[더플러스수학] 2012학년도 성균관대 수리논술

2012학년도 성균관대 수리논술

다음 <제시문 2-1>을 읽고 [문제 2-i]과 [문제 2-ii]에 대해 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문 2-1> 음이 아닌 정수 $n$에 대해 수열 $\left \{\theta _ {n} \right \}$과 $\left \{ r _ {n} \right \}$을 아래와 같이 정의하자. $\theta _ {0} =0$,  $\theta _ {n} =1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {n}$  ($n \geq 1$) $r _ {0} =1$,  $r _ {n} =r _ {n-1} \cos \left ( \frac {1} {n} \right )$ ($n \geq 1$) 이 두 개의 수열을 이용하였을 때, $xy-$좌표평면 위의 점 $z _ {n}$이 $( r _ {n} \cos \theta _ {n} ,~r _ {n} \sin \theta _ {n} )$의 좌표를 가진다고 하자.

 

[문제 2-i] 모든 실수 $x$에 대해 다음의 부등식이 성립함을 증명하시오.

$\cos ^ {2} x-1+x ^ {2} \geq 0$

[문제 2-ii] 모든 음이 아닌 정수 $n$에 대해 <제시문 2-1>에서 주어진 점 $z _ {n}$이 아래와 같이 정의된 영역 $A$에 포함되어 있음을 [문제 2-i]을 이용하여 논하시오.

$A= \left\{ ( x,~y) \left | \frac {1} {8} \leq x ^ {2} +y ^ {2} \leq 1 \right\} \right .$