[카이스트 방학숙제1] winter 2022 assignment 1 [더플러스수학]

카이스트 방학 숙제1- bridge program – winter 2022 assignment 1

Problem 1

Which of the following statements are true, and which are false? If true, try to give a convincing
argument; if false, give a counter-example (that is, an example confirming the falsehood).

(a) If $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)$ exists but $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)$ does not exist, then $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)+g(x)$ does not exist.

(b) If neither $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)$  nor $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)$  exist, then $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)+g(x)$ does not exist.

(c) If $\displaystyle f$ is continuous at $\displaystyle c$ , then so is $\displaystyle |f|$.

(d) If $\displaystyle |f|$ is continuous at $\displaystyle c$, then so is $\displaystyle f$.

 

(정답 및 풀이)

(a) 참

귀류법으로 증명하자. 먼저 결론을 부정하여 $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} \left\{f(x)+g(x) \right\}=L$로 존재한다고 가정하자. 또 가정에서 $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)$가 존재하므로 $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x) =M$이라 하면 극한의 기본성질에 의해 $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)$는 존재한다. 왜냐하면

$\displaystyle\begin{align} \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x) &= \lim\limits_{x \rightarrow c} \left[\left\{ f(x)+g(x)\right\}-f(x)\right]\\&= \lim\limits_{x \rightarrow c} \left\{f(x)+g(x) \right\}-\lim\limits_{x \rightarrow c}  g(x) \\&=L-M\end{align}$

이기 때문이다. 이것은 $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)$가 존재하지 않는다는 가정과 모순이다. 따라서 증명되었다.

(b) 거짓

반례는 다음과 같다.

$\displaystyle f(x) =\begin{cases}  1&(x \geq 0)\\ -1&(x <0) \end{cases}$, $\displaystyle g(x) =\begin{cases}  -1&(x \geq 0)\\ 1&(x <0) \end{cases}$

이 함수는 모두 $\displaystyle x=0$에서 극한이 존재하지 않는다. 그렇지만 $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0} \left\{f(x)+g(x)\right\}=0$이므로 $\displaystyle f(x)+g(x)$의 극한은 존재한다.

(c) 참

함수의 합성과 관련된 참인 명제인 다음을 주목하자.

$\displaystyle x=c$에서 함수 $\displaystyle f(x)$가 연속이고, $\displaystyle x=f(c)$에서 함수 $\displaystyle g(x)$가 연속이면 $\displaystyle x=c$에서 합성함수 $\displaystyle g \circ f$는 $\displaystyle x=c$에서 연속이다.

위의 명제는 $\displaystyle \epsilon-\delta$로 증명해야 한다. 만약 이 명제가 참이면 (c)는 참이다. 왜냐하면

함수 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle x=c$에서 연속이고, 함수 $\displaystyle y= \left| x \right|$ 는 모든 실수에서 연속이므로 $\displaystyle x=f(c)$에서 함수 $\displaystyle y= \left| x \right|$는 연속이다. 따라서 위의 명제에 의해 $\displaystyle x=c$에서 함수 $\displaystyle \left|f(x)\right|$는 연속이다.

 

그냥 우리는 $\displaystyle \epsilon-\delta$논법으로 정의된 연속의 정의에 의해 증명할 수도 있다.

다음을 만족하면 $\displaystyle x=c$에서 함수 $\displaystyle f$가 연속이라고 정의한다.

임의의 $\displaystyle \epsilon>0$에 대하여 적당한 $\displaystyle \delta>0$가 존재하여 $\displaystyle \left| x-c \right|<\delta$를 만족하는 모든 $\displaystyle x$는  $\displaystyle \left| f(x)-f(c) \right|<\epsilon$이다.

이제 다음을 증명하자.

If $\displaystyle f$ is continuous at $\displaystyle c$ , then so is $\displaystyle |f|$.

먼저 $\displaystyle x=c$에서 함수 $\displaystyle f$가 연속이므로

$\displaystyle \epsilon>0$이 주어졌다고 하면 적당한 $\displaystyle \delta$가 존재하여

 

 

 

 

 

 

Problem 2

(a) Use the precise definition of the limit to show that a function cannot have two different limits.
That is, if $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x) =L_1$ and $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x) =L_2$, then $\displaystyle L_1 =L_2$.

(b) We say that a function $\displaystyle f(x)$ is bounded if there exists a number $\displaystyle L > 0$  such that $\displaystyle |f(x)| \leq L$ for every $\displaystyle x$ in the domain of $\displaystyle f$.

Let $\displaystyle f(x)$ be a bounded function defined for all $\displaystyle x$ in some open interval containing $\displaystyle c$, except possibly at $\displaystyle x=c$ itself.

Use the Sandwich Theorem to prove that

$\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} \left\{ (x-c)f(x) \right\} =0$