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울산 옥동에 있는 더플러스수학학원블로그입니다. 수능, 교육청, 삼사, 경찰대 등의 문제 풀이 동영상, 서울대 등 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 영상 제공, 학생이 자기주도적 학습에 도움준다. 또, 울산과고를 위해 교과서인 심화수학, 고급수학, AP Calculus 등의 수업학교프린트 풀이를 제공한다. 여기의 풀이영상은 학원의 유투브인 더플러스수학(https://youtube.com/@THEPLUSMATH)에 있다.

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  • [더플러스수학] 울산과고 고급수학 프린트 1
    수학과 공부이야기 2021. 9. 9. 17:30

    1. 다음 사상 중에서 선형사상인 것을 찾아라.

    (1) T : R3R2, T(x1, x2, x3)=(3x1+2x3, x2)

    (2) T : R2R2, T(x1, x2)=(|x1|, x2)

    (3) T : R2R2, T(x1, x2)=(x1+1, x1+x2)

    (4) T : R3[x]R3[x], T(a+bx+cx2)=1+ax+bx2

     

    (정답 및 풀이)

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    (1) 선형사상이다.

    (x1, x2, x3)R3, kR에 대하여

    T(k(x1, x2, x3))=T(kx1, kx2, kx3))=(3kx1+2kx3, kx2)=k(3x1+2x3, x2)=kT(x1, x2, x3)

    또, (x1, x2, x3)R3, (y1, y2, y3)R3에 대하여

    T((x1, x2, x3)+(y1, y2, y3))=T(x1+y1, x2+y2, x3+y3)=(3(x1+y1)+2(x3+y3), (x2+y2))=(3x1+2x3, x2)+(3y1+2y3, y2)=T(x1, x2, x3)+T(y1, y2, y3)

    (2) 선형사상이 아니다. 반례로

    T(1, 3)+T(3, 2)=(1, 3)+(|3|, 2)=(4, 5)T((1, 3)+(3, 2))=T(2, 5)=(|2|, 5)=(2, 5)

    (3) 선형사상이 아니다. 반례로

    T(1, 3)+T(2, 5)=(2, 4)+(3, 7)=(5, 11)T((1, 3)+(2, 5))=T(3, 8)=(4, 11)

    (4) 선형사상이 아니다. 반례로

    T(3(2+3x+4x2))=T(6+9x+12x2)=1+6x+9x23T(2+3x+4x2)=3(1+2x+3x2)=3+6x+9x2

     

    2. 체 F에 대하여 다음 사상이 선형사상인지를 판정하여라.

    (1) T : Mat2(F)Mat2(F), T([abcd])=[bacd]

    (2) T : Mat2(F)Mat2(F), T([abcd])=[1bcd]

     

    (정답 및 풀이)

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    (1) 선형사상이다.

    a, b, c, dF, kF와 [abcd]Mat2(F)에 대하여

    T(k[abcd])=T([kakbkckd])=[kbkakckd]=k[bacd]=kT([abcd])

    또, 임의의 a1, b1, c1, d1F,a2, b2, c2, d2F일 때, [a1b1c1d1]Mat2(F), [a2b2c2d2]Mat2(F)에 대하여

    T([a1b1c1d1]+[a2b2c2d2])=T([a1+a2b1+b2c1+c2d1+d2])=[b1+b2a1+a2c1+c2d1+d2]=[b1a1c1d1]+[b2a2c2d2]=T([a1b1c1d1])+T([a2b2c2d2])

    (2) 선형사상이 아니다. 반례로

    T(3[1234])=T([3×13×23×33×4])=T([36912])=[16912]3T([1234])=3[1234]=[36912]

     

     

    3. 다음과 같이 정의된 선형사상 T에 대하여 T(1, 0)T(0, 1)을 구하고 또, T의 행렬을 구하여라. 여기서 k는 실수이다.

    (1) T : R2R2, T(x1, x2)=(x1, x2)

    (2) T : R2R2, T(x1, x2)=(x1, x2)

    (3) T : R2R2, T(x1, x2)=(x1, x2)

    (4) T : R2R2, T(x1, x2)=(kx1, kx2)

     

    (정답 및 풀이)

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    (1) T(1, 0)=(1, 0), T(0, 1)=(0, 1)이다.

    [1001]

    (2) T(1, 0)=(1, 0), T(0, 1)=(0, 1)이다.

    [1001]

    (3) T(1, 0)=(1, 0), T(0, 1)=(0, 1)이다.

    [1001]=I

    (4) T(1, 0)=(k, 0), T(0, 1)=(0, k)이다.

    [k00k]=kI

     

     

     

    4. 다음과 같이 정의된 선형사상 T에 대하여 아래 물음에 답하여라.

    T : R4R3, T(x1, x2, x3, x4)=(y1, y2, y3)

    {y1=4x1+2x2x3+x4y2=2x2+x3+x4y3=x1+x4

    (1) T(1, 0, 0, 0), T(0, 1, 0, 0), T(0, 0, 1, 0), T(0, 0, 0, 1)을 구하여라.

    (2) T(1, 1, 0, 0), T(2, 1, 0, 1), T(1, 1, 1, 1)을 구하여라.

     

    (정답 및 풀이)

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    (1) T(1, 0, 0, 0)=(4, 0, 1), T(0, 1, 0, 0)=(2, 2, 0), T(0, 0, 1, 0)=(1, 1, 0), T(0, 0, 0, 1)=(1, 1, 1)

    (2)

    T(1, 1, 0, 0)=T((1, 0, 0, 0)+(0, 1, 0, 0))=T(1, 0, 0, 0)+T(0, 1, 0, 0)=(4, 0, 1)+(2, 2, 0)=(6, 2, 1),

    T(2, 1, 0, 1)=T((2, 0, 0, 0)+(0, 1, 0, 0)+(0, 0, 0, 1))=T(2(1, 0, 0, 0)+(0, 1, 0, 0)+(0, 0, 0, 1))=2T(1, 0, 0, 0)+T(0, 1, 0, 0)+T(0, 0, 0, 1)=2(4, 0, 1)+(2, 2, 0)+(1, 1, 1)=(11, 3, 2),

    T(1, 1, 1, 1)=T((1, 0, 0, 0)+(0, 1, 0, 0)+(0, 0, 1, 0)+(0, 0, 0, 1)=T(1, 0, 0, 0)+T(0, 1, 0, 0)+T(0, 0, 1, 0)+T(0, 0, 0, 1)=(4, 0, 1)+(2, 2, 0)+(1, 1, 0)+(1, 1, 1)=(5, 3, 2)

     

     

     

    5. 다음 두 선형변환에 대하여 STTS를 정의하여라.

    T : R2R2, T(x1, x2)=(x1+2x2, x1+4x2)

    S : R2R2, S(x1, x2)=(2x1x2, x1+3x2)

     

    (정답 및 풀이)

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    (ST)(x1, x2)=S(T(x1, x2))=S(x1+2x2, x1+4x2)=2(x1+2x2)(x1+4x2), (x1+2x2)+3(x1+4x2)=(3x1+8x2, 2x1+14x2)

    (TS)(x1, x2)=T(S(x1, x2))=T(2x1x2, x1+3x2)=(2x1x2)+2(x1+3x2), (2x1x2)+4(x1+3x2)=(4x1+5x2, 2x1+13x2)

     

     

     

    6. 체 F 위의 벡터공간 V, W에 대하여 사상 T : VW가 다음 조건을 만족시킬 때, T는 선형사상임을 증명하여라.

    T(av+bw)=aT(v)+bT(w)    v, wV, a, bF

     

    (정답 및 풀이)

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    선형사상의 정의는

    F 위의 벡터공간 V, W에 대하여 사상 T : VW가 다음 조건을 만족한다. 
    v, wV, a, bF일 때, 
    (1) T(av)=aT(v)    
    (2) T(v+w)=T(v)+T(w)

    이다.

    T(av+bw)=aT(v)+bT(w)    v, wV, a, bF   

    을 만족한다고 가정하면 식에 b=0을 대입하면

    T(av)=aT(v)  

    식에 a=1, b=1을 대입하면

    T(v+w)=T(v)+T(w)  

    따라서 선형사상의 정의를 다 만족하므로 이 사상은 선형사상이다.

     

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