[더플러스수학] 3차함수의 접선의 갯수 [옥동수학학원]

3차함수의 접선이 개수

삼각함수 $\displaystyle f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d~( a > 0)$와 변곡점에서의 접선을 기준으로 평면 위의 점에서 삼차함수에 그을 수 있는 접선의 개수는 아래의 그림과 같다.
 

이것을 증명하기 위해 삼차함수의 변곡점을 $\displaystyle (\alpha,~\beta )$ 라 할 때,

$\displaystyle f''(x)=6a(x-\alpha)$

라 두면 적분을 통해

$\displaystyle f'(x)=3a(x-\alpha)^2 + b$
$\displaystyle f(x)=a(x-\alpha)^3 + b(x-\alpha)+ \beta$

로 표현할 수 있다. 여기서 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle x$축으로 $\displaystyle -\alpha$, $\displaystyle y$축으로 $\displaystyle -\beta$만큼 평행이동한 함수를 $\displaystyle g(x)$라 하면 $\displaystyle g(x)$는

$\displaystyle g(x)=ax^3 +bx$

이다. $\displaystyle g(x)$의 변곡점의 좌표는 $\displaystyle (0,~0)$이고, 변곡점에서의 접선의 방정식 $\displaystyle l(x)$는 $\displaystyle l(x)=bx$이다.
이제 $\displaystyle (p,~q)$에서 곡선 $\displaystyle g(x)$에 그은 접점을 $\displaystyle (t,~g(t))$라 하면

$\displaystyle \frac{g(t)-q}{t-p}= g'(t)$
$\displaystyle g(t)-q= g'(t)(t-p)$
$\displaystyle g(t)- g'(t)(t-p)-q=0$

이다. 여기서 $\displaystyle (p,~q)$의 위치에 따라 위의 방정식의 근 $\displaystyle t$의 개수가 결정되는데 그 개수가 접선의 개수이다. 
$\displaystyle h(t)= g(t)- g'(t)(t-p)-q$라 두고 이 그래프의 개형을 그려보자.
먼저 미분하면 $\displaystyle h'(t)=g'(t)- g''(t)(t-p)-g'(t)=-g''(t)(t-p)=0$에서 

$\displaystyle g''(t)=0$ 또는 $\displaystyle  t=p$

$\displaystyle g(t)$의 변곡점의 좌표는 $\displaystyle (0,~0)$이므로 $\displaystyle h'(t)=0$의 근은

$\displaystyle t=0$ 또는 $\displaystyle t=p$

또, 여기서 $\displaystyle g(t)$의 최고차항의 계수 $\displaystyle a$는 양수이다.
첫째 $\displaystyle p>0$일 때, $\displaystyle y=h(t)$의 증감표를 그래프로 그리면 아래 그림과 같다. 

변곡점 $\displaystyle (0, ~0)$에서의 접선이 방정식 $\displaystyle l(x)=g'(0)x$이다. 따라서 이 때 함숫값을 구하면

$\displaystyle \begin{align} h(0)&=g(0)-g'(0)((0-p)-q\\&=p g'(0)-q \\&=l(p)-q \end{align}$
$\displaystyle \begin{align} h(p)&=g(p)-g'(p)((p-p)-q\\&=g(p)-q \end{align}$

이다. 

 
위의 그림에서 보듯이 점 $\displaystyle (p,~q)$가 파란색 범위에 있을 때, 즉 $\displaystyle q> g(p)$일 때
$\displaystyle q>l(p)$이므로 $\displaystyle  h(0) <0,~h(p)<0$이므로 $\displaystyle y=h(x)$의 극댓값과 극솟값이 모두 음이므로 $\displaystyle h(x)=0$의 근의 갯수는 오직 하나이다. 
따라서 접점의 개수가 하나이므로 접선을 오직 하나 그을 수 있다.
점 $\displaystyle (p,~q)$이 연두색의 위치에 있을 때, 즉 $\displaystyle l(p)<q< g(p)$일 때는 극댓값이 양, 극솟값이 음이므로 $\displaystyle h(x)=0$의 근의 갯수는 서로 다른 세 개다.
따라서 접점의 개수가 세개이므로 접선을 세 개 그을 수 있다.
점 $\displaystyle (p,~q)$이 빨간색의 위치에 있을 때, 즉 $\displaystyle q< l(p),~q< g(p)$일 때는 극댓값과 극솟값이 모두 양이므로 $\displaystyle h(x)=0$의 근의 갯수는 오직 하나이다.
따라서 접점의 개수가 하나이므로 접선을 오직 하나 그을 수 있다.
점 $\displaystyle (p,~q)$가 $\displaystyle y=g(x)$,~점 $\displaystyle y=l(x)$에 있을 때는 극댓값 또는 극솟값이 점 $\displaystyle 0$이므로 $\displaystyle h(x)=0$의 근은 중근 하나와 실근 하나를 갖는다.
따라서 접점의 개수가 두개므로 접선을 두 개 그을 수 있다.
둘째, $\displaystyle p=0$일 때, $\displaystyle h'(t)=g'(t)- g''(t)t-g'(t)=-tg''(t) \leq 0$이므로 $\displaystyle h(t)$는 감소함수이므로 $\displaystyle h(t)=0$의 개수는 오직하나이다. 따라서 접선의 개수는 오직 하나이다.

 
세째, $\displaystyle p<0$일 때, 삼차함수는 변곡점에 대칭이고 변곡점이 $\displaystyle (0,~0)$이므로 첫번째를 원점에 대칭하면 된다. 

이상에 변곡점이 원점일 때, 평면위의 점에서 곡선에 그은 접선의 개수를 구했다. 이것을 $\displaystyle x,~y$축으로 평행이동하면 맨 위의 그래프에서 보듯이 삼차함수에 그을 수 있는 접선의 개수를 구할 수 있다.
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