[더플러스수학] (AB)^T=B^T A^T 증명 (전치행렬의 성질)

\(\displaystyle (AB)^T =B^T A^T \)을 증명해보자.

먼저 행렬 \(\displaystyle A\)를 \(\displaystyle l \times m \)행렬, 행렬 \(\displaystyle B \)를 \(\displaystyle m \times n \) 행렬이라 하자. 행렬 \(\displaystyle AB\)는 \(\displaystyle l \times n \) 행렬이다. 즉

\(\displaystyle A=(a_{ij})_{l \times m}\), \(\displaystyle B=(b_{ij})_{m \times n}\)

으로 놓을 수 있다. 

그러면 행렬 \(\displaystyle (AB)^T\)는 \(\displaystyle n \times l \) 행렬이다. 행렬 \(\displaystyle (AB)^T\)의 \(\displaystyle (i,~j)\)의 성분은 \(\displaystyle AB\)의 \(\displaystyle (j,~i)\)의 성분이다.

또, \(\displaystyle AB\)의 \(\displaystyle (j,~i)\)의 성분은 행렬 \(\displaystyle A\)의 \(\displaystyle j\)행과 \(\displaystyle B\)의 \(\displaystyle i\)열의 성분끼리의 내적, 즉 곱의 합이다.

\(\displaystyle AB= \left ( \begin{matrix}  a _ {11} & \cdots & & \cdots & a _ {1m} \\ \vdots & \cdots & & \cdots & \vdots \\  \textcolor {red}{a _ {j1}}   & \cdots & \textcolor {red} {a _ {jk} }& \cdots & \textcolor {red} {a _ {jm}} \\\vdots & \cdots & & \cdots & \vdots \\ a _ {n1} & \cdots & & \cdots & a _ {nm} \end{matrix} \right)    \left ( \begin{matrix} b _ {11} & \cdots & \textcolor {red} {b _ {1 i}} & \cdots & b _ {1n}\\b _ {21} & \cdots &\textcolor {red} { b _ {2i} } & \cdots & b _ {2n} \\ & & \vdots & & \\ \vdots & \cdots &\textcolor {red} { b _ {ki}} & \cdots & \vdots \\ & & \vdots & & \\ b _ {m1} & \cdots & \textcolor {red} {b _ {m i} }& \cdots & b _ {mn}  \end{matrix} \right) \) 

위에서 볼 수 있듯이 행렬 \(\displaystyle (AB)^T\)의 \(\displaystyle (i,~j)\)의 성분은

\(\displaystyle  a_{j1}b_{1i}+ a_{j2}b_{2i}+\cdots+a_{j\textcolor {red}{k}}b_{\textcolor {red}{k}i}+ \cdots+a_{jm}b_{mi} =\sum_{\textcolor {red}{k}=1}^{m}a_{j\textcolor {red}{k}}b_{\textcolor {red}{k}i }\)   (1)

또, 행렬 \(\displaystyle B^T\)의 \(\displaystyle  i \)행은 행렬 \(\displaystyle B \)의 \(\displaystyle  i \)열이고 행렬 \(\displaystyle A^T\)의 \(\displaystyle  j \)열은 행렬 \(\displaystyle A \)의 \(\displaystyle j \)행이다.

\(\displaystyle B^T A^T = \left ( \begin{matrix}  b _ {11} & \cdots & & \cdots & b _ {m1} \\ \vdots & \cdots & & \cdots & \vdots \\ \textcolor {red} { b _ {1i}}  & \cdots &  \textcolor {red} {b _ {k i} } & \cdots &\textcolor {red} {  b _ {m i}} \\\vdots & \cdots & & \cdots & \vdots \\ b _ {1n} & \cdots & & \cdots & b _ {mn} \end{matrix} \right)    \left ( \begin{matrix} a _ {11} & \cdots & \textcolor {red} {a _ {j 1 }} & \cdots & a _ {n1}\\a _ {12} & \cdots & \textcolor {red} {a _ {j 2} }& \cdots & a _ {n2} \\ & & \vdots & & \\ \vdots & \cdots & \textcolor {red} {a_ {j k}} & \cdots & \vdots \\ & & \vdots & & \\ a _ {n1} & \cdots & \textcolor {red} {a _ {j m }} & \cdots & a _ {nm}  \end{matrix} \right) \) 

따라서 행렬 \(\displaystyle B^T A^T \)의 \(\displaystyle (i,~j)\)의 성분은

\(\displaystyle  b_{1i}a_{j1}+ b_{2i}a_{j2}+\cdots+b_{ \textcolor{red}{k}i}a_{j\textcolor {red}{k}} + \cdots+ b_{mi}a_{jm}  =\sum_{\textcolor {red}{k}=1}^{m}b_{ \textcolor {red}{k} i }a_{j \textcolor{red}{k}}\)    (2)

(1), (2)에서 실수는 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하므로 \(\displaystyle  a_{jk}b_{ki }=   b_{ki }a_{jk}\)이다. 따라서

\(\displaystyle \sum_{\textcolor {red}{k}=1}^{m}a_{j\textcolor {red}{k}}b_{\textcolor {red}{k}i } =\sum_{\textcolor {red}{k}=1}^{m}b_{\textcolor {red}{k}i } a_{j \textcolor {red}{k}} \)

위의 식은 \(\displaystyle 0\leq i \leq n,~ 0\leq j \leq m\)를 만족하는 임의의 \(\displaystyle i,~j\)에 대하여 성립하므로 

\(\displaystyle (AB)^T =B^T A^T \)

 

 

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