[더플러스수학] 2009학년도 한양대 모의논술

[2009학년도 한양대 모의논술]

1. 다음의 제시문을 읽고 물음에 답하시오.(25점)

<가> 흔히 우리는 $\lim\limits _ {x \rightarrow \infty } {f ( x)= \infty }$를 “$x$값이 한없이 증가하면 함수 $f ( x)$의 값도 한없이 증가한다”는 뜻으로 이해한다. 이를 좀 더 엄밀히 정의하면 다음과 같다. 임의로 주어진 실수 $b$에 대해 “$x>a$이면 $f ( x)>b$”를 만족하는 적당한 실수 $a$가 항상 존재하면 이를 $\lim\limits _ {x \rightarrow \infty } {f ( x)} = \infty$로 나타낸다. <나> 임의의 다항함수 $f ( x)=a _ {n} x ^ {n} +a _ {n-1} x ^ {n-1} + \cdots +a _ {1} x+a _ {0}$에 대해 $n$이 짝수이고 $a _ {n} >0$을 만족하면 $\lim\limits _ {x \rightarrow \infty } {f ( x)} = \infty$, $\lim\limits _ {x \rightarrow - \infty } {f ( x)} = \infty$ 가 성립한다. 한편, $n$이 홀수이고 $a _ {n} >0$을 만족하면 $\lim\limits _ {x \rightarrow \infty } {f ( x)} = \infty$, $\lim\limits _ {x \rightarrow - \infty } {f ( x)} =- \infty$ 가 성립한다. <다> 실수 전체를 정의역으로 갖는 연속함수 $f ( x)$와 세 실수 $a,~b,~m$에 대해 $f ( a)<m<f ( b)$가 성립하면 $f ( c)=m$를 만족하는 실수 $c$가 $a$와 $b$사이에 항상 존재한다.

 

다음에 주어진 세 명제의 참, 거짓 여부를 논하시오.

(1) 계수가 모두 실수인 다항함수 $f ( x)$의 최고차수가 짝수이면 방정식 $f ( x)=0$은 실수인 근을 가진다.

(2) 계수가 모두 실수인 다항함수 $f ( x)$의 최고차수가 홀수이면 방정식 $f ( x)=0$은 실수인 근을 가진다.

(3) 계수가 모두 실수인 두 다항함수 $f ( x)$와 $g ( x)$가 $f ( x ^ {2} +x+1)=f ( x)g ( x)$를 만족하면, $f ( x)$의 최고차수는 짝수이다.

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(1) 거짓이다. 이것의 반례는 $f ( x)=x ^ {2} +1$이다. 최고차수가 짝수이지만 실근은 없다.  (2) 참   (3) 참이다. 이것을 귀류법으로 증명해 보자.