[연세대] 1995학년도 연세대 본고사문제 [더플러스수학]

https://tv.kakao.com/v/402653242

[연세대 본고사] 다음 물음에 답하여라.

(1) 정의역이 $ ( 0,~ \infty ) $인 함수 $ f ( x) $가 $ f ( x ^ {2} )= \frac {f ( x)} {x} $를 만족시킨다. 모든 자연수 $ n $에 대하여 $$ f ( x)= \frac {f ( x ^ {2 ^ {-n} } )} {x ^ {1-2 ^ {-n} } } $$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

(2) 위의 (가)을 이용하여 정의역 $ ( 0,~ \infty ) $에서 연속인 함수 $ f ( x) $로서 $ f ( 1)=1 $와 $ \int _ {1} ^ {x ^ {2} } {f ( t)dt} = \int _ {x ^ {2} } ^ {x ^ {4} } {f ( t)dt} $을 만족시키는 함수 $ f ( x) $를 구하여라.

 

 

 

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(1) 해설참조 (2) $ f ( x)= \frac {1} {x} $

(1) (ⅰ) $ f ( x ^ {2} )= \frac {f ( x)} {x} $의 $ x $에 $ x ^ { \frac {1} {2} } $을 대입하면

$$ f ( x)= \frac {f ( x ^ { \frac {1} {2} } )} {x ^ { \frac {1} {2} } } ~ \cdots ( i) $$

$ \therefore f ( x)= \frac {f ( x ^ {2 ^ {-1} } )} {x ^ {1-2 ^ {-1} } } $이므로 $ n=1 $일 때는 성립한다.

(ⅱ) $ n=k $일 때 $ f ( x)= \frac {f ( x ^ {2-n} )} {x ^ {1-2 ^ {-n} } } $가 성립한다고 하자.

$ x $에 $ x ^ { \frac {1} {2} } $을 대입하면 $ f ( x ^ {2 ^ {-1} } )= \frac {f \left ( ( x ^ {2 ^ {-1} } ) ^ {2 ^ {-k} } \right )} {\left ( x ^ {2 ^ {-1} } \right ) ^ {1-2 ^ {-k} } } $

$$ \therefore f ( x ^ { \frac {1} {2} } )= \frac {f ( x ^ {2- ( k+1)} )} {x ^ {2 ^ {-1} -2 ^ {- ( k+1)} } } $$

$ ( i) $에서 $ f ( x ^ { \frac {1} {2} } )=x ^ { \frac {1} {2} } f ( x) $이므로 $$ x ^ { \frac {1} {2} } f ( x)= \frac {f ( x ^ {2- ( k+1)} )} {x ^ { \frac {1} {2} -2 ^ {- ( k+1)} } } $$

$$ \therefore f ( x)= \frac {f ( x ^ {2- ( k+1)} )} {x ^ { \frac {1} {2} -2 ^ {- ( k+1)} + \frac {1} {2} } } = \frac {f ( x ^ {2- ( k+1)} )} {x ^ {1-2 ^ {- ( k+1)} } } $$

즉 $ n=k+1 $일 때도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수에 대하여 $$ f ( x)= \frac {f ( x ^ {2-n} )} {x ^ {1-2 ^ {-n} } } $$

(2) $ \int _ {1} ^ {x ^ {2} } {f ( t)} dt= \int _ {x ^ {2} } ^ {x ^ {4} } {f ( t)} dt $에서  $ \frac {d} {dx} \int _ {1} ^ {x ^ {2} } {f ( t)} dt= \frac {d} {dx} \int _ {x ^ {2} } ^ {x ^ {4} } {f ( t)} dt $이므로

$$ 2xf ( x ^ {2} )=4x ^ {3} f ( x ^ {4} )-2xf ( x ^ {2} ) $$

$$ \therefore f ( x ^ {4} )= \frac {f ( x ^ {2} )} {x ^ {2} } ~ \cdots ( i) $$

$ ( i) $의 $ x $에 $ x ^ { \frac {1} {2} } $을 대입하면 (1)의 조건을 만족하므로

모든 자연수 $ x $에 대하여 $ f ( x)= \frac {f ( x ^ {2-n} )} {x ^ {1-2 ^ {-n} } } $

$$ \therefore f ( x)= \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {f ( x)= \frac {f ( x ^ {2-n} )} {x ^ {1-2 ^ {-n} } } = \frac {f ( 1)} {x} } = \frac {1} {x} $$