[수학의 기초] 기저변환행렬 (2) [더플러스수학]

 

기저변환행렬에 대한 정확한 이해!!!

기저 $\displaystyle \vec p , ~\vec q$의 집합을 $\displaystyle A$, 기저 $\displaystyle \vec {p'} , ~\vec {q'}$의 집합을 $\displaystyle B$라고 할 때, 기저 $\displaystyle A$를 $\displaystyle B$로 바꾸는 행렬 즉 기저변환행렬 $\displaystyle \left[ P \right]_{A}^{B}$은 다음과 같다. 기저  $\displaystyle A$에서의 좌표 $\displaystyle (x,~y)$를 기저 $\displaystyle B$에서의 좌표 $\displaystyle (x',~y')$로 바꾸는 행렬을 의미한다. 

앞 글의 독자님의 질문을 예로 들어 설명해 보자.

"$\displaystyle A = \left\{(1,~1),~ (1,~-1) \right\}$ 과 $\displaystyle B = \left\{(2,~4),~ (3,~1) \right\}$ 이렇게 두개의 기저가 주어졌을때, $B$에서 $A$로의 기저변환 행렬 또한 존재하지 않을까요? 그렇다면 어떻게 구할 수 있을까요?"

예를 들면 기저 $B$에서의 좌표 $\displaystyle (x,~y)$를, 즉  $\displaystyle \textcolor{red}{x}(2,~4)+\textcolor{red}{y}(3,~1)$를 기저 $A$에서의 좌표 $\displaystyle (x',~y')$를, 즉  $\displaystyle \textcolor{red}{x'}(1,~1)+\textcolor{red}{y'}(1,~-1)$로 바꾸는 행렬을 기저변환행렬이라고 합니다. 여기서 오해하지 말아야 할 것은

$(2,~4)$를 $(1,~1)$로 바꾸고 $(3,~1)$를 $(1,~-1)$로 바꾸는 변환

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}  = P \begin{bmatrix}2\\4 \end{bmatrix} ,~\begin{bmatrix}1 \\ -1 \end{bmatrix}  = P  \begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix}$$

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 3&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}  = P \begin{bmatrix}2&1\\4&1 \end{bmatrix} ,~ P=\begin{bmatrix} 3&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix}  \begin{bmatrix}2&1\\4&1 \end{bmatrix} ^{-1}$$  

에서 행렬 $P$가 기저변환행렬이 아니라, 

기저 $B$에서의 좌표 $(x,~y)$를 기저 $A$에서의 좌표 $(x',~y')$로 바꾸는 행렬을 기저변환행렬이라 한다. 즉 $\displaystyle \textcolor{red}{x}(2,~4)+\textcolor{red}{y}(3,~1)$, $\displaystyle \textcolor{red}{x'}(1,~1)+\textcolor{red}{y'}(1,~-1)$를 전개하면 표준기저 $e_1 , e_2$에서의 좌표로 서로 같아서

$$\displaystyle 2x+3y=x'+y', 4x+y=x'-y'$$

이 식의 좌-우변을 행렬로 표현해 보면

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 2&3 \\4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&1\\1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}$$

즉

$$\displaystyle \begin{bmatrix} 2&3 \\4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&1\\1&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix}$$

$$\displaystyle\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&1\\1&-1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 2&3 \\4&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}$$

$$\displaystyle\begin{bmatrix}x'\\y' \end{bmatrix} = \textcolor {red} {\begin{bmatrix} 3&2 \\-1&1 \end{bmatrix} } \begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}$$

이 때의 빨강색 행렬 $\displaystyle  \textcolor {red} {\begin{bmatrix} 3&2 \\-1&1 \end{bmatrix} }$을 기저변환행렬이라고 한다.

 

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[수학의 기초] 기저와 기저변환 행렬