[카이스트 방학숙제1] winter 2022 assignment 1 [더플러스수학]

카이스트 방학 숙제1- bridge program – winter 2022 assignment 1

Problem 1

Which of the following statements are true, and which are false? If true, try to give a convincing
argument; if false, give a counter-example (that is, an example confirming the falsehood).

(a) If \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)\) exists but \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)\) does not exist, then \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)+g(x)\) does not exist.

(b) If neither \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)\)  nor \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)\)  exist, then \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)+g(x)\) does not exist.

(c) If \(\displaystyle f \) is continuous at \(\displaystyle c\) , then so is \(\displaystyle |f| \).

(d) If \(\displaystyle |f| \) is continuous at \(\displaystyle c\), then so is \(\displaystyle f \).

 

(정답 및 풀이)

(a) 참

귀류법으로 증명하자. 먼저 결론을 부정하여 \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} \left\{f(x)+g(x) \right\}=L\)로 존재한다고 가정하자. 또 가정에서 \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x)  \)가 존재하므로 \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x) =M  \)이라 하면 극한의 기본성질에 의해 \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)\)는 존재한다. 왜냐하면

\(\displaystyle\begin{align} \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x) &= \lim\limits_{x \rightarrow c} \left[\left\{ f(x)+g(x)\right\}-f(x)\right]\\&= \lim\limits_{x \rightarrow c} \left\{f(x)+g(x) \right\}-\lim\limits_{x \rightarrow c}  g(x) \\&=L-M\end{align}\)

이기 때문이다. 이것은 \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} g(x)  \)가 존재하지 않는다는 가정과 모순이다. 따라서 증명되었다.

(b) 거짓

반례는 다음과 같다.

\(\displaystyle f(x) =\begin{cases}  1&(x \geq 0)\\ -1&(x <0) \end{cases}\), \(\displaystyle g(x) =\begin{cases}  -1&(x \geq 0)\\ 1&(x <0) \end{cases}\)

이 함수는 모두 \(\displaystyle x=0\)에서 극한이 존재하지 않는다. 그렇지만 \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow 0} \left\{f(x)+g(x)\right\}=0\)이므로 \(\displaystyle f(x)+g(x)\)의 극한은 존재한다.

(c) 참

함수의 합성과 관련된 참인 명제인 다음을 주목하자.

\(\displaystyle x=c\)에서 함수 \(\displaystyle f(x)\)가 연속이고, \(\displaystyle x=f(c)\)에서 함수 \(\displaystyle g(x)\)가 연속이면 \(\displaystyle x=c\)에서 합성함수 \(\displaystyle g \circ f \)는 \(\displaystyle x=c\)에서 연속이다.

위의 명제는 \(\displaystyle \epsilon-\delta\)로 증명해야 한다. 만약 이 명제가 참이면 (c)는 참이다. 왜냐하면

함수 \(\displaystyle f \) 가 \(\displaystyle x=c\)에서 연속이고, 함수 \(\displaystyle y= \left| x \right|\) 는 모든 실수에서 연속이므로 \(\displaystyle x=f(c)\)에서 함수 \(\displaystyle y= \left| x \right|\)는 연속이다. 따라서 위의 명제에 의해 \(\displaystyle x=c\)에서 함수 \(\displaystyle \left|f(x)\right| \)는 연속이다.

 

그냥 우리는 \(\displaystyle \epsilon-\delta\)논법으로 정의된 연속의 정의에 의해 증명할 수도 있다.

다음을 만족하면 \(\displaystyle x=c\)에서 함수 \(\displaystyle f \)가 연속이라고 정의한다.

임의의 \(\displaystyle \epsilon>0\)에 대하여 적당한 \(\displaystyle \delta>0\)가 존재하여 \(\displaystyle \left| x-c \right|<\delta\)를 만족하는 모든 \(\displaystyle x\)는  \(\displaystyle \left| f(x)-f(c) \right|<\epsilon\)이다.

이제 다음을 증명하자.

If \(\displaystyle f \) is continuous at \(\displaystyle c\) , then so is \(\displaystyle |f| \).

먼저 \(\displaystyle x=c\)에서 함수 \(\displaystyle f\)가 연속이므로

\(\displaystyle \epsilon>0\)이 주어졌다고 하면 적당한 \(\displaystyle \delta\)가 존재하여

 

 

 

 

 

 

Problem 2

(a) Use the precise definition of the limit to show that a function cannot have two different limits.
That is, if \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x) =L_1 \) and \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} f(x) =L_2 \), then \(\displaystyle L_1 =L_2\).

(b) We say that a function \(\displaystyle f(x)\) is bounded if there exists a number \(\displaystyle L > 0\)  such that \(\displaystyle |f(x)| \leq L \) for every \(\displaystyle x\) in the domain of \(\displaystyle f\).

Let \(\displaystyle f(x)\) be a bounded function defined for all \(\displaystyle x\) in some open interval containing \(\displaystyle c\), except possibly at \(\displaystyle x=c\) itself.

Use the Sandwich Theorem to prove that

\(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow c} \left\{ (x-c)f(x) \right\} =0\)