[더플러스수학] 2009학년도 한양대 모의논술

[2009학년도 한양대 모의논술]

1. 다음의 제시문을 읽고 물음에 답하시오.(25점)

<가> 흔히 우리는 $ \lim\limits _ {x \rightarrow \infty } {f ( x)= \infty } $를 “$ x $값이 한없이 증가하면 함수 $ f ( x) $의 값도 한없이 증가한다”는 뜻으로 이해한다. 이를 좀 더 엄밀히 정의하면 다음과 같다. 임의로 주어진 실수 $ b $에 대해 “$ x>a $이면 $ f ( x)>b $”를 만족하는 적당한 실수 $ a $가 항상 존재하면 이를 $ \lim\limits _ {x \rightarrow \infty } {f ( x)} = \infty $로 나타낸다. <나> 임의의 다항함수 $ f ( x)=a _ {n} x ^ {n} +a _ {n-1} x ^ {n-1} + \cdots +a _ {1} x+a _ {0} $에 대해 $ n $이 짝수이고 $ a _ {n} >0 $을 만족하면 $ \lim\limits _ {x \rightarrow \infty } {f ( x)} = \infty $, $ \lim\limits _ {x \rightarrow - \infty } {f ( x)} = \infty $ 가 성립한다. 한편, $ n $이 홀수이고 $ a _ {n} >0 $을 만족하면 $ \lim\limits _ {x \rightarrow \infty } {f ( x)} = \infty $, $ \lim\limits _ {x \rightarrow - \infty } {f ( x)} =- \infty $ 가 성립한다. <다> 실수 전체를 정의역으로 갖는 연속함수 $ f ( x) $와 세 실수 $ a,~b,~m $에 대해 $ f ( a)<m<f ( b) $가 성립하면 $ f ( c)=m $를 만족하는 실수 $ c $가 $ a $와 $ b $사이에 항상 존재한다.

 

다음에 주어진 세 명제의 참, 거짓 여부를 논하시오.

(1) 계수가 모두 실수인 다항함수 $ f ( x) $의 최고차수가 짝수이면 방정식 $ f ( x)=0 $은 실수인 근을 가진다.

(2) 계수가 모두 실수인 다항함수 $ f ( x) $의 최고차수가 홀수이면 방정식 $ f ( x)=0 $은 실수인 근을 가진다.

(3) 계수가 모두 실수인 두 다항함수 $ f ( x) $와 $ g ( x) $가 $ f ( x ^ {2} +x+1)=f ( x)g ( x) $를 만족하면, $ f ( x) $의 최고차수는 짝수이다.

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(1) 거짓이다. 이것의 반례는 $ f ( x)=x ^ {2} +1 $이다. 최고차수가 짝수이지만 실근은 없다.  (2) 참   (3) 참이다. 이것을 귀류법으로 증명해 보자.