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[더플러스수학] 울산과고 고급수학 프린트 1수학과 공부이야기 2021. 9. 9. 17:30
1. 다음 사상 중에서 선형사상인 것을 찾아라.
(1) T : R3⟶R2, T(x1, x2, x3)=(3x1+2x3, x2)
(2) T : R2⟶R2, T(x1, x2)=(|x1|, x2)
(3) T : R2⟶R2, T(x1, x2)=(x1+1, x1+x2)
(4) T : R3[x]⟶R3[x], T(a+bx+cx2)=1+ax+bx2
(정답 및 풀이)
더보기(1) 선형사상이다.
(x1, x2, x3)∈R3, k∈R에 대하여
T(k(x1, x2, x3))=T(kx1, kx2, kx3))=(3kx1+2kx3, kx2)=k(3x1+2x3, x2)=kT(x1, x2, x3)
또, (x1, x2, x3)∈R3, (y1, y2, y3)∈R3에 대하여
T((x1, x2, x3)+(y1, y2, y3))=T(x1+y1, x2+y2, x3+y3)=(3(x1+y1)+2(x3+y3), (x2+y2))=(3x1+2x3, x2)+(3y1+2y3, y2)=T(x1, x2, x3)+T(y1, y2, y3)
(2) 선형사상이 아니다. 반례로
T(1, 3)+T(−3, 2)=(1, 3)+(|−3|, 2)=(4, 5)≠T((1, 3)+(−3, 2))=T(−2, 5)=(|−2|, 5)=(2, 5)
(3) 선형사상이 아니다. 반례로
T(1, 3)+T(2, 5)=(2, 4)+(3, 7)=(5, 11)≠T((1, 3)+(2, 5))=T(3, 8)=(4, 11)
(4) 선형사상이 아니다. 반례로
T(3(2+3x+4x2))=T(6+9x+12x2)=1+6x+9x2≠3T(2+3x+4x2)=3(1+2x+3x2)=3+6x+9x2
2. 체 F에 대하여 다음 사상이 선형사상인지를 판정하여라.
(1) T : Mat2(F)⟶Mat2(F), T([abcd])=[bacd]
(2) T : Mat2(F)⟶Mat2(F), T([abcd])=[1bcd]
(정답 및 풀이)
더보기(1) 선형사상이다.
a, b, c, d∈F, k∈F와 [abcd]∈Mat2(F)에 대하여
T(k[abcd])=T([kakbkckd])=[kbkakckd]=k[bacd]=kT([abcd])
또, 임의의 a1, b1, c1, d1∈F,a2, b2, c2, d2∈F일 때, [a1b1c1d1]∈Mat2(F), [a2b2c2d2]∈Mat2(F)에 대하여
T([a1b1c1d1]+[a2b2c2d2])=T([a1+a2b1+b2c1+c2d1+d2])=[b1+b2a1+a2c1+c2d1+d2]=[b1a1c1d1]+[b2a2c2d2]=T([a1b1c1d1])+T([a2b2c2d2])
(2) 선형사상이 아니다. 반례로
T(3[1234])=T([3×13×23×33×4])=T([36912])=[16912]≠3T([1234])=3[1234]=[36912]
3. 다음과 같이 정의된 선형사상 T에 대하여 T(1, 0)과 T(0, 1)을 구하고 또, T의 행렬을 구하여라. 여기서 k는 실수이다.
(1) T : R2⟶R2, T(x1, x2)=(x1, −x2)
(2) T : R2⟶R2, T(x1, x2)=(−x1, x2)
(3) T : R2⟶R2, T(x1, x2)=(−x1, −x2)
(4) T : R2⟶R2, T(x1, x2)=(kx1, kx2)
(정답 및 풀이)
더보기(1) T(1, 0)=(1, 0), T(0, 1)=(0, −1)이다.
[100−1]
(2) T(1, 0)=(−1, 0), T(0, 1)=(0, 1)이다.
[−1001]
(3) T(1, 0)=(−1, 0), T(0, 1)=(0, −1)이다.
[−100−1]=−I
(4) T(1, 0)=(k, 0), T(0, 1)=(0, k)이다.
[k00k]=kI
4. 다음과 같이 정의된 선형사상 T에 대하여 아래 물음에 답하여라.
T : R4⟶R3, T(x1, x2, x3, x4)=(y1, y2, y3)
{y1=4x1+2x2−x3+x4y2=2x2+x3+x4y3=x1+x4
(1) T(1, 0, 0, 0), T(0, 1, 0, 0), T(0, 0, 1, 0), T(0, 0, 0, 1)을 구하여라.
(2) T(1, 1, 0, 0), T(2, 1, 0, 1), T(1, 1, 1, 1)을 구하여라.
(정답 및 풀이)
더보기(1) T(1, 0, 0, 0)=(4, 0, 1), T(0, 1, 0, 0)=(2, 2, 0), T(0, 0, 1, 0)=(−1, 1, 0), T(0, 0, 0, 1)=(1, 1, 1)
(2)
T(1, 1, 0, 0)=T((1, 0, 0, 0)+(0, 1, 0, 0))=T(1, 0, 0, 0)+T(0, 1, 0, 0)=(4, 0, 1)+(2, 2, 0)=(6, 2, 1),
T(2, 1, 0, 1)=T((2, 0, 0, 0)+(0, 1, 0, 0)+(0, 0, 0, 1))=T(2(1, 0, 0, 0)+(0, 1, 0, 0)+(0, 0, 0, 1))=2T(1, 0, 0, 0)+T(0, 1, 0, 0)+T(0, 0, 0, 1)=2(4, 0, 1)+(2, 2, 0)+(1, 1, 1)=(11, 3, 2),
T(1, 1, 1, 1)=T((1, 0, 0, 0)+(0, 1, 0, 0)+(0, 0, 1, 0)+(0, 0, 0, 1)=T(1, 0, 0, 0)+T(0, 1, 0, 0)+T(0, 0, 1, 0)+T(0, 0, 0, 1)=(4, 0, 1)+(2, 2, 0)+(−1, 1, 0)+(1, 1, 1)=(5, 3, 2)
5. 다음 두 선형변환에 대하여 S∘T와 T∘S를 정의하여라.
T : R2⟶R2, T(x1, x2)=(x1+2x2, −x1+4x2)
S : R2⟶R2, S(x1, x2)=(2x1−x2, x1+3x2)
(정답 및 풀이)
더보기(S∘T)(x1, x2)=S(T(x1, x2))=S(x1+2x2, −x1+4x2)=2(x1+2x2)−(−x1+4x2), (x1+2x2)+3(−x1+4x2)=(3x1+8x2, −2x1+14x2)
(T∘S)(x1, x2)=T(S(x1, x2))=T(2x1−x2, x1+3x2)=(2x1−x2)+2(x1+3x2), −(2x1−x2)+4(x1+3x2)=(4x1+5x2, 2x1+13x2)
6. 체 F 위의 벡터공간 V, W에 대하여 사상 T : V⟶W가 다음 조건을 만족시킬 때, T는 선형사상임을 증명하여라.
T(av+bw)=aT(v)+bT(w) v, w∈V, a, b∈F
(정답 및 풀이)
더보기선형사상의 정의는
체 F 위의 벡터공간 V, W에 대하여 사상 T : V⟶W가 다음 조건을 만족한다.
v, w∈V, a, b∈F일 때,
(1) T(av)=aT(v)
(2) T(v+w)=T(v)+T(w)이다.
T(av+bw)=aT(v)+bT(w) v, w∈V, a, b∈F ∗
을 만족한다고 가정하면 ∗ 식에 b=0을 대입하면
T(av)=aT(v)
또 ∗ 식에 a=1, b=1을 대입하면
T(v+w)=T(v)+T(w)
따라서 선형사상의 정의를 다 만족하므로 이 사상은 선형사상이다.
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