2021학년도 연세대 수리논술 자연1

 

[문제 1] $\displaystyle 100$명의 학생 중 $\displaystyle k$명을 선정하여, 두 명을 회장, 다른 다섯 명을 부회장, 나머지는 위원으로 임명하는 경우의 수가 최대가 되도록 하는 모든 $\displaystyle k$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle 10 \leq k \leq 100$) [10점]

 

 

 

[제시문]

실수 전체의 집합에서 정의된 연속함수 $\displaystyle g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(가) $\displaystyle g(2020)=1$

(나) 임의의 실수 $\displaystyle a,~b$에 대하여 $\displaystyle g(a+b)+g(a-b)=2g(a) \cos b \pi$이다.

[문제 2-1] $\displaystyle \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} g(x)dx$의 값을 구하시오. [8점]

[문제 2-2] $\displaystyle g \left ( \frac{1}{3} \right) g \left( - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{10}$일 때, $\displaystyle \left\{g \left( \frac{1}{2} \right)\right\}^{2}$의 값을 구하시오. [10점]

 

[문제 3] 함수 $\displaystyle f(x)=ax^2 +bx+c$ ($\displaystyle a,~b,~c$는 정수)에 대하여, 닫힌구간 $\displaystyle [2019,~2020]$에서 $\displaystyle \left|f(x) \right|$의 최댓값이 $\displaystyle 1$이 되도록 하는 함수 $\displaystyle f(x)$의 개수를 구하시오. [12점]

 

 

[제시문]

$\displaystyle 2$이상의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여, $\displaystyle n$을 소인수분해하여 거듭제곱을 사용하여 나타냈을 때, 모든 지수의 합을 $\displaystyle f(n)$, 모든 지수의 곱을 $\displaystyle g(n)$이라 하자. 예를 들어, $\displaystyle n=12= 2^2 \times 3^1$이면 $\displaystyle f(12)= 2+1=3$이고 $\displaystyle g(12)= 2 \times 1 =2$이다. 다음 물음에 답하시오.

[문제 4-1] $\displaystyle 2$부터 $\displaystyle 20$까지의 자연수 중에서 임의로 한 개의 수를 택하여 이를 $\displaystyle n$이라 할 때, $\displaystyle n$이 $\displaystyle f(n)=g(n)$을 만족시킬 확률을 구하시오. [5점]

[문제 4-2] $\displaystyle 2$부터 $\displaystyle 2021$까지의 자연수 중에서 임의로 한 개의 수를 택하여 이를 $\displaystyle n$이라 하자. $\displaystyle n$이 $\displaystyle f(n)=g(n)$을 만족시킬 때, $\displaystyle n$이 소수일 확률을 구하시오. (단, $\displaystyle 2021$이하의 자연수 중 소수의 개수는 $\displaystyle 306$이다.) [15점]