[더플러스수학] 2020년 2학년 2학기 중간고사 기출[울산과고]

☞ 답안지의 각 장마다 학년, 반, 번호, 이름을 표기하고, 해당란에 답안을 작성하시오. 모든 문항에는 부분점수가 있으므로, 과정을 반드시 적으시오.

☞ 모든 문항은 서술형입니다.

<용어의 정의>

1. 행렬 \(\displaystyle A \)가 성분이 \(\displaystyle a _ {ij} \)인 \(\displaystyle m \times n \)행렬일 때, \(\displaystyle A=[a _ {ij} ] _ {m \times n} \)이라 한다.
2. 정칙행렬 : 역행렬이 존재하는 행렬

 

1. 두 행렬 \(\displaystyle A= \left ( \matrix {1 & 0 & -1\\0 & 2 & 0\\-1 & 0 & 1} \right) \), \(\displaystyle B= \left ( \matrix {4 & 2 & 0\\1 & 0 & 3\\0 & 1 & -2} \right) \)에 대하여 다음을 계산하시오. [\(\displaystyle 6 \)점]

(1) \(\displaystyle 2A+B \) [\(\displaystyle 1 \)점]

(2) \(\displaystyle AB \) [\(\displaystyle 1 \)점]

(3) \(\displaystyle B ^ {T} A ^ {T} \) [\(\displaystyle 2 \)점]

(4) \(\displaystyle A ^ {10} \) [\(\displaystyle 2 \)점]

정답 및 풀이

(1) 

\(\displaystyle \begin{align} 2A+B & =2 \left ( \matrix {1 & 0 & -1\\0 & 2 & 0\\-1 & 0 & 1} \right) + \left ( \matrix {4 & 2 & 0\\1 & 0 & 3\\0 & 1 & -2} \right) \\& = \left ( \matrix {6 & 2 & -2\\1 & 4 & 3\\-2 & 1 & 0} \right) \end{align}\)

(2)

\(\displaystyle \begin{align}  AB & = \left ( \matrix {1 & 0 & -1\\0 & 2 & 0\\-1 & 0 & 1} \right) \left ( \matrix {4 & 2 & 0\\1 & 0 & 3\\0 & 1 & -2} \right) \\& = \left ( \matrix {4 & 1 & 2\\2 & 0 & 6\\-4 & -1 & -2} \right) \end{align}\)

(3) \(\displaystyle B ^ {T} A ^ {T} \)\(\displaystyle = \left ( AB \right ) ^ {T} \)이고 \(\displaystyle AB \)는 (2)에서 구했으므로 \(\displaystyle \left ( AB \right ) ^ {T} \)를 구해보면

\(\displaystyle \therefore ~ \) \(\displaystyle B ^ {T} A ^ {T} = \left ( \matrix {4 & 2 & -4\\1 & 0 & -1\\2 & 6 & -2} \right) \)

(4) 먼저 \(\displaystyle A ^ {10} \)을 구하기 전에 \(\displaystyle A ^ {2} \), \(\displaystyle A ^ {3} \), \(\displaystyle A ^ {4} \), \(\displaystyle \cdots \)을 차례로 구해서 규칙을 찾아보자.

 

\(\displaystyle A ^ {2} = \left ( \matrix {1 & 0 & -1\\0 & 2 & 0\\-1 & 0 & 1} \right) \left ( \matrix {1 & 0 & -1\\0 & 2 & 0\\-1 & 0 & 1} \right) =2 \left ( \matrix {1 & 0 & -1\\0 & 2 & 0\\-1 & 0 & 1} \right) =2A \),

\(\displaystyle A ^ {3} =2A ^ {2} =2 ^ {2} A \),

\(\displaystyle A ^ {4} =2 ^ {2} A ^ {2} =2 ^ {3} A \),

                      \(\displaystyle \vdots \)

\(\displaystyle \therefore \) \(\displaystyle A ^ {10} =2 ^ {9} A \)

\(\displaystyle A ^ {10} =2 ^ {9} \left ( \matrix {1 & 0 & -1\\0 & 2 & 0\\-1 & 0 & 1} \right) \)

 

2. \(\displaystyle A= \left ( \matrix {a & b\\c & d} \right) \neq O \)에 대하여 \(\displaystyle |A|=0 \)이면 영인자임을 보이시오. (Hint. \(\displaystyle AB=O \)를 만족하는 \(\displaystyle B \)를 구하시오.)[\(\displaystyle 4 \)점]

 

정답 및 풀이

\(\displaystyle A (adj A)=|A|I \) 에서

\(\displaystyle |A|=0 \)이고 \(\displaystyle A \neq O \)이면 \(\displaystyle adjA \)도 비가역이다.

\(\displaystyle \because \) \(\displaystyle adjA \)가 가역이라고 가정하자. 그러면 \(\displaystyle |A|=0 \)이므로

\(\displaystyle A (adj A)=O \)

\(\displaystyle adj A \)가 가역이므로 \(\displaystyle A=O \).

그런데 \(\displaystyle A=O \)이면 \(\displaystyle adj A=O \)이므로 \(\displaystyle adj A \)가 가역일 수 없으므로 모순이다. 따라서 \(\displaystyle adjA \)도 비가역이다.

\(\displaystyle A \neq O \)이므로 \(\displaystyle adjA= \left ( \matrix {d & -b\\-c & a} \right) \neq O \)

따라서 \(\displaystyle B \)를 \(\displaystyle adj A \)라 두면 \(\displaystyle adj A \)가 영인자이다.

 

 

 

3. 다음 연립방정식을 가우스 소거법으로 풀어라. [\(\displaystyle 4 \)점]

\(\displaystyle { \begin {cases} x-2y+3z=1\\2x-2y+z=4\\x-y-2z=-3\end {cases} } \)

 

정답 및 풀이

연립방정식을 행렬로 표현하면

\(\displaystyle \left[ \matrix {1 & -2 & 3\\2 & -2 & 1\\1 & -1 & -2} \right] \left[ \matrix {x\\y\\z} \right] = \left[ \matrix {1\\4\\-3} \right] \)

위의 식에서 \(\displaystyle \left[ \matrix {1\\4\\-3} \right] \)을 첨가하여 행렬로 표현하면

\(\displaystyle \left[ \matrix {1 & -2 & 3 & 1\\2 & -2 & 1 & 4\\1 & -1 & -2 & -3} \right] \)

\(\displaystyle 1 \)행에 \(\displaystyle ( -2) \)를 곱하여 \(\displaystyle 2 \)행에 더하면

\(\displaystyle \left[ \matrix {1 & -2 & 3 & 1\\0 & 2 & -5 & 2\\1 & -1 & -2 & -3} \right] \)

\(\displaystyle 1 \)행에 \(\displaystyle ( -1) \)을 곱하여 \(\displaystyle 3 \)행에 더하면

\(\displaystyle \left[ \matrix {1 & -2 & 3 & 1\\0 & 2 & -5 & 2\\0 & 1 & -5 & -4} \right] \)

\(\displaystyle 2 \)행과 \(\displaystyle 3 \)행을 바꾸면

\(\displaystyle \left[ \matrix {1 & -2 & 3 & 1\\0 & 1 & -5 & -4\\0 & 2 & -5 & 2} \right] \)

\(\displaystyle 2 \)행에 \(\displaystyle \left ( -2 \right ) \)을 곱하여 \(\displaystyle 3 \)행에 더하면

\(\displaystyle \left[ \matrix {1 & -2 & 3 & 1\\0 & 1 & -5 & -5\\0 & 0 & 5 & 10} \right] \)

\(\displaystyle 3 \)행을 \(\displaystyle 5 \)로 나누면

\(\displaystyle \left[ \matrix {1 & -2 & 3 & 1\\0 & 1 & -5 & -5\\0 & 0 & 1 & 2} \right] \)

\(\displaystyle z=2 \), \(\displaystyle y=5z-5=5 \left ( 2-1 \right ) =5 \)

\(\displaystyle x=2y-3z-1=2 ( 5)-3 \left ( 2 \right ) -1=3 \)

\(\displaystyle \therefore \) \(\displaystyle x=3 \), \(\displaystyle y=5 \), \(\displaystyle z=2 \)

 

 

 

 

4. 다음 행렬의 행렬식을 구하시오. [\(\displaystyle 5 \)점]

(1) \(\displaystyle \left ( \matrix {2 & -3 & 1\\0 & 1 & 1\\3 & 0 & -2} \right) \)   [\(\displaystyle 2 \)점]

(2) \(\displaystyle \left ( \matrix {2 & 3 & 2 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0 & 0\\3 & 3 & 0 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2} \right) \)   [\(\displaystyle 2 \)점]

 

정답 및 풀이

(1) \(\displaystyle \left | \matrix {2 & -3 & 1\\0 & 1 & 1\\3 & 0 & -2}  \right | =2 \left | \matrix {1 & 1\\0 & -2} \right | +3 \left | \matrix {-3 & 1\\1 & 1}  \right | =-4-12=-16 \)

(2) \(\displaystyle \left | \matrix {2 & 3 & 2 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0 & 0\\3 & 3 & 0 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | \)에서 \(\displaystyle 1 \)행에 \(\displaystyle ( -1) \)를 곱해서 \(\displaystyle 3 \)행을 더하면

\(\displaystyle \left | \matrix {2 & 3 & 2 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0 & 0\\3 & 3 & 0 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | = \left | \matrix {2 & 3 & 2 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | \)

\(\displaystyle 2 \)행에 \(\displaystyle ( -1) \)를 곱하여 \(\displaystyle 1 \)행에 더하면

\(\displaystyle \left | \matrix {2 & 3 & 2 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | = \left | \matrix {0 & 2 & 2 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | \)

\(\displaystyle 1 \)행에서 \(\displaystyle 2 \)로 묶어 내면

\(\displaystyle \left | \matrix {0 & 2 & 2 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | =2 \left | \matrix {0 & 1 & 1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | \)

\(\displaystyle 3 \)행과 \(\displaystyle 1 \)행을 바꾸면

\(\displaystyle 2 \left | \matrix {0 & 1 & 1 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | =-2 \left | \matrix {1 & 0 & 0 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2} \right | \)

\(\displaystyle 1 \)행에 \(\displaystyle ( -2) \)배하여 \(\displaystyle 2 \)행에 더하면

\(\displaystyle -2 \left | \matrix {1 & 0 & 0 & 0 & 0\\2 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | =-2 \left | \matrix {1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2} \right | \)

\(\displaystyle 2 \)행에 \(\displaystyle ( -1) \)배하여 \(\displaystyle 3 \)행에 더하면

\(\displaystyle -2 \left | \matrix {1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | =-2 \left | \matrix {1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2} \right | \)

\(\displaystyle 1 \)행에 \(\displaystyle ( -8) \)배하여 \(\displaystyle 4 \)행에 더하고, \(\displaystyle 1 \)행에 \(\displaystyle ( -7) \)배하여 \(\displaystyle 5 \)행에 더하면

\(\displaystyle -2 \left | \matrix {1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\8 & 9 & 7 & 2 & 3\\7 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | =-2 \left | \matrix {1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 9 & 7 & 2 & 3\\0 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | \)

마찬가지로 \(\displaystyle 2 \)행에 \(\displaystyle ( -9) \)배하여 \(\displaystyle 4 \)행에 더하고, \(\displaystyle 2 \)행에 \(\displaystyle -2 \)배하여 \(\displaystyle 5 \)행에 더하면

\(\displaystyle -2 \left | \matrix {1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 9 & 7 & 2 & 3\\0 & 2 & 3 & 1 & 2}  \right | =-2 \left | \matrix {1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 7 & 2 & 3\\0 & 0 & 3 & 1 & 2}  \right | \)

마찬가지로 \(\displaystyle 3 \)행에 \(\displaystyle ( -7) \)배하여 \(\displaystyle 4 \)행에 더하고, \(\displaystyle 3 \)행에 \(\displaystyle -3 \)배하여 \(\displaystyle 5 \)행에 더하면

\(\displaystyle -2 \left | \matrix {1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 7 & 2 & 3\\0 & 0 & 3 & 1 & 2}  \right | =-2 \left | \matrix {1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 2 & 3\\0 & 0 & 0 & 1 & 2}  \right | \)

이 행렬식을 차례대로 \(\displaystyle 1 \)행, \(\displaystyle 2 \)행, \(\displaystyle 3 \)행에 대해 전개하면

\(\displaystyle -2 \left | \matrix {1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 2 & 3\\0 & 0 & 0 & 1 & 2}  \right | =-2 \left | \matrix {2 & 3\\1 & 2}  \right | =-2 \)

 

 

5. 다음 방법을 이용하여 \(\displaystyle A= \left ( \matrix {1 & 2 & -1\\0 & 2 & 4\\1 & 3 & 0} \right) \)의 역행렬을 구하시오. [\(\displaystyle 6 \)점]

(1) 가우스 소거법 [\(\displaystyle 3 \)점]

(2) 행렬식  [\(\displaystyle 3 \)점]

 

 

정답 및 풀이

(1) \(\displaystyle A= \left ( \matrix {1 & 2 & -1\\0 & 2 & 4\\1 & 3 & 0} \right) \)에서 단위행렬 \(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1}  \right) \)을 행렬 \(\displaystyle A \)에 첨가하여 행렬을 만들면

\(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0\\1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1}  \right ) \)

\(\displaystyle 1 \)행에 \(\displaystyle ( -1) \)를 곱하여 \(\displaystyle 3 \)행에 더하면

\(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1} \right ) \)

\(\displaystyle 2 \)행에 \(\displaystyle - \frac {1} {2} \)을 곱하여 \(\displaystyle 3 \)행에 더하면

\(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1 & -1 & - \frac {1} {2} & 1}   \right ) \)

\(\displaystyle 3 \)행에 \(\displaystyle \left ( -1 \right ) \)을 곱하면

\(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & 1 & \frac {1} {2} & -1}   \right ) \)

\(\displaystyle 3 \)행에 \(\displaystyle ( -4) \)를 곱하여 \(\displaystyle 2 \)행에 더하면

\(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0 & -4 & -1 & 4\\0 & 0 & 1 & 1 & \frac {1} {2} & -1}   \right ) \)

\(\displaystyle 3 \)행을 \(\displaystyle 1 \)행에 더하면

\(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 2 & 0 & 2 & \frac {1} {2} & -1\\0 & 2 & 0 & -4 & -1 & 4\\0 & 0 & 1 & 1 & \frac {1} {2} & -1}  \right ) \)

\(\displaystyle 2 \)행에 \(\displaystyle \left ( -1 \right ) \)을 곱하여 \(\displaystyle 1 \)행에 더하면

\(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0 & 0 & 6 & \frac {3} {2} & -5\\0 & 2 & 0 & -4 & -1 & 4\\0 & 0 & 1 & 1 & \frac {1} {2} & -1}  \right ) \)

이제 \(\displaystyle 2 \)행에 \(\displaystyle \frac {1} {2} \)배를 하면

\(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0 & 0 & 6 & \frac {3} {2} & -5\\0 & 1 & 0 & -2 & - \frac {1} {2} & 2\\0 & 0 & 1 & 1 & \frac {1} {2} & -1}  \right ) \)

따라서 \(\displaystyle A ^ {-1} \)은

\(\displaystyle A ^ {-1} = \left ( \matrix {6 & \frac {3} {2} & -5\\-2 & - \frac {1} {2} & 2\\1 & \frac {1} {2} & -1}  \right ) \)

 

(2) \(\displaystyle A= \left ( \matrix {1 & 2 & -1\\0 & 2 & 4\\1 & 3 & 0}\right) \)에서

\(\displaystyle |A|=1 \left | \matrix {2 & 4\\3 & 0}  \right | +1 \left | \matrix {2 & -1\\2 & 4}  \right | =-12+10=-2 \)

\(\displaystyle A _ {11} = \left | \matrix {2 & 4\\3 & 0} \right | =-12 \), \(\displaystyle A _ {12} = \left | \matrix {0 & 4\\1 & 3} \right | =-4 \), \(\displaystyle A _ {13} = \left | \matrix {0 & 2\\1 & 3}  \right | =-2 \),

\(\displaystyle A _ {21} = \left | \matrix {2 & -1\\3 & 0}  \right | =3 \), \(\displaystyle A _ {22} = \left | \matrix {1 & -1\\1 & 0}  \right | =1 \), \(\displaystyle A _ {23} = \left | \matrix {1 & 2\\1 & 3}  \right | =1 \),

\(\displaystyle A _ {31} = \left | \matrix {2 & -1\\2 & 4}  \right | =10 \), \(\displaystyle A _ {32} = \left | \matrix {1 & -1\\0 & 4}  \right | =4 \), \(\displaystyle A _ {33} = \left | \matrix {1 & 2\\0 & 2}  \right | =2 \)

따라서

\(\displaystyle A ^ {-1} = \frac {1} {|A|} \left[ \matrix {A _ {11} & -A _ {21} & A _ {31} \\-A _ {12} & A _ {22} & -A _ {32} \\A _ {13} & -A _ {23} & A _ {33}  } \right]\)

이므로

\(\displaystyle A ^ {-1} = \frac {1} {-2} \left[ \matrix {-12 & -3 & 10\\4 & 1 & -4\\-2 & -1 & 2 }\right]  = \left[ \matrix {6 & \frac {3} {2} & -5\\-2 & - \frac {1} {2} & 2\\1 & \frac {1} {2} & -1} \right] \)

 

 

 

6. 행렬을 이용하여 다음 세 벡터  \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \overrightarrow {v _ {3} } \)가 일차독립인지 확인하시오. [\(\displaystyle 4 \)점]

\(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } = \left ( 2,~0,~-1 \right ) \),  \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {2} } = \left ( -3,~3,~0 \right ) \), \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {3} } = \left ( 2,~-1,~5 \right ) \)

 

 

정답 및 풀이

\(\displaystyle a \overrightarrow {v _ {1} } +b \overrightarrow {v _ {2} } +c \overrightarrow {v _ {3} } = \overrightarrow {0} \)에서 \(\displaystyle ( a,~b,~c) \neq ( 0,~0,~0) \)인 \(\displaystyle a,~b,~c \)가 존재하면 일차종속이고, 해가 \(\displaystyle ( 0,~0,~0) \)만 있을 때는 일차독립이다.

\(\displaystyle a \overrightarrow {v _ {1} } +b \overrightarrow {v _ {2} } +c \overrightarrow {v _ {3} } = \overrightarrow {0} \)을 행렬로 표현하면

\(\displaystyle  a \left ( \matrix {2\\0\\-1} \right) +b \left ( \matrix {-3\\3\\0} \right) +c \left ( \matrix {2\\-1\\5}\right) = \left ( \matrix {0\\0\\0} \right) \)

\(\displaystyle  \left ( \matrix {1 & 2 & -1\\0 & 2 & 4\\1 & 3 & 0} \right) \left ( \matrix {a\\b\\c} \right) = \left ( \matrix {0\\0\\0} \right) \)

\(\displaystyle \begin{align} \left| \matrix {1 & 2 & -1\\0 & 2 & 4\\1 & 3 & 0}\right| &  =2 \left| \matrix {1 & 2 & -1\\0 & 1 & 2\\1 & 3 & 0} \right|   =2 \left| \matrix {1 & 2 & -1\\0 & 1 & 2\\0 & 1 & 1} \right| \\& =2 \left| \matrix {1 & 2 & -1\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & -1} \right|  =-2 \left| \matrix {1 & 2 & -1\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1} \right|  \\& = ( -2) \times 1 \times 1=-2 \neq 0 \end{align}\)

따라서 계수행렬은 정칙행렬이므로 방정식의 해는 \(\displaystyle ( 0,~0,~0) \) 뿐이다. 따라서 세 벡터는 일차독립이다.

 

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7. 두 선형변환 \(\displaystyle T:V \rightarrow V,~S:V \rightarrow V \)의 합성변환을

\(\displaystyle S \circ T~:~V \rightarrow V \),  \(\displaystyle \left ( S \circ T \right ) ( v)=S \left ( T ( v) \right ) \)

로 정의하면 \(\displaystyle S \circ T \)도 선형변환임을 보이시오. [\(\displaystyle 4 \)점]

 

정답 및 풀이

\(\displaystyle T,~S \)는 선형변환이므로 \(\displaystyle \overrightarrow {v} \in V \), \(\displaystyle a \in R \)에 대하여

\(\displaystyle \begin{align} ( S \circ T) ( a \overrightarrow {v} ) &=S \left ( T ( a \overrightarrow {v} ) \right ) =S \left ( aT ( \overrightarrow {v} ) \right ) \\& =aS \left ( T \left ( \overrightarrow {v} \right ) \right ) =a \left ( S \circ V \right ) ( \overrightarrow {v} ) \end{align}\)

\(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } \in V \)에 대하여

\(\displaystyle \begin{align} ( S \circ T) ( \overrightarrow {v _ {1} } + \overrightarrow {v _ {2} } ) & =S \left ( T ( \overrightarrow {v _ {1} } )+T \left ( \overrightarrow {v _ {2} } \right ) \right ) \\&  =S \left ( T ( \overrightarrow {v _ {1} } ) \right ) +S \left ( T \left ( \overrightarrow {v _ {2} } \right ) \right ) \\&  = \left ( S \circ V \right ) ( \overrightarrow {v _ {1} } )+ \left ( S \circ V \right ) \left ( \overrightarrow {v _ {2} } \right ) \end{align}\)

따라서 선형변환의 정의에 의해 \(\displaystyle S \circ T \)는 선형변환이다.

 

 

 

 

8. 다음은 \(\displaystyle < \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \cdots ,~ \overrightarrow {v _ {n} } > \)의 정의를 서술한 것이다.

---

\(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \cdots ,~ \overrightarrow {v _ {n} } \in R ^ {2} \)에 대하여 \(\displaystyle < \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \cdots ,~ \overrightarrow {v _ {n} } > \) 를 다음과 같이 정의한다.

\(\displaystyle < \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \cdots ,~ \overrightarrow {v _ {n} } > = \left\{ a _ {1} \overrightarrow {v _ {1} } +a _ {2} \overrightarrow {v _ {2} } + \cdots +a _ {n} \overrightarrow {v _ {n} } ~|~a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {n} \in \mathbb{R} \right\} \)

---

\(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } = ( 1,~-1) \), \(\displaystyle v _ {2} = ( 2,~3) \),  \(\displaystyle v _ {3} = ( -2,~1) \)라 할  때, 다음 물음에 답하시오. [\(\displaystyle 7 \)점]

(1)\(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \overrightarrow {v _ {3} } \)는 일차종속임을 보이오. [\(\displaystyle 2 \)점]

(2) 임의의 \(\displaystyle \left ( a,~b \right ) \in \mathbb{R} ^ {2} \)에 대하여 \(\displaystyle \left ( a,~b \right ) = < v _ {1} ,~v _ {2} > \)임을 보이시오. [\(\displaystyle 2 \)점]

(3)  \(\displaystyle \left ( 2,~0 \right ) =a _ {1} \overrightarrow {v _ {1} } +a _ {2} \overrightarrow {v _ {2} } +a _ {3} \overrightarrow {v _ {3} } \)를 만족하는 \(\displaystyle a _ {1} ,~a _ {2} ,~a _ {3} \)에 대하여 \(\displaystyle a _ {2} =t \)라 할 때, \(\displaystyle a _ {1} ,~a _ {3} \)를 \(\displaystyle t \)로 나타내시오. [\(\displaystyle 3 \)점]

 

 

정답 및 풀이

\(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \overrightarrow {v _ {3} } \)에 대하여 다음 방정식의 해를 구해보자.

\(\displaystyle a \overrightarrow {v _ {1} } +b \overrightarrow {v _ {2} } +c \overrightarrow {v _ {3} } = \overrightarrow {0} \)

\(\displaystyle a \left ( 1,~-1 \right ) +b \left ( 2,~3 \right ) +c \left ( -2,~1 \right ) = \left ( 0,~0 \right ) \)

\(\displaystyle \begin{cases} a+2b-2c=0\\-a+3b+c=0 \end{cases} \)

의 해는 \(\displaystyle a=-8,~b=9,~c=5 \) 처럼 \(\displaystyle ( 0,~0,~0) \)이외의 해가 존재하므로 일차종속이다.

(2) \(\displaystyle \left ( a,~b \right ) =<v _ {1} ,~v _ {2} > \)에서

\(\displaystyle \left ( a,~b \right ) =a _ {1} \overrightarrow {v _ {1} } +a _ {2} \overrightarrow {v _ {2} } \)

\(\displaystyle \left ( a,~b \right ) =a _ {1} \left ( 1,~-1 \right ) +a _ {2} \left ( 2,~3 \right ) \)

\(\displaystyle \begin{cases} a=a _ {1} +2a _ {2} \\b=-a _ {1} +3a _ {2} \end{cases} \)

\(\displaystyle \left ( \matrix {a\\b} \right) = \left ( \matrix {1 & 2\\-1 & 3} \right) \left ( \matrix {a _ {1} \\a _ {2} } \right) \)

\(\displaystyle \left| \matrix {1 & 2\\-1 & 3} \right| =5 \neq 0 \)

임의의 \(\displaystyle ( a,~b) \)에 대하여 \(\displaystyle ( a _ {1} ,~a _ {2} ) \)가 존재한다.

(3) \(\displaystyle a _ {2} =t \)에 대입하면 \(\displaystyle \left ( 2,~0 \right ) =a _ {1} \overrightarrow {v _ {1} } +t \overrightarrow {v _ {2} } +a _ {3} \overrightarrow {v _ {3} } \)

\(\displaystyle \begin{cases} 2=a _ {1} +2t-2a _ {3} \\0=-a _ {1} +3t+a _ {3}   \end{cases} \) \(\displaystyle \Longleftrightarrow \) \(\displaystyle \begin{cases} 2-2t=a _ {1} -2a _ {3} \\-3t=-a _ {1} +a _ {3} \end{cases}  \)

\(\displaystyle\left ( \matrix {2-2t\\-3t} \right) = \left ( \matrix {1 & -2\\-1 & 1} \right)  \left ( \matrix {a _ {1} \\a _ {3} } \right)  \) \(\displaystyle \Longleftrightarrow \) 

\(\displaystyle \begin{align} \left ( \matrix {a _ {1} \\a _ {3} }\right)   &= \left ( \matrix {1 & -2\\-1 & 1} \right) ^ {-1} \left ( \matrix {2- 2t\\-3t} \right)    \\&= \frac {1} {-1} \left ( \matrix {1 & 2\\1 & 1}\right) \left ( \matrix {2-2t\\-3t} \right) \\&= \left ( \matrix {8t-2\\5t-2} \right)  \end{align}\)

\(\displaystyle \therefore \) \(\displaystyle a _ {1} =8t-2 \), \(\displaystyle a _ {3} =5t-2 \)

 

 

9. 다음과 같이 정의된 선형변환에 대하여 다음 물음에 답하시오. [\(\displaystyle 6 \)점]

\(\displaystyle T~:~\mathbb{R} ^ {3} \rightarrow \mathbb{R} ^ {3} ,~ ( y _ {1} ,~y _ {2} ,~y _ {3} )=T ( x _ {1} ,~x _ {2} ,~x _ {3} ) \)

\(\displaystyle  \begin {cases} y _ {1} =2x _ {1} - x _ {2} +x _ {3} \\y _ {2} =2x _ {2} +x _ {3} \\y _ {3} =x _ {1} +x _ {3} \end {cases}   \)

(1) \(\displaystyle T ( 1,~0,~0) \), \(\displaystyle T ( 0,~1,~0) \), \(\displaystyle T ( 0,~0,~1) \)을 구하시오. [\(\displaystyle 2 \)점]

(2) 등식 \(\displaystyle ( y _ {1} ,~y _ {2} ,~y _ {3} )=T ( x _ {1} ,~x _ {2} ,~x _ {3} ) \)를 행렬로 나타내시오. [\(\displaystyle 1 \)점]

(3) \(\displaystyle T ( 1,~1,~1) \), \(\displaystyle T ^ {-1} ( 2,~-1,~1) \)을 구하시오. [\(\displaystyle 3 \)점]

 

정답 및 풀이

(1) \(\displaystyle T~:~R ^ {3} \rightarrow R ^ {3} ,~ ( y _ {1} ,~y _ {2} ,~y _ {3} )=T ( x _ {1} ,~x _ {2} ,~x _ {3} ) \)

\(\displaystyle \begin{cases} y _ {1} =2x _ {1} -x _ {2} +x _ {3} \\y _ {2} =2x _ {2} +x _ {3} \\y _ {3} =x _ {1} +x _ {3} \end{cases} \)

에서

\(\displaystyle T ( 1,~0,~0) \)\(\displaystyle = \left ( 2,~0,~1 \right ) \), \(\displaystyle T ( 0,~1,~0) \)\(\displaystyle = \left ( -1,~2,~0 \right ) \), \(\displaystyle T ( 0,~0,~1) \)\(\displaystyle = \left ( 1,~1,~1 \right ) \)

(2) 

\(\displaystyle \begin{align} \left ( \matrix {y _ {1} \\y _ {2} \\y _ {3} } \right)  &  =x _ {1} \left ( \matrix {2\\0\\1} \right)  +x _ {2} \left ( \matrix {-1\\2\\0} \right)  +x _ {3} \left ( \matrix {1\\1\\1} \right)  \\& = \left ( \matrix {2 & -1 & 1\\0 & 2 & 1\\1 & 0 & 1} \right)  \left ( \matrix {x _ {1} \\x _ {2} \\x _ {3} } \right)  \end{align}\)

따라서 행렬은

\(\displaystyle \left ( \matrix {2 & -1 & 1\\0 & 2 & 1\\1 & 0 & 1} \right) \)

(3) \(\displaystyle  T ( 1,~1,~1)= \left ( \matrix {2 & -1 & 1\\0 & 2 & 1\\1 & 0 & 1} \right) \left ( \matrix {1\\1\\1} \right) = \left ( \matrix {2\\3\\2} \right) \)

\(\displaystyle T ^ {-1} ( 2,~-1,~1)= \left ( \matrix {2 & -1 & 1\\0 & 2 & 1\\1 & 0 & 1}\right) ^ {-1} \left ( \matrix {2\\-1\\1} \right) \)

여기서 \(\displaystyle \left ( \matrix {2 & -1 & 1\\0 & 2 & 1\\1 & 0 & 1} \right) ^ {-1} \)을 구해보자.

\(\displaystyle A= \left ( \matrix {2 & -1 & 1\\0 & 2 & 1\\1 & 0 & 1} \right) \)라 할 때,

\(\displaystyle|A|=2 \left| \matrix {2 & 1\\0 & 1} \right| +1 \left| \matrix {-1 & 1\\2 & 1} \right|=1 \)

\(\displaystyle  A _ {11} = \left| \matrix {2 & 1\\0 & 1} \right| =2 \), \(\displaystyle A _ {12} =- \left| \matrix {0 & 1\\1 & 1} \right|  =1 \), \(\displaystyle A _ {13} = \left| \matrix {0 & 2\\1 & 0}\right|  =-2 \),

\(\displaystyle  A _ {21} =- \left| \matrix {-1 & 1\\0 & 1} \right|  =1 \), \(\displaystyle  A _ {22} = \left| \matrix {2 & 1\\1 & 1} \right|  =1 \), \(\displaystyle A _ {23} =- \left| \matrix {2 & -1\\1 & 0} \right|  =1 \),

\(\displaystyle  A _ {31} = \left| \matrix {-1 & 1\\2 & 1} \right|  =-3 \), \(\displaystyle A _ {32} =- \left| \matrix {2 & 1\\0 & 1} \right|  =-1 \), \(\displaystyle A _ {33} = \left| \matrix {2 & -1\\0 & 2} \right|  =4 \)

\(\displaystyle A ^ {-1} \)\(\displaystyle = \frac {1} {\vert A \vert } adjA \)\(\displaystyle = \frac {1} {1} \left ( \matrix {2 & 1 & -3\\1 & 1 & -1\\-2 & 1 & 4} \right) \)

\(\displaystyle \therefore \) \(\displaystyle T ^ {-1} ( 2,~-1,~1)= \left ( \matrix {2 & 1 & -3\\1 & 1 & -1\\-2 & 1 & 4} \right) \left ( \matrix {2\\-1\\1} \right) = \left ( \matrix {0\\0\\-1} \right) \)

 

10. \(\displaystyle A=[a _ {ij} ] _ {m \times n} \)가 정칙행렬일 때, 다음을 증명하시오. [\(\displaystyle 7 \)점]
(단, (1), (2)는 수학적 귀납법을 이용하여 증명하시오.)

(1) \(\displaystyle n \)이 \(\displaystyle 2 \)이상인 자연수일 때, 

\(\displaystyle \left ( A ^ {n} \right ) ^ {-1} = \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {n} \)

이다. [\(\displaystyle 2 \)점] (단, 역행렬의 정의를 이용하시오.)

(2) \(\displaystyle n \)이 \(\displaystyle 2 \)이상인 자연수일 때,

\(\displaystyle \left ( A ^ {n} \right ) ^ {T} = \left ( A ^ {T} \right ) ^ {n} \)

이다. [\(\displaystyle 2 \)점] (Hint : 다음 명제를 이용하시오. \(\displaystyle n \)차 정사각행렬 \(\displaystyle A,~B \)에 대하여 \(\displaystyle \left ( AB \right ) ^ {T} =B ^ {T} A ^ {T} \)이다.)

(3) \(\displaystyle n \)이 정수일 때, 

\(\displaystyle \left ( A ^ {n} \right ) ^ {T} = \left ( A ^ {T} \right ) ^ {n} \)

이다. [\(\displaystyle 3 \)점] (단, \(\displaystyle A ^ {0} =I,~A ^ {-n} = \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {n} \) )

 

 

정답 및 풀이

(1) \(\displaystyle n=2 \)일 때,

\(\displaystyle A ^ {2} ( A ^ {-1} ) ^ {2} =A ( AA ^ {-1} )A ^ {-1} =AIA ^ {-1} =AA ^ {-1} =I \)

\(\displaystyle ( A ^ {-1} ) ^ {2} A ^ {2} =A ^ {-1} ( A ^ {-1} A)A=A ^ {-1} IA=A ^ {-1} A=I \)

또, 역행렬의 유일성에 의해

\(\displaystyle ( A ^ {2} ) ^ {-1} = ( A ^ {-1} ) ^ {2} \)

\(\displaystyle n=k \)일 때, \(\displaystyle ( A ^ {k} ) ^ {-1} = ( A ^ {-1} ) ^ {k} \)가 성립한다고 가정하자.

\(\displaystyle A ^ {k+1} ( A ^ {-1} ) ^ {k+1} =A ( A ^ {k} A ^ {-k} )A ^ {-1} =AIA ^ {-1} =AA ^ {-1} =I \)

\(\displaystyle ( A ^ {-1} ) ^ {k+1} A ^ {k} =A ^ {-1} \left\{ ( A ^ {-1} ) ^ {k} A ^ {k} \right\} A=A ^ {-1} IA=A ^ {-1} A=I \)

이므로 역행렬의 유일성에 의해

\(\displaystyle ( A ^ {k+1} ) ^ {-1} = ( A ^ {-1} ) ^ {k+1} \)

(2) \(\displaystyle n=2 \)일 때, 힌트 \(\displaystyle \left ( AB \right ) ^ {T} =B ^ {T} A ^ {T} \)에 의해

\(\displaystyle ( A ^ {2} ) ^ {T} = ( AA) ^ {T} =A ^ {T} A ^ {T} = \left ( A ^ {T} \right ) ^ {2} \)

\(\displaystyle n=k \)일 때, \(\displaystyle \left ( A ^ {k} \right ) ^ {T} = \left ( A ^ {T} \right ) ^ {k} \)가 성립한다고 가정하자.

\(\displaystyle \left ( A ^ {k+1} \right ) ^ {T} = ( A ^ {k} A) ^ {T} =A ^ {T} \left ( A ^ {k} \right ) ^ {T} =A ^ {T} ( A ^ {T} ) ^ {k} = \left ( A ^ {T} \right ) ^ {k+1} \)

이므로 \(\displaystyle n=k+1 \)일 때도 성립한다.

 

(3) \(\displaystyle n=0 \)일 때, 단위행렬 \(\displaystyle I \)는 대각행렬이므로

\(\displaystyle \left ( A ^ {0} \right ) ^ {T} =I ^ {T} =I \)

\(\displaystyle n=1 \)일 때, \(\displaystyle \left ( A ^ {1} \right ) ^ {T} =A ^ {T} = \left ( A ^ {T} \right ) ^ {1} \)이므로 성립한다.

\(\displaystyle n=-1 \)일 때, \(\displaystyle \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {T} = \left ( A ^ {T} \right ) ^ {-1} \)임을 보이면 된다. 즉

\(\displaystyle I=AA ^ {-1} \)에서 \(\displaystyle I=I ^ {T} = \left ( AA ^ {-1} \right ) ^ {T} = \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {T} A ^ {T} \)

\(\displaystyle I=A ^ {-1} A \)에서 \(\displaystyle I=I ^ {T} = \left ( A ^ {-1} A \right ) ^ {T} =A ^ {T} \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {T} \)

\(\displaystyle A ^ {T} \)의 역행렬은 \(\displaystyle ( A ^ {-1} ) ^ {T} \)이다. 또, 역행렬의 유일성에 의해

\(\displaystyle \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {T} = \left ( A ^ {T} \right ) ^ {-1} \) \(\displaystyle \cdots \)(*)

\(\displaystyle n \leq -2 \)일 때, \(\displaystyle -n=m \)으로 치환하면 \(\displaystyle m \geq 2 \)인 자연수이다.

(2)의 행렬 \(\displaystyle A \)는 임의의 행렬에서도 성립하므로 (2)의 \(\displaystyle A \)를 \(\displaystyle A ^ {-1} \)이로 해도 성립하므로

\(\displaystyle ( A ^ {n} ) ^ {T} = \left ( A ^ {-m} \right ) ^ {T} = \left ( \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {m} \right ) ^ {T} = \left ( \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {T} \right ) ^ {m} \)

또, (*)에 의해 위의 식은

\(\displaystyle ( A ^ {n} ) ^ {T} = \left ( \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {T} \right ) ^ {m} = \left ( \left ( A ^ {T} \right ) ^ {-1} \right ) ^ {m} \)\(\displaystyle \cdots \)(**)

또, (3)의 (단, \(\displaystyle A ^ {0} =I,~A ^ {-n} = \left ( A ^ {-1} \right ) ^ {n} \) )이므로

(**)는

\(\displaystyle ( A ^ {n} ) ^ {T} = \left ( \left ( A ^ {T} \right ) ^ {-1} \right ) ^ {m} = \left ( A ^ {T} \right ) ^ {-m} = \left ( A ^ {T} \right ) ^ {n} \)

따라서 \(\displaystyle n \leq -2 \)인 모든 정수에서도 성립한다.

따라서 모든 정수 \(\displaystyle n \)에 대하여 \(\displaystyle \left ( A ^ {n} \right ) ^ {T} = \left ( A ^ {T} \right ) ^ {n} \)

 

 

 

 

11. 다음과 같은 조건에서 \(\displaystyle n \)차 정사각행렬 \(\displaystyle A \)에 대하여  \(\displaystyle \left | adjA \right | = \left | A \right | ^ {n-1} \)임을 증명하시오. (단, \(\displaystyle adjA \)는 \(\displaystyle A \)의 수반행렬) [\(\displaystyle 6 \)점]

(1) \(\displaystyle \left | A \right | \neq 0 \) [\(\displaystyle 2 \)점]

(2) \(\displaystyle A=O \) [\(\displaystyle 1 \)점]

(3) \(\displaystyle A \neq O \)이고 \(\displaystyle \left | A \right | =0 \) [\(\displaystyle 3 \)점]

 

정답 및 풀이

(1) \(\displaystyle \left | A \right | \neq 0 \)라 가정하면

\(\displaystyle A \left ( adj A \right ) = \vert A \vert I \)

에서

\(\displaystyle \left | A ( adjA) \right|=|A||I|  ~\rightarrow ~ |A||adjA|=|A| ^ {n} \)

\(\displaystyle \therefore \) \(\displaystyle \left | adj A \right | = \left | A \right | ^ {n-1} \)

 

(2) \(\displaystyle A=O \)이면 \(\displaystyle adjA=O \) (\(\displaystyle \because \) \(\displaystyle A _ {ij} =0 \)), 또, \(\displaystyle |A|=0 \)이므로

\(\displaystyle |adjA|=|O|=0 \)

\(\displaystyle \therefore \) \(\displaystyle |adjA|=0=0 ^ {n-1} =|A| ^ {n-1} \)

(3) \(\displaystyle A \neq O \)이고 \(\displaystyle |A|=0 \)이라 가정하면

\(\displaystyle A ( adjA)=|A|I=O \)

\(\displaystyle adjA \)가 정칙행렬이 아니다. (증명 : \(\displaystyle adjA \)가 가역행렬이라 하면 \(\displaystyle A=|A| ( adjA) ^ {-1} \)이므로 \(\displaystyle |A| \neq 0 \)

따라서 \(\displaystyle |A|=0 \)이라는 가정에 모순)

따라서

\(\displaystyle |adjA|=0=0 ^ {n-1} =|A| ^ {n-1} \)

 

 

[12-13] 다음을 읽고 물음에 답하시오.

---

(가) 다음 네 조건을 모두 만족시키는 행렬을 기약 행 사다리꼴 행렬이라고 한다.

1. 행 중에서 \(\displaystyle 0 \)만으로 이루어진 행은 아래쪽에 놓여 있다.

2. 각 행에서 처음으로 \(\displaystyle 0 \)이 아닌 성분은 \(\displaystyle 1 \)이다.

3. 조건 \(\displaystyle 2. \)의 \(\displaystyle 1 \)은 행의 번호가 커질수록 오른쪽에 더 치우쳐 놓여 있다.

4. 조건 \(\displaystyle 2. \)의 \(\displaystyle 1 \)이 들어 있는 열의 나머지 성분은 모두 \(\displaystyle 0 \)이다.

(나) 행렬 \(\displaystyle A=[a _ {ij} ] _ {m \times n} \)와 \(\displaystyle B=[b _ {ij} ] _ {m \times n} \)가 정칙행렬이면 \(\displaystyle AB \)도 정칙행렬이고, \(\displaystyle \left ( AB \right ) ^ {-1} =B ^ {-1} A ^ {-1} \)이다.

(다) 행렬 \(\displaystyle A \)와 적당한 기본행렬 \(\displaystyle E _ {1} ,~E _ {2} ,~ \cdots ,~E _ {s} \)에 대하여 \(\displaystyle A '  =E _ {s} \cdots E _ {2} E _ {1} A \)를 만족하는 기약 행 사다리꼴 행렬 \(\displaystyle A '  \)이 존재한다.

(라) 기본행렬 \(\displaystyle E \)와 행렬 \(\displaystyle A \)에 대하여 \(\displaystyle |EA|=|E||A| \)이다.

(마) 한 행의 성분이 모두 \(\displaystyle 0 \)인 행렬의 행렬식은 \(\displaystyle 0 \)이다.

---

12. 다음은 기본행연산을 사용하여 \(\displaystyle A= \left ( \matrix {1 & 0 & 1\\0 & 2 & 3\\2 & 0 & 3} \right) \)을 기약 행 사다리꼴 행렬 \(\displaystyle A '  \)로 나타내는 과정이다. 이를 이용하여 \(\displaystyle A \)를 기본행렬들의 곱으로 나타내시오. [\(\displaystyle 8 \)점]

\(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0 & 1\\0 & 2 & 3\\2 & 0 & 3} \right) \)  \(\displaystyle \rightarrow \)  \(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0 & 1\\0 & 2 & 3\\0 & 0 & 1} \right) \)  \(\displaystyle \rightarrow \)  \(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0 & 1\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1} \right) \)  \(\displaystyle \rightarrow \)  \(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1} \right) \)  \(\displaystyle \rightarrow \)  \(\displaystyle \left ( \matrix {1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1} \right) \)

(1) 위 과정에서 \(\displaystyle A '  =E _ {3} E _ {2} E _ {1} A \)를 만족하는 기본행렬 \(\displaystyle E _ {1} \), \(\displaystyle E _ {2} \), \(\displaystyle E _ {3} \), \(\displaystyle E _ {4} \)를 구하고, 이를 이용하여 \(\displaystyle A \)를 기본행렬들의 곱으로 나타내시오.

(2) (1)에서 구한 \(\displaystyle E _ {1} \), \(\displaystyle E _ {2} \), \(\displaystyle E _ {3} \), \(\displaystyle E _ {4} \)의 행렬식을 구하시오.

(3) (라)와 (2)를 이용하여 \(\displaystyle \vert A \vert \)를 구하시오. [\(\displaystyle 2 \)점]






13. (가)~(마)를 이용하용 다음 명제를 증명하시오. [\(\displaystyle 9 \)점]

(1) 기약 행 사다리꼴 행렬 \(\displaystyle A '  =[a _ {ij} '  ] _ {n \times n} \)이 정칙행렬이 아니면 \(\displaystyle A '  \neq I \)이고, \(\displaystyle \vert A \vert =0 \)이다. [\(\displaystyle 2 \)점]

(2) \(\displaystyle A=[a _ {ij} ] _ {n \times n} \)가 정칙행렬일 때, 그리고 이 때에만  \(\displaystyle \vert A \vert \neq 0 \)이다. [\(\displaystyle 3 \)점]

(3) \(\displaystyle A=[a _ {ij} ] _ {n \times n} \)와 \(\displaystyle B=[b _ {ij} ] _ {n \times n} \)에 대하여 \(\displaystyle \vert AB \vert = \vert A \vert \vert B \vert \)이다. [\(\displaystyle 4 \)점]

 

 

14. 다음을 읽고 물음에 답하시오. [\(\displaystyle 7 \)점]

---

< Cramer 공식 >

\(\displaystyle n \)개의 미지수 \(\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} ,~ \cdots ,~x _ {n} \)에 관한 \(\displaystyle n \)개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식

\(\displaystyle { \begin {cases} a _ {11} x _ {1} +a _ {12} x _ {2} + \cdots +a _ {1n} x _ {n} =b _ {1} \\a _ {21} x _ {1} +a _ {22} x _ {2} + \cdots +a _ {2n} x _ {n} =b _ {2} \\ \cdots \\a _ {n1} x _ {1} +a _ {n2} x _ {2} + \cdots +a _ {nn} x _ {n} =b _ {n} \\\end {cases} } \)

에서, 계수행렬 \(\displaystyle A=[a _ {ij} ] _ {n \times n} \)가 정칙행렬일 때, 이 연립일차방정식은 단 한 개의 해를 가지며 그 해는 다음 식으로 주어진다.

\(\displaystyle x _ {j} = \frac {\left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & b _ {1}& \cdots & a _ {1n} \\a _ {21} & a _ {22} & \cdots & b _ {2} & \cdots & a _ {2n} \\\vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots  & \cdots & \vdots  \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & b _ {n} & \cdots & a _ {nn} } \right|  } {\left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1j} & \cdots & a _ {1n} \\a _ {21} & a _ {22} & \cdots & a _ {2j} & \cdots & a _ {2n} \\\vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots  & \cdots & \vdots  \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nj} & \cdots & a _ {nn} } \right| } \)

---

(1) Cramer의 공식을 증명하시오. [\(\displaystyle 3 \)점]

(2) Cramer의 공식을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하시오. [\(\displaystyle 4 \)점]

\(\displaystyle { \begin {cases} x _ {1} +2x _ {2} -3x _ {3} =1\\x _ {1} -x _ {2} +x _ {3} =0\\2x _ {1} -x _ {2} +x _ {3} =0\end {cases} } \)

 

정답 및 풀이

(풀이) 연립방정식

\(\displaystyle { \begin {cases} a _ {11} x _ {1} +a _ {12} x _ {2} + \cdots +a _ {1n} x _ {n} =b _ {1} \\a _ {21} x _ {1} +a _ {22} x _ {2} + \cdots +a _ {2n} x _ {n} =b _ {2} \\ \cdots \\a _ {n1} x _ {1} +a _ {n2} x _ {2} + \cdots +a _ {nn} x _ {n} =b _ {n} \\\end {cases} } \)

을 행렬로 나타내면 

\(\displaystyle \begin{bmatrix}  a _ {11} & a _ {12} & \cdots &   a _ {1n} \\ a _ {21} & a _ {22} & \cdots &   a _ {2n} \\ \vdots&\vdots &\cdots&\vdots\\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots &   a _ {n n}  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  x_1\\x_2 \\\vdots\\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  b_1\\b_2 \\\vdots\\ b_n \end{bmatrix}  \)

여기서 계수행렬 \(\displaystyle A=[a _ {ij} ] _ {n \times n} \) 이 정칙행렬이므로

\(\displaystyle A \! \mathrm{adj} A = det(A) I \)    \(\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \mathrm{adj} A  \)

따라서 

\(\displaystyle \begin{align} \begin{bmatrix}  x_1\\x_2 \\\vdots\\ x_n \end{bmatrix}   = A^{-1}  \begin{bmatrix}  b_1\\b_2 \\\vdots\\ b_n \end{bmatrix}  = \frac{1}{det(A)} \mathrm{adj}A  \begin{bmatrix}  b_1\\b_2 \\\vdots\\ b_n \end{bmatrix}  \end{align}\)

여기서 \(\displaystyle adj A= \begin{bmatrix} A_{11} &A_{21}&\cdots&A_{n1} \\  A_{11} &A_{21}&\cdots&A_{n1} \\ \vdots &\vdots&\cdots&\vdots \\  A_{1n} &A_{2n}&\cdots&A_{nn} \\\end{bmatrix} \)

따라서

\(\displaystyle \begin{align} x_j &= \frac{1}{det(A)} \begin{bmatrix} A_{1j} &A_{2j}&\cdots&A_{nj}\end{bmatrix}   \begin{bmatrix}  b_1\\b_2 \\\vdots\\ b_n \end{bmatrix} \\&= \frac{1}{det(A)} (b_1 A_{1j}+b_2 A_{2j}+cdots+ b_n A_{nj})  \end{align}\)        (\(\ast\))

여기서 \(\displaystyle b_1 A_{1j}+b_2 A_{2j}+\cdots+ b_n A_{nj}\)는 계수행렬 \(\displaystyle A=[a _ {ij} ] _ {n \times n} \)

\(\displaystyle \begin{bmatrix}  a _ {11} & a _ {12} & \cdots &a_{1 \textcolor {red}{j} }&\cdots&   a _ {1n} \\ a _ {21} & a _ {22} & \cdots &a_{1 \textcolor {red}{j} }&\cdots&   a _ {2n} \\ \vdots&\vdots &\cdots&\vdots\\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots &a_{1 \textcolor {red}{j} }&\cdots&   a _ {n n}  \end{bmatrix}   \)

의 \(\displaystyle j\)열에 \(\displaystyle b_1,~b_2,~ \cdots,~ b_n\)을 대입한 행렬

\(\displaystyle \begin{bmatrix}  a _ {11} & a _ {12} & \cdots &b_{  \textcolor {red}{1} }&\cdots&   a _ {1n} \\ a _ {21} & a _ {22} & \cdots &b_{  \textcolor {red}{2} }&\cdots&   a _ {2n} \\ \vdots&\vdots &\cdots&\vdots\\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots &b_{ \textcolor {red}{n} }&\cdots&   a _ {n n}  \end{bmatrix}    \)

을 \(\displaystyle j\)열에 대하여 여인수 전개한 것이므로

\(\displaystyle   b_1 A_{1j}+b_2 A_{2j}+\cdots+ b_n A_{nj} =\left|\begin{matrix}  a _ {11} & a _ {12} & \cdots &b_{  \textcolor {red}{1} }&\cdots&   a _ {1n} \\ a _ {21} & a _ {22} & \cdots &b_{  \textcolor {red}{2} }&\cdots&   a _ {2n} \\ \vdots&\vdots &\cdots&\vdots\\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots &b_{ \textcolor {red}{n} }&\cdots&   a _ {n n}  \end{matrix}\right| \)

따라서  (\(\ast\))에서 

\(\displaystyle \begin{align} x_j &= \frac{1}{det(A)} (b_1 A_{1j}+b_2 A_{2j}+\cdots+ b_n A_{nj}) \\ &=\frac {\left|\begin{matrix}  a _ {11} & a _ {12} & \cdots &b_{  \textcolor {red}{1} }&\cdots&   a _ {1n} \\ a _ {21} & a _ {22} & \cdots &b_{  \textcolor {red}{2} }&\cdots&   a _ {2n} \\ \vdots&\vdots &\cdots&\vdots\\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots &b_{ \textcolor {red}{n} }&\cdots&   a _ {n n}  \end{matrix}\right|}  { {\left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1j} & \cdots & a _ {1n} \\a _ {21} & a _ {22} & \cdots & a _ {2j} & \cdots & a _ {2n} \\\vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots  & \cdots & \vdots  \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nj} & \cdots & a _ {nn} } \right| } }\end{align}\) 

(2) 연립방정식

\(\displaystyle { \begin {cases} x _ {1} +2x _ {2} -3x _ {3} =1\\x _ {1} -x _ {2} +x _ {3} =0\\2x _ {1} -x _ {2} +x _ {3} =0\end {cases} } \)

에서 

\(\displaystyle x_1 = \frac {{\left| \matrix {1 &2 &-3 \\0&-1  &1 \\0 & -1 & 1 } \right| }}  { {\left| \matrix {1 &2 &-3 \\1&-1  &1 \\2 & -1 & 1 } \right| } }= \frac{0}{-1}=0 \) , \(\displaystyle x_2 = \frac {{\left| \matrix {1 &1 &-3 \\1&0  &1 \\2 & 0 & 1} \right| }}  { {\left| \matrix {1 &2 &-3 \\1&-1  &1 \\2 & -1 & 1 } \right| } }= \frac{1}{-1 } =-1\), \(\displaystyle x_3 = \frac {{\left| \matrix {1 &2 &1 \\1&-1  &0 \\2 & -1 & 0 } \right| }}  { {\left| \matrix {1 &2 &-3 \\1&-1  &1 \\2 & -1 & 1 } \right| } }=\frac{1}{-1 }=-1  \)

\(\displaystyle \therefore ~x_1= 0,~x_2 =-1,~x_3 =-1\)

 

 

15 \(\displaystyle n \)개의 벡터  \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \cdots ,~ \overrightarrow {v _ {n} } \)에 대하여 다음 두 조건은 동치임을 보이시오. (단, \(\displaystyle n \geq 2 \)) [\(\displaystyle 7 \)점]

1. 벡터 \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \cdots ,~ \overrightarrow {v _ {n} } \)은 일차종속이다.

2. \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } = \vec {0} \) 또는 적당한 \(\displaystyle j~ ( 2 \leq j \leq n) \)에 대하여 \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {j} } =a _ {1} \overrightarrow {v _ {1} } +a _ {2} \overrightarrow {v _ {2} } + \cdots +a _ {j-1} \overrightarrow {v _ {j-1} } \)를 만족하는 실수 \(\displaystyle a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {j-1} \)가 존재한다.

정답 및 풀이

(증명)

(\(\displaystyle \Leftarrow\) ) 2 가 성립한다고 가정하자. 즉

\(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } = \vec {0} \) 또는 적당한 \(\displaystyle j~ ( 2 \leq j \leq n) \)에 대하여 \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {j} } =a _ {1} \overrightarrow {v _ {1} } +a _ {2} \overrightarrow {v _ {2} } + \cdots +a _ {j-1} \overrightarrow {v _ {j-1} } \)를 만족하는 실수 \(\displaystyle a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {j-1} \)가 존재한다.

먼저 \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } = \vec {0} \) 이라 가정하면 상수 \(\displaystyle a_1 ,~a_2 ,~\cdots ,~a_n \)과 벡터 \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \cdots ,~ \overrightarrow {v _ {n} } \)에 대하여

\(\displaystyle a_1 \overrightarrow {v _ {1} } +a_2 \overrightarrow {v _ {2} } + \cdots +a_n \overrightarrow {v _ {n} } =0\)

에서 \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } = \vec {0} \) 이므로 예를 들어 \(\displaystyle  a_ {1}=2 ,~a_2 =0,~a_3 =0,~\cdots,~a_n =0 \) 일 때도 위의 식이 성립하므로 벡터 \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \cdots ,~ \overrightarrow {v _ {n} } \)은 일차종속이다.

또, \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } \neq \vec {0} \)이 아니고 적당한 \(\displaystyle j~ ( 2 \leq j \leq n) \)에 대하여 \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {j} } =a _ {1} \overrightarrow {v _ {1} } +a _ {2} \overrightarrow {v _ {2} } + \cdots +a _ {j-1} \overrightarrow {v _ {j-1} } \)를 만족하는 실수 \(\displaystyle a _ {1} ,~a _ {2} ,~ \cdots ,~a _ {j-1} \)가 존재한다고 가정하면

\(\displaystyle  a _ {1} \overrightarrow {v _ {1} } +a _ {2} \overrightarrow {v _ {2} } + \cdots +a _ {j-1} \overrightarrow {v _ {j-1} }   + \textcolor {red}{-1}\overrightarrow {v _ {j} } +  \textcolor {red}{0}\overrightarrow {v _ {j+1} } +\textcolor {red}{0}\overrightarrow {v _ {j+2} }+\cdots+\textcolor {red}{0}\overrightarrow {v _ {n} }  =\vec 0 \)

여기서 \(\displaystyle  a _ {j}=-1 \neq 0\)이므로  벡터 \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \cdots ,~ \overrightarrow {v _ {n} } \)은 일차종속이다.

(\(\displaystyle \Rightarrow\) ) 

벡터 \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \cdots ,~ \overrightarrow {v _ {n} } \)은 일차종속이라 가정하자. 그러면 상수 \(\displaystyle a_1 ,~a_2 ,~\cdots ,~a_n \)에 대하여 

\(\displaystyle a_1 \overrightarrow {v _ {1} } +a_2 \overrightarrow {v _ {2} } + \cdots +a_n \overrightarrow {v _ {n} } =0\)

을 만족하는 \(\displaystyle a_1 ,~a_2 ,~\cdots ,~a_n \) 중 적어도 하나는  \(\displaystyle 0\)이 아니다. \(\displaystyle i=1,~2,~\cdots,~n\) 에서 \(\displaystyle a_i \neq 0\)인 \(\displaystyle i \) 중 제일 큰 수를 \(\displaystyle j\)라 하자. 

만약 \(\displaystyle j=1\)이라 하면 \(\displaystyle a_2 =a_3 = \cdots =a_n =0\)이고 \(\displaystyle a_1  \neq 0 \)이다.

따라서 \(\displaystyle a_1 \overrightarrow{v_1} = \vec 0\)에서 \(\displaystyle a_1  \neq 0 \)이므로 \(\displaystyle \overrightarrow {v_1} = \overrightarrow {0} \)이다.

만약 \(\displaystyle j \)가 \(\displaystyle 2 \leq j \leq n \)라면 \(\displaystyle a_i \neq 0\)인 \(\displaystyle i \) 중 제일 큰 수를 \(\displaystyle j \)라고 가정했으므로

\(\displaystyle a_{\textcolor {red}{j+1}}=a_{\textcolor {red}{j+2}}=\cdots=a_{\textcolor {red}{n}} =\textcolor {red}{0}\)

이다.

또, 벡터 \(\displaystyle \overrightarrow {v _ {1} } ,~ \overrightarrow {v _ {2} } ,~ \cdots ,~ \overrightarrow {v _ {n} } \)가 일차종속이므로

\(\displaystyle  a _ {1} \overrightarrow {v _ {1} } +a _ {2} \overrightarrow {v _ {2} } + \cdots +a _ {j-1} \overrightarrow {v _ {j-1} }   + a_{\textcolor {red}{j}}\overrightarrow {v _ {j} } +  \textcolor {red}{0}\overrightarrow {v _ {j+1} } +\textcolor {red}{0}\overrightarrow {v _ {j+2} }+\cdots+\textcolor {red}{0}\overrightarrow {v _ {n} }  =\vec 0 \)

이고 \(\displaystyle a_j \neq 0\)이므로 

\(\displaystyle a_{\textcolor {red}{j}}\overrightarrow {v _ {j} }  = a _ {1} \overrightarrow {v _ {1} } +a _ {2} \overrightarrow {v _ {2} } + \cdots +a _ {j-1} \overrightarrow {v _ {j-1} }   +  \textcolor {red}{0}\overrightarrow {v _ {j+1} } +\textcolor {red}{0}\overrightarrow {v _ {j+2} }+\cdots+\textcolor {red}{0}\overrightarrow {v _ {n} }  =\vec 0 \)

\(\displaystyle \overrightarrow {v _ {j} }  =- \frac{a _ {1}}{a_{\textcolor {red}{j}} }  \overrightarrow {v _ {1} } -\frac{a _ {2}}{a_{\textcolor {red}{j}} }  \overrightarrow {v _ {2} } - \cdots -\frac{a _ {j-1}}{a_{\textcolor {red}{j}} }    \overrightarrow {v _ {j-1} }  \)

따라서 증명되었다.

16. 행렬 \(\displaystyle A= \left ( \matrix {x & x & \cdots & x \\1 & 2 & \cdots & n\\1 & 2 ^ {2} & \cdots & n ^ {2} \\\vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots  \\1 & 2 ^ {n-1} & \cdots & n ^ {n-1} } \right) \)에 대하여 다음 물음에 답하시오 [\(\displaystyle 10 \)점]

(1) \(\displaystyle \vert A \vert = \left ( \prod _ {k=1} ^ {a} f ( k) \right ) x \)이다. \(\displaystyle f ( k) \)와 \(\displaystyle a \)에 알맞은 식을 쓰시오. [\(\displaystyle 3 \)점]

(2) (1)의 결과를 증명하시오. [\(\displaystyle 7 \)점]

 

 

정답 및 풀이

(1) \(\displaystyle |A| =\left(\prod_{k=1}^{n-1}  k! \right)x  \)이다. 따라서 

\(\displaystyle f ( k)=k!  \)와 \(\displaystyle a=n-1 \)이다.

(2) 

먼저 \(\displaystyle \left| A \right|= \left | \matrix {x & x & \cdots & x \\1 & 2 & \cdots & n\\1 & 2 ^ {2} & \cdots & n ^ {2} \\\vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots  \\1 & 2 ^ {n-1} & \cdots & n ^ {n-1} } \right| \)에서 행렬식의 성질에 의해 \(\displaystyle 1\)의 \(\displaystyle x\)를 묶어 낼 수 있으므로

\(\displaystyle \left| A \right|= x \left | \matrix {1 & 1 & \cdots & 1 \\1 & 2 & \cdots & n\\1 & 2 ^ {2} & \cdots & n ^ {2} \\\vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots  \\1 & 2 ^ {n-1} & \cdots & n ^ {n-1} } \right| \)

여기서 \(\displaystyle d_n \)을

\(\displaystyle d_n =  \left | \matrix {1 & 1 & \cdots & 1 \\1 & 2 & \cdots & n\\1 & 2 ^ {2} & \cdots & n ^ {2} \\\vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots  \\1 & 2 ^ {n-1} & \cdots & n ^ {n-1} } \right| \)

\(\displaystyle d_1 = \left|\matrix{1} \right|=1\)

\(\displaystyle d_2 = \left|\matrix{1&1\\1&2} \right|=1\)

\(\displaystyle d_3 = \left|\matrix{1&1&1\\1&2&3\\1&2^2 &3^2} \right|\)

여기서 \(\displaystyle d_3\)를 \(\displaystyle d_2\)로 나타내자. \(\displaystyle 3\)열을 없애기 위해 \(\displaystyle 2\)행에 \(\displaystyle -3\)을 곱하여 \(\displaystyle 3\)행에 대입하고, \(\displaystyle 1\)행에 \(\displaystyle -3\)을 곱하여 \(\displaystyle 2\)행에 대입하자. 이렇게 해도 행렬식은 변함이 없음에 주의하자. 또 \(\displaystyle 3\)열에 대하여 여인수 전개하면서 행렬식을 구하면 \(\displaystyle (-1)^{\textcolor {red}{3+1}}=1\)을 곱해야 한다.

\(\displaystyle \begin{align} d_3 &= \left|\matrix{1&1&1\\1&2&3\\1&2^2 &3^2} \right| =\left|\matrix{1&1&1\\1-3&2-3&0\\1-3&2^2 - 2 \times 3&0} \right|  \\&=\left|\matrix{1&1&1\\-2&-1&0\\-2&-2 &0} \right|  =(-2)(-1) \left|\matrix{1&1&1\\1&1&0\\1&2 &0} \right| \\&=(-2)(-1) (-1)^{\textcolor {red}{3+1}} \left|\matrix{ 1&1 \\1&2 } \right| =(-1)^2 2! d_2  \end{align} \)

즉 \(\displaystyle d_3 = (-1)^2 (-1)^4 2! d_2 =2! d_2\)

이제 위의 과정처럼 즉 \(\displaystyle d_{n+1}\)과  \(\displaystyle d_{n}\)의 관계를 찾아보자.

\(\displaystyle d_{n+1}  =\left | \matrix {1 & 1& \cdots & 1&1\\1 & 2 & \cdots & \textcolor {red}{n}&\textcolor {red}{n+1}\\ 1 & 2 ^ {2} & \cdots & \textcolor {red}{n} ^ {2}&\textcolor {red}{(n+1)}^2 \\ \vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots  \\ 1 & 2 ^ {\textcolor {red}{n-1}} & \cdots & \textcolor {red}{n} ^ {\textcolor {red}{n-1}} &\textcolor {red}{(n+1)}^{\textcolor {red}{n-1}}  \\1 & 2 ^ {\textcolor {red}{n}} & \cdots & {\textcolor {red}{n}} ^ {\textcolor {red}{n}} &\textcolor {red}{(n+1)}^{\textcolor {red}{n}  }} \right|   \)   

에서 \(\displaystyle (n+1)\)열을 소거하기 위해 \(\displaystyle n\)행에 \(\displaystyle -(n+1)\)을 곱하여 \(\displaystyle (n+1)\)행에 더하자. 이 후 또 \(\displaystyle (n-1)\)행에 \(\displaystyle -(n+1)\)을 곱하여 \(\displaystyle n\)행에 더한다. 이 과정을 계속해서 \(\displaystyle 1\)행에 \(\displaystyle -(n+1)\)을 곱하여 \(\displaystyle 2\)행에 더하는 데까지 하자. 그러면 

\(\displaystyle \begin{align}d_{n+1} &= \left | \matrix {1 & 1 & \cdots & 1&1 \\1 & 2 & \cdots & \textcolor {red}{n}&\textcolor {red}{n+1}\\ 1 & 2 ^ {2} & \cdots & \textcolor {red}{n} ^ {2}&\textcolor {red}{(n+1)}^2 \\ \vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots  &\vdots\\ 1 & 2 ^ {\textcolor {red}{n-1}} & \cdots & \textcolor {red}{n} ^ {\textcolor {red}{n-1}} &\textcolor {red}{(n+1)}^{\textcolor {red}{n-1}}  \\1 & 2 ^ {\textcolor {red}{n}} & \cdots & {\textcolor {red}{n}} ^ {\textcolor {red}{n}} &\textcolor {red}{(n+1)}^{\textcolor {red}{n}  }} \right| \\& = \left | \matrix {1 & 1 & \cdots & 1&1 \\1-(\textcolor {red}{n+1} )& 2-(\textcolor {red}{n+1} ) & \cdots & \textcolor {red}{n}-(\textcolor {red}{n+1} )&\textcolor {red}{0}\\ 1-(\textcolor {red}{n+1} ) & 2 ^ {2} -2 (\textcolor {red}{n+1} ) & \cdots & \textcolor {red}{n} ^ {2} - n  (\textcolor {red}{n+1} ) &\textcolor {red}{0} \\ \vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots&\vdots  \\ 1 - (\textcolor {red}{n+1} ) & 2 ^ {\textcolor {red}{n-1}} -2^{\textcolor {red}{n-2}} (\textcolor {red}{n+1} ) & \cdots & \textcolor {red}{n} ^ {\textcolor {red}{n-1}}-\textcolor {red}{n} ^ {\textcolor {red}{n-2}} (\textcolor {red}{n+1} ) &0 \\ 1 - (\textcolor {red}{n+1} ) & 2 ^ {\textcolor {red}{n}} -2^{\textcolor {red}{n-1}} (\textcolor {red}{n+1} ) & \cdots & \textcolor {red}{n} ^ {\textcolor {red}{n}}-\textcolor {red}{n} ^ {\textcolor {red}{n-1}} (\textcolor {red}{n+1} ) &0 } \right| \\&= \left | \matrix {1-(\textcolor {red}{n+1} )& 2-(\textcolor {red}{n+1} ) & \cdots & \textcolor {red}{n}-(\textcolor {red}{n+1} )\\ 1-(\textcolor {red}{n+1} ) & 2 ^ {2} -2 (\textcolor {red}{n+1} ) & \cdots & \textcolor {red}{n} ^ {2} - n  (\textcolor {red}{n+1} ) \\ \vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots  \\ 1 - (\textcolor {red}{n+1} ) & 2 ^ {\textcolor {red}{n-1}} -2^{\textcolor {red}{n-2}} (\textcolor {red}{n+1} ) & \cdots & \textcolor {red}{n} ^ {\textcolor {red}{n-1}}-\textcolor {red}{n} ^ {\textcolor {red}{n-2}} (\textcolor {red}{n+1} )  \\ 1 - (\textcolor {red}{n+1} ) & 2 ^ {\textcolor {red}{n}} -2^{\textcolor {red}{n-1}} (\textcolor {red}{n+1} ) & \cdots & \textcolor {red}{n} ^ {\textcolor {red}{n}}-\textcolor {red}{n} ^ {\textcolor {red}{n-1}} (\textcolor {red}{n+1} ) } \right| \\&= (-1)^{\textcolor{red}{n+2}}\left | \matrix {-n& 1-n& \cdots & -1 \\ -n & 2 (1-n)  & \cdots & -n\\ \vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots  \\ -n& 2 ^{n-2} (1-n) & \cdots & -n^{n-2}  \\ -n& 2 ^ {\textcolor {red}{n-1}}(1-n)  & \cdots &-n^ {n-1} } \right|  \\&=(-1)^{\textcolor{red}{n+2}} (-n)(-n+1)(-n+2)\cdots(-2)(-1)   \left | \matrix {1 & 1 & \cdots & 1 \\1 & 2 & \cdots & n\\1 & 2 ^ {2} & \cdots & n^ {2} \\\vdots  & \vdots  & \cdots & \vdots  \\1 & 2 ^ {n-1} & \cdots & n^ {n-1} } \right|   \\&= (-1)^{\textcolor{red}{n+2}} (-1)^{n} n!  d_n  \end{align}\)  

즉 \(\displaystyle d_{n+1}= n!  d_n \)

따라서 \(\displaystyle d_1 =1\)이므로 

\(\displaystyle \begin{align} d_{n} &= (n-1)!  d_{n-1} \\& =  (n-1)! \times  (n-2)! \cdots \times  1! d_1\\& =  (n-1)! \times  (n-2)! \cdots \times  1!  \\&=\prod_{k=1}^{n-1}  k! \end{align} \)

따라서 

\(\displaystyle \begin{align} |A| &=x d_{n}=\left(\prod_{k=1}^{n-1}  k! \right)x \end{align} \)