[수학의 기초] 함수의 극한의 엄밀한 정의(1) $\epsilon-\delta$, $\displaystyle p \rightarrow q$와 $\displaystyle \sim p ~or~ q$와 그 부정

과학고 AP 수업을 할 때, 극한이 \(\displaystyle \epsilon-\delta\)로 정의되는데 이 속에 조건 \(\displaystyle p \rightarrow q\)과 모든(\(\displaystyle \Large \forall\))과 어떤(\(\displaystyle \Large \exists\))등이 포함되어 있다. 즉,

극한의 엄밀한 정의

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\(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)=L\) 

For all \(\displaystyle \epsilon >0\), there exists some \(\displaystyle \delta =\delta (\epsilon)\) such that for all \(\displaystyle x\),

\(\displaystyle 0<\left| x-c \right|<\delta ~~\Longrightarrow~~\left| f(x)-L \right| < \epsilon\)

 

우리말로 쓰면 다음과 같이 표현할 수 있다.

임의의 \(\displaystyle \epsilon >0\)에 대하여 적당한 \(\displaystyle \delta =\delta (\epsilon)\)가 존재하여

\(\displaystyle 0<\left| x-c \right|<\delta\)을 만족하는 모든 \(\displaystyle x\)는 \(\displaystyle\left| f(x)-L \right| < \epsilon\)을 만족한다.

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또, 이것의 부정 즉, \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x) \neq L\)은

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There exist some \(\displaystyle \epsilon>0\) such that for every \(\displaystyle \delta>0\), there exists \(\displaystyle x_0 \) which satisfies

\(\displaystyle 0<\left| x_0-c \right|<\delta \) and \(\displaystyle \left| f(x_0)-L \right| \geq \epsilon\)

우리말로 하면

적당한(어떤)  \(\displaystyle \epsilon>0\)를 잘 잡으면 모든 \(\displaystyle \delta>0\)에 대하여 적당한(어떤) \(\displaystyle x_0 \)가 존재하여 \(\displaystyle 0<\left| x_0-c \right|<\delta \) 이고 \(\displaystyle \left| f(x_0)-L \right| \geq \epsilon\)이다.

직역을 하면

적당한(어떤)  \(\displaystyle \epsilon>0\)가 존재하여 \(\displaystyle c\)부근에서 아무리 \(\displaystyle \delta > 0\)를 잡아도 \(\displaystyle 0<\left| x_0-c \right|<\delta \) 이고 \(\displaystyle \left| f(x_0)-L \right| \geq \epsilon\) 를 만족하는 \(\displaystyle x_0 \)가 적어도 하나 존재한다.

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위에서 보듯이

for all x,

\(\displaystyle 0<\left| x-c \right|<\delta ~~\Longrightarrow~~\left| f(x)-L \right| < \epsilon\)

에서 나타난 $\displaystyle p \rightarrow q$의 부정이

there exists \(\displaystyle x_0 \) which satisfies

\(\displaystyle 0<\left| x_0-c \right|<\delta \) and \(\displaystyle \left| f(x_0)-L \right| \geq \epsilon\)

으로 표현되는 이유에 관심을 가져보자.

즉, $\displaystyle p$ and $\displaystyle \sim q$

 

이제 수학 하 명제편에서

$\displaystyle p \longrightarrow q$

의 참 거짓을 확인해보자. 여기서 $\displaystyle p,~q$는 조건으로써 전체 집합 $\displaystyle U$에서 정의되고 진리집합이 각각 $\displaystyle P,~Q$라고 하자. 그러면

$\displaystyle P \subset Q$이면 $\displaystyle p \rightarrow q$가 참이고   \(\displaystyle \cdots\cdots~①\)

$\displaystyle P \not\subset Q$이면 $\displaystyle p \rightarrow q$가 거짓이다.  \(\displaystyle \cdots\cdots~②\)

먼저 ①의 $\displaystyle P \subset Q$에서 부분집합의 정의에는 다음의 명제가 포함되어 있다.

모든 $\displaystyle x \in U$에 대하여

$\displaystyle x \in P$이면 $\displaystyle x \in Q$    \(\displaystyle \cdots\cdots~③\)

즉, 위의 명제가 참이면  $\displaystyle P \subset Q$이다.

따라서 ①의 부정, 즉 ③을 부정하면

어떤 $\displaystyle x_0 \in U$에 대하여

$\displaystyle x_0 \in P$이고 $\displaystyle x_0 \not\in Q$    \(\displaystyle \cdots\cdots~④\)

즉 

$\displaystyle x_0 \in P$이고 $\displaystyle x_0 \not\in Q$

를 만족하는 $\displaystyle x_0 \in U$가 적어도 하나 존재한다. (물론 이 예를 우리는 반례-counterexample이라고 부른다.)

이것을 만족하면 우리는 $\displaystyle P \not\subset Q$이라 한다.

이제 이것을 집합의 포함관계와 드모르간의 법칙으로 정리해보자.

모든 $\displaystyle x  \in U$에 대하여 $\displaystyle  x \in p \rightarrow x \in q$ 

\(\displaystyle \Longleftrightarrow\)  \(\displaystyle P \subset Q\) 

\(\displaystyle \Longleftrightarrow\)   $\displaystyle \sim \left\{ \right.$ \(\displaystyle P \not\subset Q\)이다. \(\displaystyle \left.\right\} \)   

\(\displaystyle \Longleftrightarrow\) \(\displaystyle \sim \left\{   x_0 \in P \right.\) 이고 \(\displaystyle x_0  \not\in Q \)를 만족하는 $\displaystyle x_0 \in U$가 존재한다. $\displaystyle \left.\right\}$

\(\displaystyle \Longleftrightarrow\)  모든 $\displaystyle x  \in U$에 대하여  \(\displaystyle   x  \not\in P  \) 이거나 \(\displaystyle x \in Q \)이다. 

\(\displaystyle \Longleftrightarrow\)  모든 $\displaystyle x  \in U$에 대하여  \(\displaystyle   x   \in P^c  \) 이거나 \(\displaystyle x \in Q \)이다. 

\(\displaystyle \Longleftrightarrow\)  모든 $\displaystyle x  \in U$에 대하여  \(\displaystyle   x \in ( P^c \cup Q)  \) 

\(\displaystyle \Longleftrightarrow\)  모든 $\displaystyle x  \in U$에 대하여  \(\displaystyle   \sim p\) 또는 \(\displaystyle q\)이다.

 

이제  정수전체의 집합 \(\displaystyle \mathbb{Z}\)에서 명제 "$\displaystyle x$가 $\displaystyle 4$의 배수이면  $\displaystyle x$는 $\displaystyle 2$의 배수이다."을 가지고 이것이 "모든 \(\displaystyle x \in \mathbb{Z}\)에 대하여 $\displaystyle 4$의 배수가 아니거나 $\displaystyle 2$의 배수이다."와 동치(필요충분조건)를 위의 논리로 보여보자.

"$\displaystyle 4$의 배수이면  $\displaystyle 2$의 배수이다."

\(\displaystyle \Longleftrightarrow\) "$\displaystyle 4$의 배수를 만족하는 모든 수는 $\displaystyle 2$의 배수이다."

\(\displaystyle \Longleftrightarrow\)  $\displaystyle \sim$ "어떤 $\displaystyle x_0 \in \mathbb{Z}$가 존재하여 $\displaystyle 4$의 배수이고  $\displaystyle 2$의 배수는 아니다."

\(\displaystyle \Longleftrightarrow\)   "모든 $\displaystyle x \in \mathbb{Z}$에 대하여 $\displaystyle 4$의 배수가 아니거나 $\displaystyle 2$의 배수이다."

 

정리하면 명제 \(\displaystyle p \rightarrow q\)는 \(\displaystyle \sim p \) 또는 \(\displaystyle q\)와 동치이므로 명제 \(\displaystyle p \rightarrow q\)을 부정하면 \(\displaystyle   p \) 그리고 \(\displaystyle \sim q\)이다.

물론 명제 \(\displaystyle p \rightarrow q\)에는 \(\displaystyle p\)를 만족하는 "모든"을 내포하고 있다. 또 그것의 부정인 "\(\displaystyle   p \) 그리고 \(\displaystyle \sim q\)"에는 "어떤" 것이 존재하고 있다는 것을 포함하고 있다는 것에 주의하자.

\(\displaystyle \Large{  \sim (p \rightarrow q) ~~\Longleftrightarrow ~p ~and ~\sim q }\)

 

이제 구체적인 예를 가지고 극한값이 아님을 보이자.

\(\displaystyle h(x)=\begin{cases} x^2 &(0<x <2)\\3&(x=2) \\2&(>2)\end{cases}\)에 대하여 \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 2} h(x) \neq 2\)임을 보이자.

\(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} h(x) \neq L\)은 다음과 같다. 

적당한(어떤)  \(\displaystyle \epsilon>0\)가 존재하여 \(\displaystyle c\)부근에서 아무리 \(\displaystyle \delta > 0\)를 잡아도 \(\displaystyle 0<\left| x_0-c \right|<\delta \) 이고 \(\displaystyle \left| f(x_0)-L \right| \geq \epsilon\) 를 만족하는 \(\displaystyle x_0 \)가 적어도 하나 존재한다.

여기서 핵심은 극한값 \(\displaystyle L\)을 중심으로 \(\displaystyle \epsilon>0\)을 어떻게 잡으며, 그에 따라 \(\displaystyle 0<\left| x_0-c \right|<\delta \) 이고 \(\displaystyle \left| f(x_0)-L \right| \geq \epsilon\)을 만족하는 \(\displaystyle x_0\)가 \(\displaystyle \delta>0\)에 관계없이 존재함을 보이는 것이다.

예를 들어 위의 그림에서 극한값 \(\displaystyle y=2\)를 중심으로 \(\displaystyle \epsilon\)을 \(\displaystyle1\)로 하자. 이제 우리는 \(\displaystyle \left|f(x_0)-2\right| \geq 1\) 즉,

\(\displaystyle f(x_0)\leq 1,~f(x_0 )\geq3\)    \(\displaystyle \Longrightarrow\) \(\displaystyle x_0 \leq 1\) 또는 \(\displaystyle x_0 \geq \sqrt3\)    \(\displaystyle \cdots\cdots ~(\mathrm{i})\)

을 만족하고 어떻게 \(\displaystyle \delta>0\)를 잡든 관계없이 

\(\displaystyle 0<\left|x_0 -2\right|<\delta\)   \(\displaystyle \cdots\cdots ~(\mathrm{ii})\)

를 만족하는 \(\displaystyle x_0 \)를 잡을 수 있어야 한다.

그림을 보면 \(\displaystyle \delta\)를 어떻게 잡든 관계없이 \(\displaystyle \sqrt3\)보다 크고 \(\displaystyle 2\)보다 작은 실숫값은 항상 존재한다. 그 값을 \(\displaystyle x_0\)라 하면 \(\displaystyle x_0\)는 \(\displaystyle (\mathrm{i})\), \(\displaystyle  (\mathrm{ii})\)를 동시에 만족하므로

\(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 2} h(x) \neq 2\)

이다.

\(\displaystyle \delta\)가 \(\displaystyle  2-\sqrt3\)보다 크면 \(\displaystyle x_0\)를 \(\displaystyle 2-\sqrt3 <x_0<2  \)을 만족하는 \(\displaystyle x_0\)를 잡으면 되고

만약 \(\displaystyle \delta\)가 \(\displaystyle  2-\sqrt3\)보다 작으면 \(\displaystyle x_0\)를 \(\displaystyle \left|x_0 -2\right|< \delta\)를 만족하는 \(\displaystyle2\)보다 작은 \(\displaystyle x_0\)를 잡으면 된다.

ㅠㅠ