[더플러스수학] 3차함수의 접선의 갯수 [옥동수학학원]

3차함수의 접선이 개수

삼각함수 \(\displaystyle f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d~( a > 0)\)와 변곡점에서의 접선을 기준으로 평면 위의 점에서 삼차함수에 그을 수 있는 접선의 개수는 아래의 그림과 같다.

 

이것을 증명하기 위해 삼차함수의 변곡점을 \(\displaystyle (\alpha,~\beta )\) 라 할 때,

\(\displaystyle f''(x)=6a(x-\alpha)\)

라 두면 적분을 통해

\(\displaystyle f'(x)=3a(x-\alpha)^2 + b\)

\(\displaystyle f(x)=a(x-\alpha)^3 + b(x-\alpha)+ \beta\)

로 표현할 수 있다. 여기서 \(\displaystyle f(x)\)를 \(\displaystyle x\)축으로 \(\displaystyle -\alpha \), \(\displaystyle y\)축으로 \(\displaystyle -\beta\)만큼 평행이동한 함수를 \(\displaystyle g(x)\)라 하면 \(\displaystyle g(x)\)는

\(\displaystyle g(x)=ax^3 +bx \)

이다. \(\displaystyle g(x)\)의 변곡점의 좌표는 \(\displaystyle (0,~0)\)이고, 변곡점에서의 접선의 방정식 \(\displaystyle l(x)\)는 \(\displaystyle l(x)=bx \)이다.

이제 \(\displaystyle (p,~q)\)에서 곡선 \(\displaystyle g(x)\)에 그은 접점을 \(\displaystyle (t,~g(t))\)라 하면

\(\displaystyle \frac{g(t)-q}{t-p}= g'(t)\)

\(\displaystyle g(t)-q= g'(t)(t-p)\)

\(\displaystyle g(t)- g'(t)(t-p)-q=0\)

이다. 여기서 \(\displaystyle (p,~q)\)의 위치에 따라 위의 방정식의 근 \(\displaystyle t\)의 개수가 결정되는데 그 개수가 접선의 개수이다. 

\(\displaystyle h(t)= g(t)- g'(t)(t-p)-q\)라 두고 이 그래프의 개형을 그려보자.

먼저 미분하면 \(\displaystyle h'(t)=g'(t)- g''(t)(t-p)-g'(t)=-g''(t)(t-p)=0\)에서 

\(\displaystyle g''(t)=0\) 또는 \(\displaystyle  t=p\)

\(\displaystyle g(t)\)의 변곡점의 좌표는 \(\displaystyle (0,~0)\)이므로 \(\displaystyle h'(t)=0\)의 근은

\(\displaystyle t=0\) 또는 \(\displaystyle t=p\)

또, 여기서 \(\displaystyle g(t) \)의 최고차항의 계수 \(\displaystyle a\)는 양수이다.

첫째 \(\displaystyle p>0\)일 때, \(\displaystyle y=h(t) \)의 증감표를 그래프로 그리면 아래 그림과 같다. 

변곡점 \(\displaystyle (0, ~0) \)에서의 접선이 방정식 \(\displaystyle l(x)=g'(0)x \)이다. 따라서 이 때 함숫값을 구하면

\(\displaystyle \begin{align} h(0)&=g(0)-g'(0)((0-p)-q\\&=p g'(0)-q \\&=l(p)-q \end{align}\)

\(\displaystyle \begin{align} h(p)&=g(p)-g'(p)((p-p)-q\\&=g(p)-q \end{align} \)

이다. 

 

위의 그림에서 보듯이 점 \(\displaystyle (p,~q)\)가 파란색 범위에 있을 때, 즉 \(\displaystyle q> g(p)\)일 때

\(\displaystyle q>l(p) \)이므로 \(\displaystyle  h(0) <0,~h(p)<0\)이므로 \(\displaystyle y=h(x)\)의 극댓값과 극솟값이 모두 음이므로 \(\displaystyle h(x)=0\)의 근의 갯수는 오직 하나이다. 

따라서 접점의 개수가 하나이므로 접선을 오직 하나 그을 수 있다.

점 \(\displaystyle (p,~q)\)이 연두색의 위치에 있을 때, 즉 \(\displaystyle l(p)<q< g(p)\)일 때는 극댓값이 양, 극솟값이 음이므로 \(\displaystyle h(x)=0\)의 근의 갯수는 서로 다른 세 개다.

따라서 접점의 개수가 세개이므로 접선을 세 개 그을 수 있다.

점 \(\displaystyle (p,~q)\)이 빨간색의 위치에 있을 때, 즉 \(\displaystyle q< l(p),~q< g(p)\)일 때는 극댓값과 극솟값이 모두 양이므로 \(\displaystyle h(x)=0\)의 근의 갯수는 오직 하나이다.

따라서 접점의 개수가 하나이므로 접선을 오직 하나 그을 수 있다.

점 \(\displaystyle (p,~q)\)가 \(\displaystyle y=g(x)\),~점 \(\displaystyle y=l(x)\)에 있을 때는 극댓값 또는 극솟값이 점 \(\displaystyle 0\)이므로 \(\displaystyle h(x)=0\)의 근은 중근 하나와 실근 하나를 갖는다.

따라서 접점의 개수가 두개므로 접선을 두 개 그을 수 있다.

둘째, \(\displaystyle p=0\)일 때, \(\displaystyle h'(t)=g'(t)- g''(t)t-g'(t)=-tg''(t) \leq 0 \)이므로 \(\displaystyle h(t)\)는 감소함수이므로 \(\displaystyle h(t)=0\)의 개수는 오직하나이다. 따라서 접선의 개수는 오직 하나이다.

 

세째, \(\displaystyle p<0\)일 때, 삼차함수는 변곡점에 대칭이고 변곡점이 \(\displaystyle (0,~0)\)이므로 첫번째를 원점에 대칭하면 된다. 

이상에 변곡점이 원점일 때, 평면위의 점에서 곡선에 그은 접선의 개수를 구했다. 이것을 \(\displaystyle x,~y\)축으로 평행이동하면 맨 위의 그래프에서 보듯이 삼차함수에 그을 수 있는 접선의 개수를 구할 수 있다.

울산과고전문 더플러스수학학원 

https://naver.me/xb76xao4

 

과학고 내신대비와 대학입시를 위해서는 다음의 글을 참조하세요. 다양한 글이 있습니다.

http://mathhowtosolveit.com/%EA%B3%BC%ED%95%99%EA%B3%A0-%ED%95%99%EB%85%84%EB%B3%84-%EB%82%B4%EC%8B%A0%EB%8C%80%EB%B9%84-%EC%98%88%EC%83%81%EB%AC%B8%EC%A0%9C

더플러스수학 https://www.youtube.com/@THEPLUSMATH/channels

더플러스수학 블로그 https://plusthemath.tistory.com/

더플러스수학 네이버블로그 https://m.blog.naver.com/plusthemath