2021학년도 연세대 수리논술 자연2

[문제 1] 한 개의 주사위를 \(\displaystyle 3\)번 던져 나온 눈의 수를 차례로 \(\displaystyle a,~b,~c\)라 하자. 이차방정식 \(\displaystyle x^2 +y^2 +ax+by+6=0 \)이 원을 나타낼 때, 방정식 \(\displaystyle x+2y+c=0 \)이 나타내는 직선이 이 원의 넓이를 이등분할 확률을 구하시오. [10점]

 

 

[문제 2] 방정식 \(\displaystyle x_1 +x_2 +x_3 = 5\)를 만족시키는 양의 정수해를 <표 1>과 같이 나타냈을 때, 숫자 \(\displaystyle 2 \)가 나오는 횟 수는 \(\displaystyle 6\)이다. 자연수 \(\displaystyle n \)에 대하여 방정식 \(\displaystyle x_1 +x_2 +x_3 +\cdots +x_k = n\)을 만족시키는 양의 정수해를 <표 2>와 같이 나열하였을 때, 자연수 \(\displaystyle r \) (\(\displaystyle 1 \leq r \leq n-k+1\))가 나오는 횟수를 \(\displaystyle n,~k,~r\)를 이용하여 나타내시오. (단, \(\displaystyle k \)는 \(\displaystyle 2 \leq k \leq n \)인 자연수이다.) [12점]

 

 

 

[제시문] 어떤 삼각형 \(\displaystyle \mathrm{ABC}\)가 있을 때, 사각형 \(\displaystyle \mathrm{PQRS}\)가 직사각형이 되도록 삼각형 \(\displaystyle \mathrm{ABC}\)의 세 변 위의 네 점 \(\displaystyle \mathrm{P,~Q,~R,~S}\)를 선택한다. 다음 물음에 답하시오.

[문제 3-1] 사각형 PQRS의 넓이가 최대일 때, 삼각형 \(\displaystyle \mathrm{ABC}\)의 넓이와 사각형 \(\displaystyle \mathrm{PQRS}\)의 넓이의 차가 \(\displaystyle 43\)이라 하자. 이 때, 삼각형 \(\displaystyle \mathrm{ABC}\)의 넓이를 구하시오. [5점]

[문제 3-2] 사각형 \(\displaystyle \mathrm{P'Q'R'S'}\)이 다음 조건을 만족시킬 때, 삼각형 \(\displaystyle \mathrm{ABC}\)의 넓이를 구하시오. [15점]

(가) 사각형 \(\displaystyle \mathrm{P'Q'R'S'}\)은 직사각형이고 네 꼭짓점은 삼각형 \(\displaystyle \mathrm{ABC}\)와 사각형 \(\displaystyle \mathrm{PQRS}\)의 변 위에 있다. 그리고 두 사각형 \(\displaystyle \mathrm{PQRS}\)와 \(\displaystyle \mathrm{P'Q'R'S'}\)의 내부가 서로 겹치는 부분은 없다.

(나) 두 사각형 \(\displaystyle \mathrm{PQRS}\)와 \(\displaystyle \mathrm{P'Q'R'S'}\)의 넓이의 합이 최대일 때, 삼각형 \(\displaystyle \mathrm{ABC}\)의 넓이에서 두 사각형 \(\displaystyle \mathrm{PQRS}\)와 \(\displaystyle \mathrm{P'Q'R'S'}\)의 넓이의 합을 뺀 값은 \(\displaystyle 47\)이다.

 

 

 

[제시문] 좌표평면에서 네 직선 \(\displaystyle x= -\frac{1}{3},~x+y=2,~y= \frac{1}{5},~y= \frac{4}{3} \)로 이루어지는 사각형을 \(\displaystyle D \)라 하자. 자연수 \(\displaystyle n \)에 대하여, 네 변이 좌표축에 평행한 정사각형 중에서 한 변의 길이가 \(\displaystyle \frac{1}{2^n }\)이고 각 꼭짓점의 \(\displaystyle x \)좌표와 \(\displaystyle y\)좌표에 \(\displaystyle 2^n \)을 곱하여 각각 정수가 되는 정사각형들의 모임을 집합 \(\displaystyle S_n \)이라 하자. 다음 물음에 답하시오.

[문제 4-1] \(\displaystyle S_n \)의 원소 중에서 사각형 \(\displaystyle D\)의 둘레 및 내부에 포함되는 모든 정사각형의 개수를 \(\displaystyle f(n)\)이라 하고, 실수 \(\displaystyle \alpha \)에 대하여 수열 \(\displaystyle \left\{ b_n \right\}\)을 \(\displaystyle b_n = \alpha n +\ln f(n) \)이라 하자. 수열 \(\displaystyle \left\{ b_n \right\}\)이 수렴하도록 하는 \(\displaystyle \alpha \)의 값을 구하고, 이때 극한값 \(\displaystyle \lim\limits _{n  \rightarrow \infty} b_n \)을 구하시오. [8점]

[문제 4-2] \(\displaystyle S_n \)의 원소 중에서 사각형 \(\displaystyle D\)의 둘레와 두 점 이상에서 만나는 모든 정사각형의 개수를 \(\displaystyle g(n)\)이라 하고, 실수 \(\displaystyle \beta \)에 대하여 수열 \(\displaystyle \left\{ c_n \right\}\)을 \(\displaystyle c_n = \beta n +\ln g(n) \)이라 하자. 수열 \(\displaystyle \left\{ c_n \right\}\)이 수렴하도록 하는 \(\displaystyle \beta \)의 값을 구하고, 이때 극한값 \(\displaystyle \lim\limits _{n  \rightarrow \infty} c_n \)을 구하시오. [10점]