[더플러스수학] 2019년 과고2학년 2학기 중간고사[ 울산과고]

1. 다음을 계산하시오. (5점)

(1) $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2\\3 & 4} \right) + \left ( \matrix {3 & 4\\5 & 6} \right) $ (1점)

(2) $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2\\0 & 1} \right) \left ( \matrix {1 & 2\\1 & 3} \right) $ (2점)

(3) $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 3 & 0\\2 & -1 & 2\\0 & 1 & 3} \right) ^ {2} $ (2점)

 

*해설: (1) $\displaystyle \left ( \matrix {4 & 6\\8 & 10} \right) $ (2) $\displaystyle \left ( \matrix {3 & 8\\1 & 3} \right) $ (3) $\displaystyle \left ( \matrix {7 & 0 & 6\\0 & 7 & 4\\2 & 2 & 11} \right) $

https://youtu.be/yEdhXDWQAPs

 

 

2. 아래 주어진 행렬의 행렬식을 구하시오. (3점)

(1) $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2\\3 & 4} \right) $ (1점)

(2) $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 3 & 0\\2 & -1 & 2\\0 & 1 & 3} \right) $ (2점)

 

해설: (1) $\displaystyle -2 $ (2) $\displaystyle -23 $

https://youtu.be/039qYMnivjo

 

 

 

3. $\displaystyle \mathbb{R} ^ {3} $에서 아래에 주어진 벡터가 일차독립임을 판별하시오. (4점)

(1) $\displaystyle ( 1,~2,~3) $, $\displaystyle ( 3,~4,~1) $ (2점)

 

(2) $\displaystyle ( 1,~1,~2) $, $\displaystyle ( 2,~2,~1) $, $\displaystyle ( 1,~1,~1) $ (2점)

 

 

(1) 일차독립 (2) 일차종속

https://youtu.be/Qm9lJnoNvxM

 

 

 

4. 이차 정사각행렬 $\displaystyle A $, $\displaystyle B $가 $\displaystyle A+B=I $와 $\displaystyle A ^ {2} -B ^ {2} = \left ( \matrix {1 & 4\\0 & 1} \right) $을 만족할 때 $\displaystyle AB $를 구하시오. (3점)

 

*해설: $\displaystyle \left ( \matrix {0 & -2\\0 & 0} \right) $

https://youtu.be/r9Nj6QgVAT4

 

 

5. 가우스-조르단 소거법을 이용하여 행렬 $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0\\2 & 2} \right) $의 역행렬을 구하시오. (3점)

 

 

*해설: $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0\\-1 & \frac {1} {2}} \right) $

https://youtu.be/COi0N1Yv5qA

 

 

 

6. 행렬 $\displaystyle A= \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\i & -1 & 0\\7 & 1 & i} \right) $의 수반행렬을 구하시오. 그리고 이를 이용하여 $\displaystyle A ^ {-1} $을 구하시오. (3점)

 

 

*해설: 수반행렬 $\displaystyle adjA= \left ( \matrix {-i & 0 & 0\\1 & i & 0\\i+7 & -1 & -1} \right) $

$\displaystyle A ^ {-1} = \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\i & -1 & 0\\7i-1 & -i & -i} \right) $

https://youtu.be/Hq2xSsGicuQ

 

 

 

7. 행렬 $\displaystyle A= \left ( \matrix {1 & 0 & 3\\0 & 0 & 2\\0 & 1 & 0} \right) $을 기본행렬의 곱으로 나타내시오. 그리고 이를 이용하여 $\displaystyle A ^ {-1} $을 구하시오. (3점)

 

 

 

*해설: https://youtu.be/z0fJk3icmew

 

$\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0 & -3\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1} \right) \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0} \right) \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\0 & \frac {1} {2} & 0\\0 & 0 & 1}\right) A= \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1} \right) $

$\displaystyle A= \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1} \right) \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0} \right) \left ( \matrix {1 & 0 & 3\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1} \right) $

$\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0 & -3\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1} \right) \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0} \right) \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\0 & \frac {1} {2} & 0\\0 & 0 & 1}\right) =A ^ {-1} $

$\displaystyle A ^ {-1} = \left ( \matrix {1 & - \frac {3} {2} & 0\\0 & 0 & 1\\0 & \frac{1} {2} & 0} \right) $

 

 

 

8.행렬 $\displaystyle \left ( \matrix {a _ {11} & a _ {12} & a _ {13} \\a _ {21} & a _ {22} & a _ {23} \\a _ {31} & a _ {32} & a _ {33} } \right) $의 행렬식이 $\displaystyle 3 $일 때 다음 주어진 행렬의 행렬식을 구하고 이유를 간단히 설명하시오. (6점)

(1) $\displaystyle \left ( \matrix {a _ {11} & a _ {12} & a _ {12} \\4a _ {21} & 4a _ {22} & 4a _ {23} \\a _ {31} & a _ {32} & a _ {33} }   \right)$ (1.5점)

(2) $\displaystyle \left ( \matrix {a _ {11} & a _ {12} & a _ {13}\\a _ {31} & a _ {32} & a _ {33} \\a _ {21} & a _ {22} & a _ {23} } \right)  $ (1.5점)

(3) $\displaystyle \left ( \matrix {a _ {11} & a _ {12} & a _ {13}\\a _ {21} +3a _ {11} & a _ {22} +3a _ {1} & a _ {23} +3a _ {13} \\a _ {31} & a _ {32} & a _ {33} } \right)$ (1.5점)

(4) $\displaystyle \left ( \matrix {a _ {11} & a _ {12} & a _ {13}\\4a _ {21} & 4a _ {22} & 4a _ {23} \\a _ {21} & a _ {22} & a _ {23} } \right) $ (1.5점)

 

*해설: (1) $\displaystyle 3 \times 4=12 $ (2) $\displaystyle -3 $ (3) $\displaystyle 3 $ (4) $\displaystyle 0 $

https://youtu.be/5VDOslqeZPE

 

 

 

9.두 선형변환 $\displaystyle T $, $\displaystyle S $에 대하여

$\displaystyle ( T \circ S) ^ {-1} =S ^ {-1} \circ T ^ {-1} $임을 보이시오. (3점)

 

 

 

*해설: 두 선형변환 $\displaystyle T,~S $를 나타내는 행렬을 각각 $\displaystyle M _ {T} ,~M _ {S} ~ $라 하면

$\displaystyle \overrightarrow {p ' } =M _ {S} ( \overrightarrow {p} ) $, $\displaystyle \overrightarrow {p ' ' } =M _ {T} ( \overrightarrow {p ' } ) $

이다. 따라서

$\displaystyle \overrightarrow {p ' ' } =M _ {T} ( \overrightarrow {p ' } )=M _ {T} \left ( M _ {S} ( \overrightarrow {p} ) \right ) =M _ {T} M _ {S} ( \overrightarrow {p} ) $

따라서 합성변환 $\displaystyle T \circ S $의 역변환 $\displaystyle \left ( T \circ S \right ) ^ {-1} $는

$\displaystyle \overrightarrow {p} = ( M _ {T} M _ {S} ) ^ {-1} ( \overrightarrow {p ' ' } ) $ $\displaystyle \cdots \cdots $①

이다. 또, $\displaystyle \overrightarrow {p ' } =M _ {S} ( \overrightarrow {p} ) $, $\displaystyle \overrightarrow {p ' ' } =M _ {T} ( \overrightarrow {p ' } ) $에서

$\displaystyle \overrightarrow {p} =M _ {S} ^ {-1} \left ( \overrightarrow {p ' } \right ) $, $\displaystyle \overrightarrow {p} ' =M _ {T} ^ {-1} \left ( \overrightarrow {p ' ' } \right ) $

이므로

$\displaystyle \overrightarrow {p} =M _ {S} ^ {-1} \left ( \overrightarrow {p ' } \right ) =M _ {S} ^ {-1} ( M _ {T} ^ {-1} ( \overrightarrow {p '' } ))= ( M _ {S} ^ {-1} M _ {T} ^ {-1} ) ( \overrightarrow {p '' } ) $

즉,

$\displaystyle \overrightarrow {p} = ( M _ {S} ^ {-1} M _ {T} ^ {-1} ) ( \overrightarrow {p '' } ) $

따라서 합성변환 $\displaystyle S ^ {-1} \circ T ^ {-1} $은

$\displaystyle \overrightarrow {p} = ( M _ {S} ^ {-1} M _ {T} ^ {-1} ) ( \overrightarrow {p '' } ) $ $\displaystyle \cdots \cdots $②

①, ②에서 임의의 벡터 $\displaystyle \overrightarrow {p '' } $에 대하여 성립하므로

$\displaystyle ( T \circ S) ^ {-1} =S ^ {-1} \circ T ^ {-1} $

이다.

https://youtu.be/a2pXAYapbq4

 

 

10. 아래 주어진 선형변환의 행렬을 구하시오. 그리고 직선 $\displaystyle x+2y+4=0 $을 아래 주어진 선형변환으로 이동한 직선의 방정식을 구하시오. (6점)

(1) $\displaystyle x $축 대칭변환 (2점)

(2) $\displaystyle y=x $ 대칭변환 (2점)

(3) 원점에서 반시계방향으로 $\displaystyle 30 ^{\circ } $회전시킨 회전변환 (2점)

 

 

*해설: (1) $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0\\0 & -1} \right) $ $\displaystyle x-2y+4=0 $

(2) $\displaystyle \left ( \matrix {0 & 1\\1 & 0} \right) $ $\displaystyle y+2x+4=0 $

(3) $\displaystyle \left ( \matrix {\cos 30 ^{\circ } & -\sin 30 ^{\circ } \\\sin 30 ^{\circ } & \cos 30 ^{\circ } } \right) = \left ( \matrix { \frac {\sqrt {3} } {2} & - \frac {1} {2} \\ \frac {1} {2} & \frac {\sqrt {3} } {2} } \right) $

$\displaystyle \left ( \sqrt {3} -2 \right ) x+ \left ( 1+2 \sqrt {3} \right ) y+8=0 $

https://youtu.be/GfYUilWc0mo

 

 

11.아래 주어진 연립방정식의 해가 무수히 많을 때, 상수 $\displaystyle a $의 값을 구하시오. (3점)

$\displaystyle { \begin {cases} ax+y+z=0\\x+ay+z=0\\x+y+az=0\end {cases} } $

 

 

 

*해설: $\displaystyle a=1,~-2 $

https://youtu.be/hdPmeo6qk1w

 

 

12.선형변환 $\displaystyle T: \mathbb{R} ^ {2} \rightarrow \mathbb{R}  ^ {2} $가 $\displaystyle T ( 2,~-1)= ( 2,~0) $, $\displaystyle T ( 1,~1)= ( 1,~3) $일 때 선형변환 $\displaystyle T $의 행렬을 구하시오. (3점)

 

 

*해설: $\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0\\1 & 2} \right) $

https://youtu.be/r9Nj6QgVAT4

 

 

 

 

13. 벡터 $\displaystyle v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} $가 일차독립일 때, $\displaystyle v _ {1} +v _ {2} $, $\displaystyle v _ {2} +v _ {3} $, $\displaystyle v _ {3} +v _ {1} $이 일차독립이 되는지 판별하시오. (3점)

 

 

*해설: $\displaystyle v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} $가 일차독립이라 가정하자. 실수 $\displaystyle a,~b,~c $에 대하여

$\displaystyle a \left ( v _ {1} +v _ {2} \right ) +b \left ( v _ {2} +v _ {3} \right ) +c \left ( v _ {3} +v _ {1} \right ) = \overrightarrow {0} $

$\displaystyle \left ( c+a \right ) v _ {1} + \left ( a+b \right ) v _ {2} + \left ( b+c \right ) v _ {3} = \overrightarrow {0} $

에서 $\displaystyle v _ {1} ,~v _ {2} ,~v _ {3} $가 일차독립이므로

$\displaystyle c+a=0,~a+b=0,~b+c=0 $

연립하면 $\displaystyle a=b=c=0 $

따라서 $\displaystyle v _ {1} +v _ {2} $, $\displaystyle v _ {2} +v _ {3} $, $\displaystyle v _ {3} +v _ {1} $는 일차독립이다.

https://youtu.be/idVeX3uUDV8

 

 

14. $\displaystyle n $차 정사각행렬 $\displaystyle A $의 각 열의 성분의 합이 모두 $\displaystyle 0 $이면 $\displaystyle detA=0 $임을 증명하시오. (3점)

 

 

 

*해설: https://youtu.be/e5RNVGKGGiY

$\displaystyle n $차 정사각행렬의 첫째행에 첫째행의 성분과 둘째행의 성분을 더하여 첫째행에 적어도 행렬식의 값은 변함이 없다. 또, 첫째행에 첫째행의 성분에 셋째행의 더하여 첫째행에 적자. 그렇게 하여도 행렬식의 값은 변함이 없다. 이 과정을 $\displaystyle n $째행까지 실행해도 행렬식의 값은 변함이 없다. 그러면 행렬의 첫째행은 행렬 $\displaystyle A $의 각 열의 성분의 합을 성분으로 갖는다. 그런데 각 열의 성분의 합은 $\displaystyle 0 $이므로 행렬의 첫째항은 모두 성분이 $\displaystyle 0 $이므로 행렬식의 값은 $\displaystyle 0 $이다.

[다른풀이]

$\displaystyle \left ( \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n}\\a _ {21} & a _ {22} & \cdots & a _ {2n} \\\vdots & & \cdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} }\right) \left ( \matrix {1\\1\\\vdots \\1} \right) = \left ( \matrix {0\\0\\\vdots \\0} \right) $

이 방정식을 생각하자.

왼쪽에 있는 행렬을 $\displaystyle A $라 할 때, 행렬 $\displaystyle A $의 $\displaystyle detA \neq 0 $라 하면 양변에 $\displaystyle A ^ {-1} $을 곱하면 $\displaystyle ( 1,1, \cdots ,~1)= ( 0,0, \cdots ,0) $이 되어서 모순이 된다. 따라서 $\displaystyle detA=0 $이다.

 

 

15.아래 주어진 함수 $\displaystyle T _ {1} \sim T _ {5} $가 선형변환임을 판별하시오. (13점)

(1) $\displaystyle \mathbb{R}  $위의 함수 $\displaystyle T _ {1} :\mathbb{R}  ^ {2} ~ \rightarrow ~\mathbb{R}  ^ {2} $에 대하여 $\displaystyle T _ {1} ( x,~y)= \left ( x,~0 \right ) $(2점)

 

(2) $\displaystyle \mathbb{R}  $위의 함수 $\displaystyle T _ {2} :\mathbb{R}  ^ {2} ~ \rightarrow ~\mathbb{R}  ^ {2} $에 대하여 $\displaystyle T _ {2} ( x,~y)= ( x ^ {2} ,~x+y) $ (2점)

 

(3)$\displaystyle \mathbb{R}  $위의 함수 $\displaystyle T _ {3} :C~ \rightarrow ~C $ 에 대하여 $\displaystyle T _ {3} ( z)= \overline {z} $ (단, $\displaystyle C $는 복소수 집합) (3점)

 

(4) $\displaystyle \mathbb{R}  $위의 함수 $\displaystyle T _ {4} :C ^ {2} ~ \rightarrow ~C $에 대하여 $\displaystyle T _ {4} ( f,~g)=f \bullet g $ (단, $\displaystyle C $는 $\displaystyle \mathbb{R}  $위에서 연속인 함수들의 집합) (3점)

 

(5) $\displaystyle R $위의 함수 $\displaystyle T _ {5} :M _ {n} ~ \rightarrow ~\mathbb{R}  $ 에 대하여 $\displaystyle T _ {5} ( A)=detA $ (단, $\displaystyle M _ {n} $은 $\displaystyle n $차 정사각행렬의 집합) (3점)

 

 

 

 

*해설: https://youtu.be/WDygL28Tuwc

 

(1) $\displaystyle \mathbb{R}  ^ {2} $의 임의의 원소 $\displaystyle \left ( x _ {1} ,~y _ {1} \right ) $과 임의의 실수 $\displaystyle a $에 대하여

$\displaystyle T _ {1} ( a ( x _ {1} ,y _ {1} ))=T ( ax _ {1} ,~ay _ {1} )= \left ( ax _ {1} ,~0 \right ) $

또, $\displaystyle aT _ {1} ( x _ {1} ,~y _ {1} )=a ( x _ {1} ,~0)= \left ( ax _ {1} ,~0 \right ) $

따라서 $\displaystyle T _ {1} ( a ( x _ {1} ,y _ {1} ))=aT _ {1} ( x _ {1} ,~y _ {1} ) $ $\displaystyle \cdots $①

또, $\displaystyle \mathbb{R}  ^ {2} $의 임의의 두 원소 $\displaystyle \left ( x _ {1} ,~y _ {1} \right ) $, $\displaystyle \left ( x _ {2} ,~y _ {2} \right ) $에 대하여

$\displaystyle T _ {1} \left ( ( x _ {1} ,~y _ {1} )+ ( x _ {2} ,~y _ {2} ) \right ) =T _ {1} ( x _ {1} +x _ {2} ,~y _ {1} +y _ {2} )= ( x _ {1} +x _ {2} ,~0) $

$\displaystyle T _ {1} ( x _ {1} ,~y _ {1} )+T _ {2} ( x _ {2} ,~y _ {2} )= ( x _ {1} ,~0)+ ( x _ {2} ,~0)= ( x _ {1} +x _ {2} ,~0) $

이므로

$\displaystyle T _ {1} \left ( ( x _ {1} ,~y _ {1} )+ ( x _ {2} ,~y _ {2} ) \right ) =T _ {1} ( x _ {1} ,~y _ {1} )+T _ {2} ( x _ {2} ,~y _ {2} ) $ $\displaystyle \cdots $②

①, ②에서 $\displaystyle T _ {1} $은 선형변환이다.

(2) 선형변환이 아니다.

$\displaystyle 2T _ {2} ( 3,0)=2 ( 9,~3) \neq T _ {2} ( 2 \times 3,~0)= \left ( 6 ^ {2} ,~0 \right ) = ( 36,0) $

(3) $\displaystyle T _ {3} $는 선형변환이다.

왜냐하면

임의의 실수 $\displaystyle a $와 복소수 $\displaystyle z $에 대하여

$\displaystyle T _ {3} ( az)= \overline {az} = \overline {a} \overline {z} =a \overline {z} =aT _ {3} ( z) $

임의의 두 복소수 $\displaystyle z _ {1} ,~z _ {2} $에 대하여

$\displaystyle T _ {3} ( z _ {1} +z _ {2} )= \overline {z _ {1} +z _ {2} } = \overline {z _ {1} } + \overline {z _ {2} } =T _ {3} ( z _ {1} )+T _ {3} ( z _ {2} ) $

(4) 선형변환이 아니다.

실수 $\displaystyle k $($\displaystyle k \neq 1 $)와 실수 위에서 연속한 함수 $\displaystyle f,~g $에 대하여 $\displaystyle kT _ {4} ( f,~g)=k ( f \cdot g) $ $\displaystyle \cdots $①

또, $\displaystyle T _ {4} ( kf,~kg)=kf \cdot kg=k ^ {2} f \cdot g $ $\displaystyle \cdots $②

①, ②는 서로 같지 않다.

 

(5) 선형변환이 아니다.

실수 $\displaystyle k ( k \neq 1) $와 $\displaystyle M _ {n} $의 원소 $\displaystyle A $에 대하여

$\displaystyle T _ {5} ( kA)=k ^ {n} detA $이고, $\displaystyle kT _ {5} ( A)=kdetA $이므로

$\displaystyle T _ {5} ( kA) \neq kT _ {5} ( A) $

 

 

16.다음 주어진 명제가 참이면 증명하고 거짓이면 반례를 제시하시오. (13점)

(1) 정사각행렬 $\displaystyle A $, $\displaystyle B $에 대하여 $\displaystyle ABA=I $ 이면 $\displaystyle AB=BA $ 이다. (단, $\displaystyle I $ 는 단위행렬) (2점)

(2) 정사각행렬 $\displaystyle A $, $\displaystyle B $ 가 대칭행렬이면 $\displaystyle AB $ 도 대칭행렬이다.(2점)

(3) $\displaystyle \mathrm { adj }A $가 가역행렬이면 $\displaystyle det ( \mathrm { adj} A)=1 $이다. (단, $\displaystyle \mathrm { adj} A $는 $\displaystyle A $의 수반행렬) (3점)

(4) $\displaystyle 4 $차 정사각행렬 $\displaystyle A $에 대하여 연립방정식 $\displaystyle Ax=v _ {1} $과 $\displaystyle Ax=v _ {2} $가 해를 가지면 $\displaystyle Ax=3v _ {1} +2v _ {2} $도 해를 가진다. (3점)

(5) 선형변환 $\displaystyle T:V~ \rightarrow ~W $에 대하여 벡터 $\displaystyle v _ {1} ,~ \cdots ,~v _ {n} $ $\displaystyle ( v _ {1} ,~ \cdots ,~v _ {n} \in V) $이 일차독립이면 $\displaystyle T ( v _ {1} ),~ \cdots ,~T ( v _ {n} ) $도 일차독립이다. (3점)

 

 

 

 

*해설: https://youtu.be/r3W71FnIG40

 

(1) 참

$\displaystyle ABA=I $의 앞에 $\displaystyle AB $를 곱하면 행렬은 결합법칙이 성립하고 $\displaystyle ABA=I $이므로

$\displaystyle ( AB) ( ABA)= ( AB)I $

$\displaystyle ( ABA) ( BA)=AB $

$\displaystyle I ( BA)=AB $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle BA=AB $

(2) 거짓

$\displaystyle A= \left ( \matrix {1 & 2\\2 & 4} \right) ,~B= \left ( \matrix {2 & 3\\3 & 5} \right) $

$\displaystyle AB $의 $\displaystyle ( 1,2) $의 성분은 $\displaystyle 13 $, $\displaystyle ( 2,1) $의 성분은 $\displaystyle 16 $이므로 서로 다르다. 따라서 $\displaystyle AB $는 대칭행렬이 아니다.

(3) 거짓

반례) $\displaystyle A= \left ( \matrix {1 & 2\\3 & 4} \right) $라 하면

$\displaystyle adjA= \left ( \matrix {4 & -2\\-3 & 1} \right) $이므로 $\displaystyle det ( adjA)=10 \neq 0 $이므로 가역이다. 그러나 $\displaystyle det ( adjA)=10 \neq 1 $

 

행렬 $\displaystyle A $가 $\displaystyle n $차 정사각행렬이라고 해도 일반성은 잃지 않는다.

$\displaystyle Aadj ( A)= ( detA)I $

에서

$\displaystyle det ( A adj ( A))=det ( ( detA)I) $

$\displaystyle det ( A)det ( adj ( A))= ( detA) ^ {n} $

여기서 $\displaystyle adjA $가 가역이면 $\displaystyle A $도 가역임을 증명할 수 있다면

$\displaystyle det ( adj ( A))= ( det ( A)) ^ {n-1} $

만약 $\displaystyle det ( A)=2 $이면 $\displaystyle det ( adj ( A))=2 ^ {n-1} \neq 1 $

 

*$\displaystyle adjA $가 가역이면 $\displaystyle A $도 가역이다.

증명) 귀류법으로 증명하자. $\displaystyle A $가 가역이아니라고 가정하면

$\displaystyle det ( A)=0 $. $\displaystyle adjA $가 가역이므로

$\displaystyle Aadj ( A)= ( detA)I $

에서

$\displaystyle A= ( detA)I ( adjA) ^ {-1} = ( detA) ( adjA) ^ {-1} $

이다. 여기서 $\displaystyle detA=0 $이므로 행렬 $\displaystyle A $는 영행렬이다. 즉

$\displaystyle A=O $

그런데 $\displaystyle A=O $이므로 $\displaystyle A $의 여인수행렬은 모두 영행렬이므로 $\displaystyle adjA=O $이다. 그러면 $\displaystyle adjA $는 가역이 안된다. 이는 가정에서 $\displaystyle adjA $가 가역이라는 사실과 모순이다.

 

(4) $\displaystyle Ax=v _ {1} $, $\displaystyle Ax=v _ {2} $의 해가 존재하므로 그 해를 각각 $\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} $라 하면

$\displaystyle Ax _ {1} =v _ {1} $, $\displaystyle Ax _ {2} =v _ {2} $

여기서

$\displaystyle 3v _ {1} +2v _ {2} =3Ax _ {1} +2Ax _ {2} $

행렬의 연산법칙에 의해

$\displaystyle 3v _ {1} +2v _ {2} =A ( 3x _ {1} +2x _ {2} ) $

따라서 $\displaystyle Ax=3v _ {1} +2v _ {2} $의 해 중 하나는 $\displaystyle 3x _ {1} +2x _ {2} $이다. 따라서 해를 가진다.

(5) 거짓이다.

반례 변환을 $\displaystyle T ( x,y)= ( x,0) $이라 하면

$\displaystyle ( 1,1),~ ( 1,3) $은 일차독립이지만 $\displaystyle T ( 1,1)= ( 1,0) $, $\displaystyle T ( 1,3)= ( 1,0) $에서 $\displaystyle a ( 1,0)+b ( 1,0)= ( 0,0) $

$\displaystyle a=1,~b=-1 $이면 $\displaystyle ( 0,0) $이 되므로 일차독립이 아니다.

 

만약 선형변환 $\displaystyle T $가 역변환을 가진다면 성립한다.

$\displaystyle a _ {1} T \left ( v _ {1} \right ) +a _ {2} T \left ( v _ {2} \right ) + \cdots +a _ {n} T \left ( v _ {n} \right ) = \overrightarrow {0} $

에서 선형변환의 성질에 의해

$\displaystyle T \left ( a _ {1} v _ {1} +a _ {2} v _ {1} + \cdots +a _ {n} v _ {n} \right ) = \overrightarrow {0} $

만약 선형변환 $\displaystyle T $의 역변환 $\displaystyle T ^ {-1} $이 존재한다면

 

$\displaystyle T ^ {-1} ( T \left ( a _ {1} v _ {1} +a _ {2} v _ {1} + \cdots +a _ {n} v _ {n} \right ) )=T ^ {-1} ( \overrightarrow {0} ) $

$\displaystyle a _ {1} v _ {1} +a _ {2} v _ {1} + \cdots +a _ {n} v _ {n} = \overrightarrow {0} $

$\displaystyle v _ {1} ,~v _ {2} ,~ \cdots ,~v _ {n} $이 일차독립이므로

$\displaystyle a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} =0 $

따라서 $\displaystyle T ( v _ {i} ),~ \cdots ,~T ( v _ {n} ) $도 일차독립이다.

 

 

17. 정사각행렬 $\displaystyle A $를 유한 번의 기본 행 연산을 시행하여 얻은 행렬을 $\displaystyle B $라 할 때 $\displaystyle A $와 $\displaystyle B $의 관계를 $\displaystyle A \sim B $ 라 하자. 이때 다음을 증명하시오. (8점)

(1) $\displaystyle A \sim A $ (2점)

(2) $\displaystyle A \sim B $ 이면 $\displaystyle B \sim A $ 이다. (2점)

(3) $\displaystyle A \sim B $ 이고 $\displaystyle B \sim C $ 이면 $\displaystyle A \sim C $ 이다. (2점)

(4) $\displaystyle A $가 가역행렬이면 $\displaystyle A \sim I $ 이다. (2점)

 

 

 

*해설: https://youtu.be/bZTQDsUIAAg

 

(1) $\displaystyle A=IA $ ($\displaystyle I $는 항등행렬이므로 기본행연산 행렬이다.)

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle A \sim A $

(2) $\displaystyle A \sim B $이므로

$\displaystyle B=I _ {1} \cdots I _ {n} A $ ($\displaystyle I _ {i} $는 기본행연산행렬)

기본행연산 행렬 $\displaystyle I _ {i} $의 역행렬 $\displaystyle I _ {i} ^ {-1} $은 항상 존재하므로 그것도 기본행연산행렬이므로

$\displaystyle A= ( I _ {1} \cdots I _ {n} )B=I _ {n} ^ {-1} I _ {n-1} ^ {-1} \cdots I _ {1} ^ {-1} B $

따라서 $\displaystyle B \sim A $

(3) $\displaystyle A \sim B $이므로

$\displaystyle B=I _ {1} \cdots I _ {n} A $ ($\displaystyle I _ {i} $는 기본행연산행렬)

또, $\displaystyle B \sim C $이므로

$\displaystyle C=I ' _ {1} \cdots I ' _ {n} B $ ($\displaystyle I ' _ {i} $는 기본행연산행렬)

따라서 $\displaystyle C=I ' _ {1} \cdots I ' _ {n} I _ {1} \cdots I _ {n} A $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle A \sim C $

(4) 행렬 $\displaystyle A $가 가역행렬이면 행렬 $\displaystyle A $에 기본행연산행렬을 곱하여 단위행렬을 만들 수 있다. 즉

$\displaystyle I=I _ {1} \cdots I _ {n} A $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle A \sim I $

 

 

18. 유한 번의 회전변환의 합성으로만 이루어진 선형변환 $\displaystyle T:\mathbb{R}  ^ {3} ~ \rightarrow ~\mathbb{R}  ^ {3} $에 의하여 $\displaystyle ( \sqrt {2} ,~ \sqrt {2} ,~0) $가 $\displaystyle ( 0,~1,~ \sqrt {3} ) $로 옮겨졌을 때 $\displaystyle T $ 의 행렬을 구하시오. (5점)

 

 

 

*해설: https://youtu.be/j7ZY27O8w7Q

 

$\displaystyle \left ( \sqrt {2} ,~ \sqrt {2} ,~0 \right ) $을 $\displaystyle z $축을 중심으로 시계반대방향으로 $\displaystyle \frac {\pi } {4} $만큼 회전이동하면 $\displaystyle \left ( 0,~2,~0 \right ) $이다. 또, $\displaystyle \left ( 0,~2,~0 \right ) $을 $\displaystyle x $축을 중심으로 시계반대방향으로 $\displaystyle \frac {\pi } {3} $만큼 회전이동하면 $\displaystyle \left ( 0,~1,~ \sqrt {3} \right ) $이 된다.

이를 행렬로 나타내면

$\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\0 & \frac {1} {2} & -\frac {\sqrt {3} }   {2} \\0 & \frac{\sqrt {3} }   {2} & \frac{1}   {2} } \right) \left ( \matrix { \frac {1}   {\sqrt {2} } & - \frac{1}   {\sqrt {2} } & 0 \\ \frac{1}  {\sqrt {2} } & \frac  {1}  {\sqrt {2} } & 0\\0 & 1 & 1} \right) = \left ( \matrix {\frac {1}   {\sqrt {2}}  & -\frac {1}  {\sqrt {2} } & 0\\ \frac {1}   {2 \sqrt {2} } &\frac {1}   {2 \sqrt {2} } & -\frac {\sqrt {3} }   {2} \\\frac {\sqrt {3} }   {2 \sqrt {2} } & \frac{\sqrt {3} }  {2 \sqrt {2} } & \frac{1}   {2} } \right) $

이것을 계산하면 된다.

 

19. 기울기가 $\displaystyle \tan \theta $인 직선 $\displaystyle l:y=\tan \theta x $ 에 대하여 선형변환 $\displaystyle T:\mathbb{R}  ^ {2} ~ \rightarrow ~\mathbb{R}  ^ {2} $를 $\displaystyle \mathbb{R}  ^ {2} $에서 $\displaystyle l $ 위로의 정사영이라 할 때 선형변환 $\displaystyle T $의 행렬을 구하시오. (5점)

 

 

*해설: $\displaystyle \frac {1} {1+\tan ^ {2} \theta } \left ( \matrix {1 & \tan \theta \\\tan \theta & \tan ^ {2} \theta } \right) $

https://youtu.be/bSWjFTe8wNA

 

이 선형변환을 나타내는 행렬을 $\displaystyle M $이면

$\displaystyle  \left ( \matrix {1\\\tan \theta } \right) = \left ( \matrix {1\\\tan \theta } \right) M $, $\displaystyle \left ( \matrix {-\tan \theta \\1} \right) = \left ( \matrix {0\\0}\right)  M $

$\displaystyle  \left ( \matrix {1 & -\tan \theta \\\tan \theta & 1} \right) = \left ( \matrix {1 & 0\\\tan \theta & 0} \right)M $

$\displaystyle \therefore $ $\displaystyle = \left ( \matrix {1 & 0\\\tan \theta & 0} \right) \left ( \matrix {1 & -\tan \theta \\\tan \theta & 1}\right) M ^ {-1} $$\displaystyle = \frac {1} {1+\tan ^ {2} \theta } \left ( \matrix {1 & \tan \theta \\\tan \theta & \tan ^ {2} \theta} \right) $

(다른 풀이)

$\displaystyle ( 1,~0) $은 $\displaystyle \cos \theta ( \cos \theta ,~\sin \theta ) $로 가고

$\displaystyle ( 0,~1) $은 $\displaystyle \sin \theta ( \cos \theta ,~\sin \theta ) $로 가므로 행렬 $\displaystyle M $은

$\displaystyle M= \left ( \matrix {\cos ^ {2} \theta & \sin \theta \cos \theta \\\sin \theta \cos \theta & \sin ^ {2} \theta }\right) $

 

 

 

20.집합$\displaystyle V= \left\{ a+b\cos \theta +c\sin \theta |~a,~b,~c \in \mathbb{R}  \right\} $에 대하여 선형변환 $\displaystyle T:V~ \rightarrow V $ 가 다음과 같이 정의되어 있다.

$\displaystyle T ( f)=f+f ' -f '' $

선형변환 $\displaystyle T $ 의 역변환의 존재성을 보이고 존재한다면 역변환 $\displaystyle T ^ {-1} $의 행렬을 구하시오.

 

 

 

 

 

*해설: https://youtu.be/ozygtjYsij4

 

실수 $\displaystyle a,~b,~c $에 대하여 $\displaystyle f=a+b\cos \theta +c\sin \theta $라 두면

$\displaystyle f=a+b\cos \theta +c\sin \theta $

$\displaystyle f ' =0-b\sin \theta +c\cos \theta $

$\displaystyle f '' =0-b\cos \theta -c\sin \theta $

$\displaystyle f+f ' -f '' =a+ ( 2b+c)\cos \theta + ( 2c-b)\sin \theta $

$\displaystyle T ( f) $를 $\displaystyle a ' +b ' \cos \theta +c ' \sin \theta $라 하면

$\displaystyle a ' =a $,

$\displaystyle b ' =2b+c $,

$\displaystyle c ' =-b+2c $

따라서

$\displaystyle \left ( \matrix {a ' \\b ' \\c ' } \right) = \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 2 & 1\\0 & -1 & 2} \right) \left ( \matrix {a\\b\\c} \right) $

이다. $\displaystyle T ( f) $를 나타내는 행렬은

$\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 2 & 1\\0 & -1 & 2} \right) $

이다.

$\displaystyle \left| \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 2 & 1\\0 & -1 & 2} \right| =1 \left| \matrix {2 & 1\\-1 & 2} \right| =5 \neq 0 $

따라서 역행렬이 존재하므로 역변환이 존재한다.

$\displaystyle C _ {11} =5 $, $\displaystyle C _ {12} =0 $, $\displaystyle C _ {13} =0 $

$\displaystyle C _ {21} =0 $, $\displaystyle C _ {22} =2 $, $\displaystyle C _ {23} =1 $

$\displaystyle C _ {31} =0 $, $\displaystyle C _ {32} =-1 $, $\displaystyle C _ {33} =2 $

따라서 역행렬은

$\displaystyle \frac {1} {5} \left ( \matrix {5 & 0 & 0\\0 & 2 & -1\\0 & 1 & 2} \right) $