[서울대 심층면접] 2008학년도 서울대 심층면접

[문제1]

(1). 양수 $ a,~b,~c $에 대하여 $$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } \left ( a ^ {n} +b ^ {n} +c ^ {n} \right ) ^ { \frac {1} {n} } = A $$인 극한값 $ A $를 구하라.

 

(2). $$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {\left ( 1+ \left ( \frac {1} {2} \right ) ^ {n} \right ) ^ { \frac {1} {n} } -1} {\left ( \frac {1} {2} \right ) ^ {n} } =0} $$임을 보이고 $$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {~n ^ {k} \frac {\left ( 1+ \left ( \frac {1} {2} \right ) ^ {n} \right ) ^ { \frac {1} {n} } -1} {\left ( \frac {1} {2} \right ) ^ {n} } } $$가 $ 0 $이 아닌 극한값을 가지는 $ k>0 $를 구하라.

(참고: 만일 $ 0<a<1 $이면 $ 1+ax- \frac {1} {2} a ( 1-a)x ^ {2} \leq ( 1+x) ^ {a} \leq 1+ax $이다.)

 

(3). $ 0<a<b<c $일 때 $$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {\left ( a ^ {n} +b ^ {n} +c ^ {n} \right ) ^ { \frac {1} {n} } -A} {B _ {n} } } $$이 $ 0 $이 아닌 극한값을 가지는 수열 $ B _ {n} = \frac {1} {n} r ^ {n} $에서 상수 $ r $을 구하라.

 

 

[문제2]

(1) 좌표평면 상의 구간 $ [a,b] $에서 정의된 직선 $ f ( x) $가 있다. 이것의 길이를 평균값의 정리를 활용해 나타내어라.

 

(2) 구간 $ [a,~b] $에서 정의된 곡선 $ f ( x) $의 길이는 다음과 같이 근사시킬 수 있다.

$$ L \approx \int _ {a} ^ {b} {} \sqrt {1+ \left\{ f ' ( x) \right\} ^ {2} } dx $$

평균값의 정리를 활용해 위 식을 유도하고 그 과정을 설명하시오.

 

(3) 좌표평면 위에 $$y=\frac{e^x +e^-x}{2} -1$$인 곡선과 반지름이 $ \frac {3} {8 \pi } $인 원이 다음과 같이 원점에서 접하도록 위치해 있다. 원 위의 점 $ P $가 현재 원점에 있고, 원이 곡선과 접하면서 오른쪽으로 미끄러짐 없이 굴러 올라간다. $ P $가 다시 곡선과 최초로 만났을 때의 원의 중심의 좌표를 구하여라.

 

 

 

 

[서울대 2008학년도 특기자 의대]

[문제3]

$$ x _ {1} =a,~x _ {n+1} = \frac {1} {2} x _ {n} +x _ {n} ^ {b} ~(a,~b>0 )$$인 수열 $ \left\{ x _ {n} \right\} $이 있다.

(1) $ a $에 따라 수열 $ \left\{ x _ {n} \right\} $의 극한값이 2개 이상 존재하는 $ b $의 값의 범위를 구하여라.

 

(2) $ 0<a< \frac {1} {2} $이고 $ b=2 $일 때, 수열 $ \left\{ x _ {n} \right\} $의 극한값이 0이 됨을 설명하고 무한급수 $ \sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } x _ {n} $은 수렴함을 보여라. (참고 : 어떤 수열이 증가 또는 감소수열이면서, 그 범위가 한정되어 있다면 이 수열은 수렴하는 성질이 있다.)

 

(3) $ 0<b<1 $일 때, 수열 $ \left\{ x _ {n} \right\} $의 극한값이 0이 아님을 보여라.

 

 

[문제4] 좌표공간 상의 $ \overrightarrow {X} = ( x,~y,~z) $ 위치에 있는 아주 작은 입자가 운동할 때 입자의 속도 $ \overrightarrow {V} $는 $ \overrightarrow {V} = ( x,~y,~z) $로 주어진다. $ S _ {r} $은 중심이 원점이고 반지름이 $ r $인 구이다.

 

(1) 시각 $ t=0 $에서 $ S _ {r} $ 위의 한 점 $ ( x _ {0} ,~y _ {0} ,~z _ {0} ) $에서 출발한 입자의 시각 $ t $일 때의 위치를 $ t $의 함수로 구하여라.

 

(2) $ S _ {r} $의 내부를 균일하고 매우 조밀하게 채우고 있는 입자들을 생각하자. $ t $초 후 $ S _ {r} $을 빠져나간 입자들은 어떤 입체를 이루는지 설명하여라. 이 $ S _ {r} $을 빠져나간 입자들이 점유하고 있는 공간의 부피 $ f ( t) $를 구하여라.

 

(3) $ f ( t) $의 $ t=0 $에서의 순간변화율을 구하여라.

 

(4) $ t $초 후 $ S _ {r} $을 빠져나간 입자들이 평면 $ x=1 $과 만나는 영역의 넓이를 $ A ( t) $라 할 때, $ A ( t) $를 구하여라. 또, $ A ( t) $의 $ t=1 $에서의 순간변화율을 구하여라.(단, $ r \geq 1 $)

 

 

[서울대 2008학년도 특기자 의대]

[문제5] 타원 $ \frac {x ^ {2} } {4} +y ^ {2} =1 $ 위의 점 $ X $에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) 타원 외부의 점 $ Q $와 점 $ Q $에서 타원까지의 거리가 최소가 되는 점 $ X $에 대하여 $ \overline {QX} $는 에서의 접선과 수직임을 설명하여라.

 

(2) $ X $가 타원 위를 움직일 때, 임의의 단위벡터 $ \overrightarrow {N} ( x) $를 더해 새로운 벡터를 만든다. ($ \overrightarrow {P} = \overrightarrow {X} + \overrightarrow {N} ( X) $)

이 때, $ \overrightarrow {P} $의 넓이가 최대가 되게 하는 $ \overrightarrow {N} ( X) $에 대하여 설명하여라.

 

(3) 위의 $ \overrightarrow {N} ( X) $의 자취의 길이를 구하여라.

 

(4) 위의 $ \overrightarrow {N} ( X) $에 대하여 $ \overrightarrow {P} = \overrightarrow {X} +t \overrightarrow {N} ( X) $라고 할 때 $ \overrightarrow {P} $의 자취가 축과 만나는 두 점 사이의 거리가 1이 되도록 축소시킨 도형을 벡터로 표현하여라. 이 때 $ t \rightarrow \infty $이면 그 자취는 무엇이 되는가?

 

 

[문제6]

평면도형이 이루는 각은 [그림 1]과 같이 $ O $점에서 반지름이 $ 1 $인 단위원을 그렸을 때 원상에 투영된 호의 길이와 같다. 마찬가지로 $ 3 $차원 공간상에서 $ O $점으로부터 바라본 물체의 각은 [그림 2]와 같이 $ O $점을 중심으로 반지름이 $ 1 $인 단위구$ S $를 그렸을 때 이 구상에 투영된 상의 넓이를 말한다.

(1) $ O $ 점에서 구 $ S $에 접하는 평면을 바라본 각도는?

(2) 직각 육면체의 꼭지점에서 직각 육면체를 바라본 각은?

(3) $ O $점에서 바라본 삼각뿔의 각은?

(4) 아래 그림의 정육면체에서 변$ AB $를 $ A $가 고정된 상태에서 평면 $ ABCD $를 따라 기울여 아래의 오른쪽 그림과 같이 평행육면체를 만들고자 한다. $ A $에서 평행육면체를 바라본 각이 $ \frac {\pi } {6} $가 되었을 때, $ AB $와 $ CD $가 이루는 각은?

 

 

[2008 서울대 정시 논술]

[문제7] $ ( 1+x) ^ { \frac {1} {4} } $의 근사식을 찾아보려고 한다.

(1) 평균값의 정리를 이용하여 $ |x| \leq \frac {1} {2} $일 때 부등식 $ | ( 1+x) ^ { \frac {1} {4} } -1| \leq \frac {|x|} {2} $가 성립함을 설명하여라.

(2) $ |x| \leq \frac {1} {2} $일 때 부등식 $ \left | ( 1+x) ^ { \frac {1} {4} } - \left ( 1+ \frac {1} {4} x \right ) \right | \leq \frac {3} {4} x ^ {2} $이 성립함을 설명하여라.

 

 

[문제8] $ x,~y,~z $에 관한 2차 다항식이란, $ \sum\limits _ {0 \leq r+s+t \leq 2} ^ {} a _ {r,s,t} x ^ {r} y ^ {s} z ^ {t} $의 꼴을 가지며($ a _ {r,s,t} $는 실수), $ r+s+t=2 $인 어떤 음이 아닌 정수들 $ r,s,t $에 대하여, $ a _ {r,s,t} \neq 0 $임을 뜻한다. 예로서, $ xy-z $, $ 1+x+y+z+xy+yz $등은 2차 다항식이나 $ 1+x+y+xy+x ^ {2} z $는 2차 다항식이 아니다.

(1) $ x $에 관한 $ n $차 다항식 $ P ( x) $와 $ Q ( x) $에 대하여 $$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{P(x)-Q(x)}{x^n}=0$$ 일 때, $ P ( x)=Q ( x) $임을 증명하시오.

 

(2) $$ P ( x,~y)=a _ {0} +a _ {1} x+a _ {2} y+a _ {3} x ^ {2} +a _ {4} xy\\ Q ( x,~y)=b _ {0} +b _ {1} x+b _ {2} y+b _ {3} x ^ {2} +b _ {4} xy $$

에 대하여 $ \lim\limits _ { ( x,~y) \rightarrow ( 0,~0)} { \frac {P ( x,~y)-Q ( x,~y)} {x ^ {2} +y ^ {2} } =0} $일 때, $ P ( x,y)=Q ( x,y) $임을 증명하시오. (참고, $ ( x,~y) \rightarrow ( 0,~0) $은 평면 위의 임의의 곡선 위에서 $ ( 0,~0) $으로 접근할 때, 그 극한값이 일정할 때 정의될 수 있다.)

 

(3) $ n $차 다항식 $ P ( x _ {1} ,~x _ {2} ,~x _ {3} ,~ \cdots ,~x _ {n} ) $과 $ Q ( x _ {1} ,~x _ {2} ,~x _ {3} ,~ \cdots ,~x _ {n} ) $에 대하여 서로 같을 조건을 추론하시오.

 

(4) 일차식 $ P ( x,~y) $와 $ Q ( x,~y) $에 대하여 $ P ( x,~y)-Q ( x,~y)=0 $을 만족하는 근 $ 3 $개가 서로 같은 직선 상에 있지 않으면 $ P ( x,~y)=Q ( x,~y) $임을 보이시오.

 

(5) 일차식 $ P ( x,~y) $와 $ Q ( x,~y) $에 대하여 $ P ( x,~y)-Q ( x,~y)=0 $을 만족하는 근 $ 4 $개가 서로 같은 직선 위에 있지 않으면 $ P ( x,~y)=Q ( x,~y) $이라 할 수 있는가? 맞는다면 증명하고 틀리면 반례를 보이시오.