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[더플러스수학] (AB)^T=B^T A^T 증명 (전치행렬의 성질)수학과 공부이야기/선형대수학 2021. 8. 20. 15:29
(AB)T=BTAT(AB)T=BTAT을 증명해보자.
먼저 행렬 AA를 l×ml×m행렬, 행렬 BB를 m×nm×n 행렬이라 하자. 행렬 ABAB는 l×nl×n 행렬이다. 즉
A=(aij)l×mA=(aij)l×m, B=(bij)m×nB=(bij)m×n
으로 놓을 수 있다.
그러면 행렬 (AB)T(AB)T는 n×ln×l 행렬이다. 행렬 (AB)T(AB)T의 (i, j)(i, j)의 성분은 ABAB의 (j, i)(j, i)의 성분이다.
또, ABAB의 (j, i)(j, i)의 성분은 행렬 AA의 jj행과 BB의 ii열의 성분끼리의 내적, 즉 곱의 합이다.
AB=(a11⋯⋯a1m⋮⋯⋯⋮aj1⋯ajk⋯ajm⋮⋯⋯⋮an1⋯⋯anm)(b11⋯b1i⋯b1nb21⋯b2i⋯b2n⋮⋮⋯bki⋯⋮⋮bm1⋯bmi⋯bmn)
위에서 볼 수 있듯이 행렬 (AB)T의 (i, j)의 성분은
aj1b1i+aj2b2i+⋯+ajkbki+⋯+ajmbmi=m∑k=1ajkbki (1)
또, 행렬 BT의 i행은 행렬 B의 i열이고 행렬 AT의 j열은 행렬 A의 j행이다.
BTAT=(b11⋯⋯bm1⋮⋯⋯⋮b1i⋯bki⋯bmi⋮⋯⋯⋮b1n⋯⋯bmn)(a11⋯aj1⋯an1a12⋯aj2⋯an2⋮⋮⋯ajk⋯⋮⋮an1⋯ajm⋯anm)
따라서 행렬 BTAT의 (i, j)의 성분은
b1iaj1+b2iaj2+⋯+bkiajk+⋯+bmiajm=m∑k=1bkiajk (2)
(1), (2)에서 실수는 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하므로 ajkbki=bkiajk이다. 따라서
m∑k=1ajkbki=m∑k=1bkiajk
위의 식은 0≤i≤n, 0≤j≤m를 만족하는 임의의 i, j에 대하여 성립하므로
(AB)T=BTAT
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