[더플러스수학] 2012학년도 성균관대 수리논술

2012학년도 성균관대 수리논술

다음 <제시문 2-1>을 읽고 [문제 2-i]과 [문제 2-ii]에 대해 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

<제시문 2-1> 음이 아닌 정수 $ n $에 대해 수열 $ \left \{\theta _ {n} \right \} $과 $ \left \{ r _ {n} \right \} $을 아래와 같이 정의하자. $ \theta _ {0} =0 $,  $ \theta _ {n} =1+ \frac {1} {2} + \frac {1} {3} + \cdots + \frac {1} {n} $  ($ n \geq 1 $) $ r _ {0} =1 $,  $ r _ {n} =r _ {n-1} \cos \left ( \frac {1} {n} \right ) $ ($ n \geq 1 $) 이 두 개의 수열을 이용하였을 때, $ xy- $좌표평면 위의 점 $ z _ {n} $이 $ ( r _ {n} \cos \theta _ {n} ,~r _ {n} \sin \theta _ {n} ) $의 좌표를 가진다고 하자.

 

[문제 2-i] 모든 실수 $ x $에 대해 다음의 부등식이 성립함을 증명하시오.

$ \cos ^ {2} x-1+x ^ {2} \geq 0 $

[문제 2-ii] 모든 음이 아닌 정수 $ n $에 대해 <제시문 2-1>에서 주어진 점 $ z _ {n} $이 아래와 같이 정의된 영역 $ A $에 포함되어 있음을 [문제 2-i]을 이용하여 논하시오.

$ A= \left\{ ( x,~y) \left | \frac {1} {8} \leq x ^ {2} +y ^ {2} \leq 1 \right\} \right . $