[더플러스수학] 케일리-해밀턴 정리의 증명 - 고윳값, 고유벡터 이용

과학고 학생들과 고급수학1 수업을 하는 과정에서 고윳값, 고유벡터, 특성 다항식, 케일리 해밀턴 정리를 만나게 되었다.
이 내용에 대하여 가볍게 정리하고, $\displaystyle 2$차 정사각형렬 $\displaystyle A$가 $\displaystyle 2$개의 서로 다른 고윳값과 고유벡터를 가질 때, 케일리 해밀턴 정리가 성립함을 증명해 보겠다. 

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정의 고윳값, 고유벡터, 특성다항식, 특성방정식

$\displaystyle 2$차 정사각형렬 $\displaystyle A$와 실수 $\displaystyle \lambda$에 대하여

$\displaystyle A \vec x =\lambda \vec x$

를 만족하는 $\displaystyle  \vec 0$이 아닌 벡터 $\displaystyle \vec x$가 존재할 때, $\displaystyle \lambda$를 행렬 $\displaystyle A$의 고윳값이라 하고, $\displaystyle \vec x$를 행렬 $\displaystyle A$의 고유벡터라고 한다.
이차 정사각형렬 $\displaystyle A$과 이차의 단위행렬 $\displaystyle I$에 대해

$\displaystyle A \vec x =\lambda \vec x$    $\displaystyle (A-\lambda I)\vec x = \vec 0$         (1)

를 만족하는 $\displaystyle  \vec 0$이 아닌 벡터 $\displaystyle \vec x$가 존재하기 위해서는

$\displaystyle \det(A-\lambda I)=0$

이어야 한다. 왜냐하면 $\displaystyle 0$이 아니면 $\displaystyle A-\lambda I$가 역행렬이 존재하기 때문에 (1)에 $\displaystyle A-\lambda I$의 역행렬를 곱하면 $\displaystyle \vec x = \vec 0$이 되므로 $\displaystyle  \vec 0$이 아닌 벡터 $\displaystyle \vec x$가 존재하지 않는다.
이 때, $\displaystyle 2$차의 다항식 $\displaystyle \det(A-\lambda I)$를 $\displaystyle A$의 특성다항식이라 한다. 또, $\displaystyle \det(A-\lambda I)=0$을 특성방정식이라고 한다.

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이제 $\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&3\\3&1\end{bmatrix}$의 특성다항식을 구하고 이것을 이용하여 고유값과 고유벡터를 구해보자.

$\displaystyle A \vec x =\lambda \vec x$          $\displaystyle (A-\lambda I)\vec x = \vec 0$  
$\displaystyle  \begin{bmatrix} 1-\lambda&3\\3&1-\lambda \end{bmatrix}  \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$        (2)

에서 $\displaystyle \det(A-\lambda I)=0$이므로

$\displaystyle \left|\begin{matrix} 1-\lambda&3\\3&1-\lambda \end{matrix}\right|=0$

따라서 

$\displaystyle (1-\lambda)(1-\lambda)-9=0$   $\displaystyle \lambda^2 -2\lambda -8=0$
$\displaystyle \lambda =-2$ 또는 $\displaystyle \lambda =4$ 

이 때,  다항식 $\displaystyle \lambda^2 -2\lambda -8$이 특성다항식이다. 또, 고윳값은 $\displaystyle  -2,~4$이다.
첫째, $\displaystyle \lambda =-2$ 일 때, 
(2)에 대입하여 정리하면 $\displaystyle x+y=0$
고유벡터는

$\displaystyle   t \begin{bmatrix} 1 \\-1 \end{bmatrix}$  ($\displaystyle t$는 $\displaystyle 0$이 아닌 실수) 

둘째, $\displaystyle \lambda =4$ 일 때,
(2)에 대입하여 정리하면 $\displaystyle -x+y=0$
고유벡터는

$\displaystyle   s \begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix}$  ($\displaystyle s$는 $\displaystyle 0$이 아닌 실수) 
 

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케일리 해밀턴 정리

행렬 $\displaystyle A$가 $\displaystyle n$차 정사각행렬일 때, 특성다항식은

$\displaystyle p(\lambda)= \lambda ^n + c_{n-1} \lambda^{n-1}+c_{n-2} \lambda^{n-2}+\cdots+c_{2} \lambda^{2}+ c_{1} \lambda^{1}+c_0$

와 같은 꼴의 $\displaystyle \lambda$에 대한 $\displaystyle n$차 다항식이다.
이 때, 

$\displaystyle p(A)= A ^n + c_{n-1} A^{n-1}+c_{n-2} A^{n-2}+\cdots+c_{2} A^{2}+ c_{1} \lambda^{1}+c_0 = O$

이 성립한다.  여기서 $\displaystyle O$는 $\displaystyle n$차 정사각행렬이다.
이를 케일리-해밀턴 정리라고 한다.
참고 $\displaystyle 2$차 정사각행렬 $\displaystyle A =   \begin{bmatrix} a&b\\c&d  \end{bmatrix}$에 대하여

$\displaystyle A ^2 -(a+d)A+(ad-bc)I=O$

이 성립한다.

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위의 예에서 행렬 $\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&3\\3&1\end{bmatrix}$는

$\displaystyle A ^2 -2 A-8I=O$

이 성립한다.
케일리 해밀턴 정리가 성립함을 보이는 것은 생각보다 많이 어렵다. 여기서는 $\displaystyle 2$의 정사각행렬 $\displaystyle A$가 서로 다른 두 고유벡터를 갖는다는 조건에서 증명해보겠다. 일반적으로 하지 않고 위의 행렬 $\displaystyle A= \begin{bmatrix} 1&3\\3&1\end{bmatrix}$를 가지고 증명하자.
행렬 $\displaystyle A$는 고윳값, 고유벡터에 대해 다음이 성립한다.

$\displaystyle  A   \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} =-2\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}$, $\displaystyle  A   \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} =4\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}$

또, 특성방정식은 $\displaystyle \lambda^2 -2\lambda -8=0$이다. 여기서 $\displaystyle \lambda_1 =-2,~\lambda_2 =4$라 하고 이것은 특성방정식의 두 근이다. 또, 각각에 대응하는 고유벡터를

$\displaystyle  v_1=   \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} ,~v_2 \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}$

두자. 그러면 

$\displaystyle  A   \vec v_1 =\lambda_1 \vec v_1$, $\displaystyle  A   \vec v_2 = \lambda_2 \vec v_2$

특성 방정식의 $\displaystyle \lambda$ 에 특성방정식의 근 $\displaystyle \lambda_1$을 대입하고 양변에 고유벡터 $\displaystyle v_1$을 곱하면

$\displaystyle (\lambda_1^2 -2\lambda_1 -8)v_1 = 0 \vec v =\vec 0$     (4)

여기서 $\displaystyle \lambda_1 \vec v_1 = A \vec v_1$이다. 또,

$\displaystyle \lambda_1^2 \vec v_1 =  \lambda_1 (\lambda_1  \vec v_1 ) =\lambda_1 ( A \vec v_1 )= A (\lambda_1 \vec{v_1})= A(A \vec v_1 ) = A^2 \vec v_1$

이고  $\displaystyle 1 \vec v_1 = I \vec v_1$이므로 (4)는

$\displaystyle (\lambda_1^2 -2\lambda_1 -8)v_1 =( A^2 -2A-8I)\vec v_1 =\vec 0$ 

즉

$\displaystyle  ( A^2 -2A-8I) \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$   (5)

고윳값 $\displaystyle \lambda_2$과 고유벡터 $\displaystyle v_2$에 대하여도 똑같이 성립하므로

$\displaystyle  ( A^2 -2A-8I) \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}$  (6)

이다.  (5), (6)에서 

$\displaystyle  ( A^2 -2A-8I) \begin{bmatrix} 1&1\\1&-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0\\0&0 \end{bmatrix}$

이다. 여기서 고유벡터가 서로 평행하지 않고 $\displaystyle \vec 0$이 아니므로 행렬 $\displaystyle \begin{bmatrix} 1&1\\1&-1 \end{bmatrix}$은 역행렬이 존재하므로 양변에 오른족에 역행렬을 곱하면

$\displaystyle   A^2 -2A-8I    = \begin{bmatrix} 0&0\\0&0 \end{bmatrix}=O$

$\displaystyle 2$차의 행렬 $\displaystyle A$가 일차독립인 고유벡터 두 개 가지면 -케일리 해밀턴 정리가 성립한다.  이것을 일반화하여 $\displaystyle n$차의 행렬 $\displaystyle A$가 서로 일차독립인 고유벡터를 $\displaystyle n$개 가지면 위의 과정을 거쳐 케일리 해밀턴 정리가 성립함을 보일 수 있다. 그런데 이 경우가 아닌 경우는 많이 복잡하고 여렵다.

이것은 나중 기회에....


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