[더플러스수학] 케일리-해밀턴 정리의 증명 - 고윳값, 고유벡터 이용

과학고 학생들과 고급수학1 수업을 하는 과정에서 고윳값, 고유벡터, 특성 다항식, 케일리 해밀턴 정리를 만나게 되었다.

이 내용에 대하여 가볍게 정리하고, \(\displaystyle 2\)차 정사각형렬 \(\displaystyle A\)가 \(\displaystyle 2\)개의 서로 다른 고윳값과 고유벡터를 가질 때, 케일리 해밀턴 정리가 성립함을 증명해 보겠다. 

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정의 고윳값, 고유벡터, 특성다항식, 특성방정식

\(\displaystyle 2\)차 정사각형렬 \(\displaystyle A\)와 실수 \(\displaystyle \lambda\)에 대하여

\(\displaystyle A \vec x =\lambda \vec x \)

를 만족하는 \(\displaystyle  \vec 0\)이 아닌 벡터 \(\displaystyle \vec x \)가 존재할 때, \(\displaystyle \lambda \)를 행렬 \(\displaystyle A\)의 고윳값이라 하고, \(\displaystyle \vec x \)를 행렬 \(\displaystyle A\)의 고유벡터라고 한다.

이차 정사각형렬 \(\displaystyle A \)과 이차의 단위행렬 \(\displaystyle I \)에 대해

\(\displaystyle A \vec x =\lambda \vec x \)    \(\displaystyle (A-\lambda I)\vec x = \vec 0 \)         (1)

를 만족하는 \(\displaystyle  \vec 0\)이 아닌 벡터 \(\displaystyle \vec x \)가 존재하기 위해서는

\(\displaystyle \det(A-\lambda I)=0\)

이어야 한다. 왜냐하면 \(\displaystyle 0\)이 아니면 \(\displaystyle A-\lambda I\)가 역행렬이 존재하기 때문에 (1)에 \(\displaystyle A-\lambda I\)의 역행렬를 곱하면 \(\displaystyle \vec x = \vec 0\)이 되므로 \(\displaystyle  \vec 0\)이 아닌 벡터 \(\displaystyle \vec x \)가 존재하지 않는다.

이 때, \(\displaystyle 2\)차의 다항식 \(\displaystyle \det(A-\lambda I) \)를 \(\displaystyle A\)의 특성다항식이라 한다. 또, \(\displaystyle \det(A-\lambda I)=0\)을 특성방정식이라고 한다.

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이제 \(\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&3\\3&1\end{bmatrix} \)의 특성다항식을 구하고 이것을 이용하여 고유값과 고유벡터를 구해보자.

\(\displaystyle A \vec x =\lambda \vec x \)          \(\displaystyle (A-\lambda I)\vec x = \vec 0 \)  

\(\displaystyle  \begin{bmatrix} 1-\lambda&3\\3&1-\lambda \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix} \)        (2)

에서 \(\displaystyle \det(A-\lambda I)=0\)이므로

\(\displaystyle \left|\begin{matrix} 1-\lambda&3\\3&1-\lambda \end{matrix}\right|=0\)

따라서 

\(\displaystyle (1-\lambda)(1-\lambda)-9=0\)   \(\displaystyle \lambda^2 -2\lambda -8=0\)

\(\displaystyle \lambda =-2\) 또는 \(\displaystyle \lambda =4\) 

이 때,  다항식 \(\displaystyle \lambda^2 -2\lambda -8\)이 특성다항식이다. 또, 고윳값은 \(\displaystyle  -2,~4\)이다.

첫째, \(\displaystyle \lambda =-2\) 일 때, 

(2)에 대입하여 정리하면 \(\displaystyle x+y=0 \)

고유벡터는

\(\displaystyle   t \begin{bmatrix} 1 \\-1 \end{bmatrix} \)  (\(\displaystyle t\)는 \(\displaystyle 0\)이 아닌 실수) 

둘째, \(\displaystyle \lambda =4\) 일 때,

(2)에 대입하여 정리하면 \(\displaystyle -x+y=0 \)

고유벡터는

\(\displaystyle   s \begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix} \)  (\(\displaystyle s\)는 \(\displaystyle 0\)이 아닌 실수) 

 

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케일리 해밀턴 정리

행렬 \(\displaystyle A\)가 \(\displaystyle n\)차 정사각행렬일 때, 특성다항식은

\(\displaystyle p(\lambda)= \lambda ^n + c_{n-1} \lambda^{n-1}+c_{n-2} \lambda^{n-2}+\cdots+c_{2} \lambda^{2}+ c_{1} \lambda^{1}+c_0\)

와 같은 꼴의 \(\displaystyle \lambda\)에 대한 \(\displaystyle n\)차 다항식이다.

이 때, 

\(\displaystyle p(A)= A ^n + c_{n-1} A^{n-1}+c_{n-2} A^{n-2}+\cdots+c_{2} A^{2}+ c_{1} \lambda^{1}+c_0 = O\)

이 성립한다.  여기서 \(\displaystyle O\)는 \(\displaystyle n\)차 정사각행렬이다.

이를 케일리-해밀턴 정리라고 한다.

참고 \(\displaystyle 2\)차 정사각행렬 \(\displaystyle A =   \begin{bmatrix} a&b\\c&d  \end{bmatrix}  \)에 대하여

\(\displaystyle A ^2 -(a+d)A+(ad-bc)I=O\)

이 성립한다.

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위의 예에서 행렬 \(\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&3\\3&1\end{bmatrix} \)는

\(\displaystyle A ^2 -2 A-8I=O\)

이 성립한다.

케일리 해밀턴 정리가 성립함을 보이는 것은 생각보다 많이 어렵다. 여기서는 \(\displaystyle 2 \)의 정사각행렬 \(\displaystyle A \)가 서로 다른 두 고유벡터를 갖는다는 조건에서 증명해보겠다. 일반적으로 하지 않고 위의 행렬 \(\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&3\\3&1\end{bmatrix} \)를 가지고 증명하자.

행렬 \(\displaystyle A \)는 고윳값, 고유벡터에 대해 다음이 성립한다.

\(\displaystyle  A   \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} =-2\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} \), \(\displaystyle  A   \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} =4\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} \)

또, 특성방정식은 \(\displaystyle \lambda^2 -2\lambda -8=0\)이다. 여기서 \(\displaystyle \lambda_1 =-2,~\lambda_2 =4\)라 하고 이것은 특성방정식의 두 근이다. 또, 각각에 대응하는 고유벡터를

\(\displaystyle  v_1=   \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} ,~v_2 \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}  \)

두자. 그러면 

\(\displaystyle  A   \vec v_1 =\lambda_1 \vec v_1 \), \(\displaystyle  A   \vec v_2 = \lambda_2 \vec v_2 \)

특성 방정식의 \(\displaystyle \lambda \) 에 특성방정식의 근 \(\displaystyle \lambda_1 \)을 대입하고 양변에 고유벡터 \(\displaystyle v_1\)을 곱하면

\(\displaystyle (\lambda_1^2 -2\lambda_1 -8)v_1 = 0 \vec v =\vec 0\)     (4)

여기서 \(\displaystyle \lambda_1 \vec v_1 = A \vec v_1 \)이다. 또,

\(\displaystyle \lambda_1^2 \vec v_1 =  \lambda_1 (\lambda_1  \vec v_1 ) =\lambda_1 ( A \vec v_1 )= A (\lambda_1 \vec{v_1})= A(A \vec v_1 ) = A^2 \vec v_1 \)

이고  \(\displaystyle 1 \vec v_1 = I \vec v_1 \)이므로 (4)는

\(\displaystyle (\lambda_1^2 -2\lambda_1 -8)v_1 =( A^2 -2A-8I)\vec v_1 =\vec 0\) 

즉

\(\displaystyle  ( A^2 -2A-8I) \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix} \)   (5)

고윳값 \(\displaystyle \lambda_2 \)과 고유벡터 \(\displaystyle v_2\)에 대하여도 똑같이 성립하므로

\(\displaystyle  ( A^2 -2A-8I) \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix} \)  (6)

이다.  (5), (6)에서 

\(\displaystyle  ( A^2 -2A-8I) \begin{bmatrix} 1&1\\1&-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0\\0&0 \end{bmatrix} \)

이다. 여기서 고유벡터가 서로 평행하지 않고 \(\displaystyle \vec 0 \)이 아니므로 행렬 \(\displaystyle \begin{bmatrix} 1&1\\1&-1 \end{bmatrix} \)은 역행렬이 존재하므로 양변에 오른족에 역행렬을 곱하면

\(\displaystyle   A^2 -2A-8I    = \begin{bmatrix} 0&0\\0&0 \end{bmatrix}=O \)

\(\displaystyle 2\)차의 행렬 \(\displaystyle A\)가 일차독립인 고유벡터 두 개 가지면 -케일리 해밀턴 정리가 성립한다.  이것을 일반화하여 \(\displaystyle n\)차의 행렬 \(\displaystyle A\)가 서로 일차독립인 고유벡터를 \(\displaystyle n\)개 가지면 위의 과정을 거쳐 케일리 해밀턴 정리가 성립함을 보일 수 있다. 그런데 이 경우가 아닌 경우는 많이 복잡하고 여렵다.

이것은 나중 기회에....