>

함수 $\displaystyle f ( x)$를 다음과 같이 정의하자.

$\displaystyle f ( x)= { \begin {cases} \sqrt {x} & \left ( x \geq 0 \right )\\- \sqrt {-x} & \left ( x<0 \right )\end {cases} }$

 

<제시문2>

양의 정수 $\displaystyle n$과 <제시문1>에 정의된 함수 $\displaystyle f ( x)$에 대하여, 두 곡선 $\displaystyle y=f ( nx),~y=f ( nx-1)$과 두 직선 $\displaystyle x=0,~x=1$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle a _ {n}$이라 하자.

 

<제시문3>

양의 정수 $\displaystyle n$과 <제시문1>에 정의된 함수 $\displaystyle f ( x)$에 대하여, 함수 $\displaystyle g ( x)$를 $\displaystyle g ( x)=f \left ( x-2n \right ) -f \left ( x-n \right ) +f \left ( n \right )$으로 정의하자. 이때 곡선 $\displaystyle y=g ( x)$와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle b _ {n}$이라 하자.

 

[수학 2 -ⅰ] <제시문2>에 주어진 수열 $\displaystyle \left\{ a _ {n} \right\}$의 일반항을 $\displaystyle n$에 대한 식으로 표현한 후, $\displaystyle \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {a _ {n} \sqrt {n ^ {r} } =1}$이 되도록 하는 양의 정수 $\displaystyle r$의 값을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[수학 2 -ⅱ] <제시문3>에 정의된 함수 $\displaystyle g ( x)$가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 표로 나타낸 후, 함수 $\displaystyle g ( x)$의 최솟값을 구하고 그 이유를 논하시오.

 

[수학 2 -ⅲ] <제시문3>에 주어진 수열 $\displaystyle \left\{ b _ {n} \right\}$의 일반항을 $\displaystyle n$에 대한 식으로 표현한 후, 수열 $\displaystyle \left\{ \frac {b _ {n} } {n ^ {s} } \right\}$이 수렴하기 위한 실수 $\displaystyle s$의 값의 범위와 그때의 극한값을 구하고 그 이유를 논하시오.