[더플러스수학] 코시-슈바르츠 부등식, 삼각부등식-벡터에 의한 증명

코시-슈바르츠 부등식

\(\displaystyle \mathbb{R}^n \)에 속하는 두 벡터 \(\displaystyle \overrightarrow {u} =(u_1 ,~u_2 ,~\cdots,~u_n) \), \(\displaystyle \overrightarrow {v} =(v_1 ,~v_2 ,~\cdots,~v_n \)에 대하여

\(\displaystyle \left|  \overrightarrow {u} \cdot  \overrightarrow { v} \right| \leq \left|   \overrightarrow { u} \right| \left|  \overrightarrow { v} \right|  \)

이다. 이것을 성분으로 표현하면

\(\displaystyle  \left|u_1 v_1 + u_2 v_2 +\cdots+u_n v_n \right| \leq (u_1 ^2 +u_2^2 +\cdots+u_n ^2 )^{\frac{1}{2}} (v_1 ^2 +v_2^2 +\cdots+v_n ^2 )^{\frac{1}{2}}\)

등호는 \(\displaystyle \overrightarrow {u} \parallel  \overrightarrow { v}\)일 때, 즉, \(\displaystyle \frac{u_1}{v_1}=\frac{u_2}{v_2}=\cdots=\frac{u_n}{v_n}\)

 

 

삼각부등식

\(\displaystyle \mathbb{R}^n \)에 속하는 두 벡터 \(\displaystyle \overrightarrow {u},~\overrightarrow {v} \)에 대하여

\(\displaystyle \left| \left|\overrightarrow {u} \right|-\left|\overrightarrow {v} \right| \right| \leq \left|\overrightarrow {u} +\overrightarrow {v}  \right| \leq  \left|\overrightarrow {u} \right|+ \left|\overrightarrow {v} \right|  \)

 

 

https://youtu.be/iOjcGHG37Ao